導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(二)

1、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：含參函數(shù)的單調(diào)性討論(二)對函數(shù)(可求導(dǎo)函數(shù))的單調(diào)性討論可歸結(jié)為對相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)在何處正何處負(fù)的討論，若有多個(gè)討論點(diǎn)時(shí)，要注意討論層次與順序，一般先根據(jù)參數(shù)對導(dǎo)函數(shù)類型進(jìn)行分類，從簡單到復(fù)雜。1、 典型例題例1、已知函數(shù),討論函數(shù)的單調(diào)性.分析：討論單調(diào)性就是確定函數(shù)在何區(qū)間上單調(diào)遞增，在何區(qū)間單調(diào)遞減。而確定函數(shù)的增區(qū)間就是確定的解區(qū)間；確定函數(shù)的減區(qū)間就是確定的解區(qū)間；討論單調(diào)性與討論不等式的解區(qū)間相應(yīng)。解： 因?yàn)椋?所以 (1) 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2) 當(dāng)時(shí)，的圖像開口向上，I) 當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在R上遞增；II) 當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根分別為

2、 且 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減；(3) 當(dāng)時(shí)，的圖像開口向下，且 方程的兩個(gè)根分別為且 所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增。綜上所述，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增， 在，上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)在R上遞增；小結(jié)： 導(dǎo)函數(shù)為二次型的一股先根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)分三種情況討論（先討論其為0情形），然后討論判別式（先討論判別式為負(fù)或?yàn)?的情形，對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)只有一種符號，原函數(shù)在定義域上為單調(diào)的），判別式為正的情況下還要確定兩根的大?。ㄈ舨荒艽_定的要進(jìn)行一步討論），最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)確定原函數(shù)相應(yīng)單調(diào)性，記得寫出綜述結(jié)論。

3、例2（2010山東理數(shù)改編） 已知函數(shù).討論的單調(diào)性；解：因?yàn)榈亩x域?yàn)樗?，令 ，則同號法一：根據(jù)熟知二次函數(shù)性質(zhì)可知g(x)的正負(fù)符號與開口有關(guān)，因此可先分類型討論： 當(dāng)時(shí)，由于<1，開口向下,結(jié)合其圖象易知 ，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)， 開口向上,但是否在定義域需要討論：因所以i) 當(dāng)時(shí)，由于<1，開口向上,結(jié)合其圖象易知 ，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.時(shí)，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減； ii)當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上且，但兩根大小需要討論： a) 當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； b) 當(dāng)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；

4、時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； c) 當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；小結(jié)：此法是把單調(diào)區(qū)間討論化歸為導(dǎo)函數(shù)符號討論，而確定導(dǎo)函數(shù)符號的分子是常見二次型的，一般要先討論二次項(xiàng)系數(shù)，確定類型及開口；然后由于定義域限制討論其根是否在定義域內(nèi)，再討論兩根大小注，結(jié)合g(x)的圖象確定其在相應(yīng)區(qū)間的符號，得出導(dǎo)函數(shù)符號。討論要點(diǎn)與解含參不等式的討論相應(yīng)。法二： i)當(dāng)時(shí)，由于<1，開口向下,結(jié)合其圖象易知 ，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減；時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增. ii)當(dāng)時(shí)，由于<1，開

5、口向上,結(jié)合其圖象易知 ，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.時(shí)，,此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞減； 時(shí) g(x)開口向上且i)當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減； ii)當(dāng)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； iii) 當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上且在（0，）有兩根 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù) 單調(diào)遞增； 時(shí)，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；小結(jié)：單調(diào)性討論化歸為討論導(dǎo)函數(shù)符號的問題，多數(shù)導(dǎo)數(shù)是連續(xù)函數(shù)，其正負(fù)所以區(qū)間可由其根劃分，所以可根據(jù)相應(yīng)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（從少到多）分類，先討論零點(diǎn)可能沒意義的（如分母或偶次根等含參數(shù)，要先討論分母

6、是否為零，被開方式是否非負(fù)），然后討論解出的根是否為增根（解方程時(shí)由于去分母，去根號，去對數(shù)符號時(shí)導(dǎo)致范圍擴(kuò)大而得出根，要討論其是否在定義域內(nèi)），再對有多個(gè)零點(diǎn)的討論其大小，最后由導(dǎo)數(shù)的根將定義域劃分為若干區(qū)間并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)圖象確定相應(yīng)區(qū)間上確定導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)（不能確定的再討論何時(shí)正何時(shí)負(fù)）而得到相應(yīng)單調(diào)性質(zhì)。最后確記要綜合討論情況，寫出綜上所述結(jié)論。函數(shù)問題一定要注意先確定定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集。為討論導(dǎo)函數(shù)的根及導(dǎo)函數(shù)的符號情況，一般能因式分解的要先分解（包括分式先通分）。例2（2011年廣東卷文19題） 設(shè)，討論函數(shù)的單調(diào)性 解：函數(shù)的定義域?yàn)?x>0)令,則與同號 （1）當(dāng)時(shí)

7、，在定義域上為增函數(shù) (2) 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí)，g(x)開口向上，圖象在x軸上方，所以所以，則在上單調(diào)遞增 當(dāng),此時(shí)令，解得由于，因此可進(jìn)一步分類討論如下：i) 當(dāng)時(shí)， ; 則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減 ii)當(dāng)時(shí)，或; 則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減綜上所述，f(x)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)參數(shù)討論情況如下表：增減增增增增 （其中)小結(jié)：求單調(diào)區(qū)間要確定定義域，確定導(dǎo)函數(shù)符號的關(guān)鍵是看分子相應(yīng)函數(shù)，因此討論點(diǎn)有：第一是類型（一次與二次的根個(gè)數(shù)顯然不同)；第二有沒有根（二次的看判別式），第三是有根是否為增根（在不在定義根內(nèi)；