第一章數(shù)值計算基本概念

1、.第1章 數(shù)值計算根本概念1.1 概述關鍵詞：CFD、微分方程à離散方程、連續(xù)解à離散點上的解1.1.1 CFD數(shù)值流體力學一般稱為CFDComputational Fluid Dynamics, 為流體力學的一個重要支柱。CFD即利用離散方法discretization method, 將微分方程簡化成代數(shù)方程式，通過計算機近似求解流體微分方程的方法。它的解是一些小的空間和時間上的區(qū)域上的解，稱為離散點。CFD 同理論、實驗并列。被人注目的理由之一是，它為計算機利用的力學計算力學的一面，特別是它為超級計算機的重要利用領域之一。此外，利用高度的圖形處理，可將其結(jié)果表示非常美

2、麗的圖象，對年輕人非常有魅力。因此，流體的數(shù)值模擬，在許許多多的領域內(nèi)得到了利用。有許多人是在對數(shù)值計算方法理解的根底上，自己編程進展模擬。也有相當一部分人是用商用程序進展模擬。CFD包括面很廣泛，從采用良好的工程設計方法，到詳細求解Navier-Stokes方程；從簡單流動到非常復雜的流動。簡單的可能在幾秒時間內(nèi)就能完成，復雜的需要在最大的超級計算機上用幾百個小時才能完成。完美的CFD應滿足以下條件：· 適用任何問題· 計算速度快· 能得到精度高且可信度高的結(jié)果· 程序簡單，誰都能簡單使用· 記憶容量少其實不然，以上的要求互相矛盾，至今無一程

3、序能滿足。提醒：連續(xù)介質(zhì)àNavier-Stokes, 非連續(xù)介質(zhì)àBoltzman1.1.2 微分方程的求解方法將連續(xù)的數(shù)據(jù)用離散的數(shù)據(jù)來記錄，稱為離散化discretization。在離散的點之間用光滑曲線通過內(nèi)插來連接。這樣，即使對于假的離散數(shù)據(jù)，只要在頭腦內(nèi)想象成連續(xù)的函數(shù)即可認為在對微分方程進展求解。這樣，只要如今的時間和空間，就可根據(jù)這些離散數(shù)據(jù)對想象進展預測。數(shù)值流體力學的問題一般是要理解每時每刻流場的變化過程。即對支配方程式進展積分求解。實際上是求空間離散點網(wǎng)格上的壓力、速度等物理量。圖示：離散化、控制方程、壓力，速度，溫度光滑曲線1.2 數(shù)值求解方法的根本

4、組成關鍵詞：數(shù)學模型、方程離散化方法、坐標、空間離散、網(wǎng)絡、求解方法、收斂準那么1.2.1 數(shù)學模型1. 控制方程類型提醒：主導方程、支配方程根本偏微分方程的形式: 2D提醒：微分形式和積分形式 11 提醒：空間:x, y 時間空間：t,x; t,x,y對于求解域內(nèi)的任一點xo, yo· 雙曲型方程: , 過該點有兩條實的特征線如當ac<0 異號，波動方程· 拋物型方程: , 過該點有一條實的特征線如當ac=0 ，非穩(wěn)態(tài)導熱· 橢圓型方程: , 過該點無實的特征線如當ac>0同號，穩(wěn)態(tài)導熱i. 橢圓型方程 相當于平衡問題或穩(wěn)態(tài)問題。影響區(qū)域是橢圓的。與

5、時間無關?？臻g的閉區(qū)域。又稱為邊值問題。例如：穩(wěn)態(tài)導熱問題。穩(wěn)態(tài)擴散問題。閉區(qū)域（xo,yo）求解特征：所有點聯(lián)立求解。用直接法或迭代法。提示：穩(wěn)態(tài)、邊值、互相影響 邊界ii. 拋物型方程時間步進性問題或相當于時間的步進性問題。又稱為初值問題。影響區(qū)域以特征線為分界限，與主流方向垂直。例如：1D非穩(wěn)態(tài)導熱時間步進；2D穩(wěn)態(tài)邊界層型的流動和換熱問題擴散忽略，主流方向步進求解特征：從的初值開場，逐步推進，依存獲得適宜定邊界的解。求解代數(shù)方程的量可為一維的，可節(jié)約容量。（xo,yo）前一時刻 tt+Dt物理意義：分布與瞬時以前的情況和邊界條件相關。時間步進t, x推進下游的分布僅與上游的變化相關主流

6、步進xiii. 雙曲型方程xo,yo也是步進問題。但依賴區(qū)域僅在兩條特征區(qū)域之間。t, x例如：無粘性流體的非穩(wěn)態(tài)問題；無粘性流體的穩(wěn)態(tài)超音速流動。2. 流動類型偏微分方程組或積分方程組及邊界條件。必須選擇應用的目的：· 不可壓縮ßà可壓縮· 非粘性的ßà粘性· 湍流ßà層流· 2維或3維· 單相ßà多相· 。由此可以選擇不同的簡化守恒方程。1.2.2 控制方程的離散化方法discretization methodi. 有限差分法finite differ

7、ence method FDM 微分方程使用網(wǎng)絡節(jié)點，選擇微分的近似方法。· 將區(qū)域離散成有限個網(wǎng)格，通常為構(gòu)造化網(wǎng)格；· 選擇方程各項的差分形式Taylor展開；· 對每個節(jié)點建立差分方程；· 整理出關于節(jié)點上未知數(shù)的非線性代數(shù)方程式。提示：網(wǎng)格、微分方程、差分形式、差分方程、代數(shù)方程 ii. 有限體積法finite volume method FVM 積分方程使用控制體積，選擇外表和體積積分的近似方法。· 將區(qū)域離散成有限個控制體積，適用任何形狀的網(wǎng)格；· 選擇未知函數(shù)對時間和空間的局部分布曲線線性或曲線分布；· 對每個

8、CV進展空間外表、體積和時間的積分；· 整理出關于節(jié)點上未知數(shù)的代數(shù)方程式。特點：適用任何形狀的網(wǎng)格，可用復雜幾何形狀與坐標類型無關提示：網(wǎng)格、積分方程、分布曲線、外表和體積分、代數(shù)方程 iii. 有限單元法finite element method FE選擇函數(shù)和權(quán)重函數(shù)。· 將區(qū)域離散成有限個體積或單元element，2D時通常為三角型或多邊型；· 選擇每個單元解的近似函數(shù)形式例如：線性形狀函數(shù)，與單元角上的值相關；積分權(quán)重· 選擇積分方程的權(quán)重函數(shù)；· 對每個節(jié)點值的積分殘差為零，求出離散方程；· 整理出關于節(jié)點上未知數(shù)的非線性

9、代數(shù)方程式剛度矩陣。特點：有限單元法通常適用于不規(guī)那么的求解區(qū)域。提示：網(wǎng)格、積分方程、分布函數(shù)、權(quán)重函數(shù)、積分殘差為零、剛度矩陣 iv. 頻譜法spectral schemesv. 邊界元法boundary element methodsvi. 分區(qū)自動化cellular automata不同的方法影響精度，求解問題的難度，編程和調(diào)試的難度，計算的速度。精度越高，涉及的網(wǎng)點就越多，系數(shù)矩陣就越大，需要的內(nèi)存就越高，由此不得不使用粗網(wǎng)格，結(jié)果反而影響精度。目前一般二階精度為最正確選擇。1.2.3 坐標和根本矢量系統(tǒng)· Cartesian coordinate system 直角坐標系

10、統(tǒng)· Cylindrical coordinate system 柱坐標系統(tǒng)· Spherical coordinate system 球坐標系統(tǒng)· Curvilinear orthogonal coordinate system 曲線正交坐標系統(tǒng)· Non-orthogonal coordinate system 非正交坐標系統(tǒng)· 挪動的或靜止的選擇的方法依賴與目的流動。可能會影響離散方法和網(wǎng)格類型的選擇。也可以根據(jù)矢量或張量表達的需要，選擇坐標系。1.2.4 空間區(qū)域的離散化i. 計算區(qū)域domainii. 網(wǎng)格gridiii. 網(wǎng)格線gr

11、id lineiv. 格子cellv. 節(jié)點grid pointer，node, center node· 計算節(jié)點computational node, FDM· 節(jié)點FVMvi. 控制容積control volume，CVvii. 界面face1.2.5 數(shù)值網(wǎng)格numerical gridi. 構(gòu)造化網(wǎng)格structured grid或稱規(guī)那么網(wǎng)格regular grid· 網(wǎng)格線：自己不交，以其它線只交一次。· 節(jié)點可用一組坐標下標唯一表示， 例i,j,k· 相鄰節(jié)點坐標用 ±1 表示 優(yōu)點：使用廣泛缺點：只適宜幾何簡單的計算

12、區(qū)域ii. 塊構(gòu)造化網(wǎng)格block-structured grid· 在同一個計算區(qū)域上有兩種或以上不同標準的網(wǎng)格劃分。通常使用的有粗網(wǎng)格、精細網(wǎng)格的· 粗區(qū)域可以是不規(guī)那么，可以重疊· 細網(wǎng)格為構(gòu)造化網(wǎng)格細網(wǎng)格：123456789101112131415粗區(qū)域： I II III IViii. 非構(gòu)造化網(wǎng)格unstructured grid· 主要用于有限體積法和有限單元法內(nèi)· 格子控制體積或單元形狀任意· 相鄰節(jié)點數(shù)無限制常用格式形狀有：2D：三角形、多邊型；3D：蜂窩等，通常格子的生成有專門的格子生成方式grid generat

13、ion1.2.6 離散方程的求解方法離散化產(chǎn)生一個大的非線性代數(shù)方程系統(tǒng)。求解方法取決于問題本身。· 非穩(wěn)態(tài)流動問題：使用求解初值問題的方法marching in time時間步進,在每一個時間點上，求解一個橢圓問題。· 穩(wěn)態(tài)流動問題：- 準時間步進pseudo-time marching法- 等效迭代方法由于方程是非線性的，通常需要迭代。這些方法對方程使用逐次線性化，產(chǎn)生的線性系統(tǒng)幾乎都是采用迭代技術(shù)來求解。提示：非線性方程系統(tǒng)、求解方法、問題本身、非穩(wěn)態(tài)、穩(wěn)態(tài)1.2.7 收斂準那么- 內(nèi)迭代：求解線性方程- 外迭代：處理非線性項，和使方程耦合。何時停頓某個迭代從精度和效

14、率來說都是非常重要的。1.2.8 數(shù)值求解方法的特性提示：有解、解有界、計算收斂1. 相容性consistency 當網(wǎng)格跨度趨近于零時，離散差分方程接近微分方程。截斷誤差逐漸為零。2. 穩(wěn)定性stability à不穩(wěn)定: instability, 任何誤差不會放大。- 暫態(tài)問題：只要真正解有解，數(shù)值解也有界。- 迭代方法：計算不發(fā)散穩(wěn)定性很難判斷，最常用的方法為 von Neumann方法。但是，在求解復雜的非線性的耦合方程的，并具有復雜邊界條件的方法往往是很難得到穩(wěn)定的結(jié)果，而需要經(jīng)歷和本能。許多求解方法需要限制時間步長，和采用低松弛。3. 收斂性convergence

15、4;divergence ; 收斂性ß 相容性+穩(wěn)定性當網(wǎng)格跨度趨近于零時，離散差分方程的解接近微分方程的解。收斂與穩(wěn)定同樣很難判斷，往往采用數(shù)值實驗：逐步精化網(wǎng)格，如方法是穩(wěn)定而且收斂的，那么結(jié)果將收斂到一個與網(wǎng)格大小無關的解。4. 守恒性conservationànon-conservation由于求解的方程都是守恒方程，數(shù)值結(jié)果也應是守恒的。這不僅要保證部分的守恒，也要保證總體的守恒。使用有限體積法或基于嚴格的守恒形式進展的離散，那么可保證每個控制體的守恒。其它離散方法那么要充分注意守恒問題。守恒問題在求解方法中是非常重要的特性。非守恒方法會導致人工源阱的產(chǎn)生。但非守

16、恒方法有時如采用極小的網(wǎng)格能保證相容性和穩(wěn)定性，而產(chǎn)生正確的解。但一般因采用粗的網(wǎng)格，故建議使用守恒形式。5. 真實性realizibility對于特別復雜的情況，如湍流、燃燒、多相流動，要考慮能保證求得物理上現(xiàn)實的解。這不一定是數(shù)值的問題，可能是模型的問題，是否能真正的描繪物理現(xiàn)象。模型的問題也可能導致非物理的解或是數(shù)值方法發(fā)散。6. 精度accuracy誤差分為：· 模型誤差· 離散誤差· 收斂誤差1.2.9 流動根本方程式1. 流動守恒定理Conservation Lawsi. 連續(xù)性方程質(zhì)量守恒方程, continuity equation 12 單位體積

17、的質(zhì)量流束的散度凈量為內(nèi)部密度的增加速度。用全導數(shù)表示： 13 對于不可壓縮流體， 。ii. 動量守恒方程momentum equation守恒形式： 14 左邊：運動量的增加速度右邊：單位體積內(nèi)對流引起的動量變化、壓力差作的功、粘性引起的動量變化、外力應用連續(xù)性方程，生成：非守恒形式： 15 為控制體積受到的加速度。對于Newton流體，x方向速度在y方向的變化 16 17 18 19 110 111 iii. 能量守恒方程energy equation流體總能量=內(nèi)能+動能+勢能 112 該形式用起來不方便，通常消去動能。將動量方程式乘于速度的矢量，為： 113 改變上式成為： 114 用

18、此式消去能量方程的動能項，使能量方程成為 115 此式表示內(nèi)能的變化。可以寫成溫度的形式，由： 116 使用Maxwell函數(shù)，使能量方程成為： 117 q用Fourier公式： 118 對牛頓流體而言為粘性系數(shù)和耗散系數(shù)的積，耗散系數(shù)為： 119 高速氣體流動時膨脹效果變的重要時、產(chǎn)生很大的速度梯度情況下，需考慮此0項。一般不考慮。能量方程的特殊形式：· 理想氣體 120 壓力一定，密度一定 連續(xù)性方程 121 · 焓的表示 à 122 · 熱傳導方程 123 2. Euler 方程式，Navier-Stokes 方程式通常有將包含連續(xù)方程和能量方程的

19、守恒方程式的矢量形式全體統(tǒng)稱為Euler無粘性或 Navier-Stokes Equation的。i. 三維流動守恒方程的一般表達式 124 125 126 127 l:第二粘性系數(shù), m:粘性系數(shù) c:體積粘性系數(shù) 128 Stokes假定: 129 上式為可壓縮流體的NS方程式的積分系形式。 不計粘性時為Euler方程式。ii. 守恒方程的微分形式 130 131 132 133 134 135 136 137 對于壓縮性流體，理想氣體的音速a為 138 iii. 守恒方程的積分形式 139 140 iv. 勢方程Potential Equation對于超音速或低速流動流動，常使用勢方程。

20、對于不存在渦流的非沖擊波流動，渦度為零?？啥x一個勢函數(shù)F，滿足： 141 v. 初值問題的特征initial value problem開展型方程：evolution equationvi. 沖擊波Shock wave1.2.10 守恒方程式的守恒形式和非守恒形式1. 守恒形式 142 2. 非守恒形式 143 1.2.11 典型偏微分方程形式1. 波動方程雙曲型方程雙曲型方程有初值問題和初邊值問題。一維非線性波動方程為最典型的2階雙曲型方程 144 線性波動方程為1階線性雙曲型方程 145 2. 擴散方程拋物線型方程一維形式： 146 3. 穩(wěn)態(tài)方程橢圓型方程，Laplance方程，拋物線

21、性的穩(wěn)態(tài)問題邊值問題： 147 橢圓型方程為滿足適宜性條件，必須給出所有邊界的邊界條件。1.2.12 數(shù)值流體力學的根本分類1. 不可壓縮流體壓力差主導的流動問題。渦流法、MAC法、擬壓縮法、SIMPLE方法，有限元、邊界元法。2. 可壓縮流體密度波主導的流動問題。速度主導。勢方程，微小擾動的勢方程，波動問題，超音速流動問題，沖擊波問題TVD方法， 有限元方法3. 湍流流動湍流主導問題。湍流模型：0方程1方程模型，k-e方程，壁面函數(shù)法4. 多相流流動多界面和部分平均化問題。燃燒、稀薄流、多相流、電磁流體問題?？张萋?，滑速比，均勻流、2流體模型，構(gòu)造方程，相間輸運，狀態(tài)方程、多相流動，拉格朗日

22、坐標系5. 挪動界面的流動具有明顯連續(xù)挪動界面問題。自由外表，外表張力，網(wǎng)格系統(tǒng)和挪動的耦合，適體網(wǎng)格，波，數(shù)值波Eular法、VOF法Volume of Fluid，有限元法6. 微觀模型解析詳細解釋微小尺度上的流動問題。粒子模型，分子模型，大渦法，格子模型7. 格式形成法復雜幾何形狀的問題。適體網(wǎng)格、坐標變換、構(gòu)造網(wǎng)格，非構(gòu)造網(wǎng)格的形成，適宜解形式的網(wǎng)格，復雜形狀的網(wǎng)格建立1.2.13 坐標系1. 根本坐標系- 直角坐標- 圓筒坐標- 球坐標坐標系連 續(xù) 性 方 程直角坐標 圓筒坐標球坐標2. BFC適體坐標Boundary-Fitted Coordinate. 為沿著邊界形狀的曲線坐標系。它是通過坐標變換，將實空間上的復雜形狀變換成其它空間上的簡單直交坐標。一般，生成曲線坐標格子的方法有：· 利用復數(shù)變換的傳統(tǒng)方法zàgz, z=gz, z =x+iy, z=x+ih, z平面的圖形在z平面上的等角投影的坐標變換。· 利用內(nèi)插函數(shù)的代數(shù)方法利用例如Lagrange等的內(nèi)插多項式，求出通過所涉及的格子的曲線或與曲面垂直的曲線，將解析領域內(nèi)部的格子點進展補正。這種方法對于三維問題很難。復雜領域內(nèi)的，不實用。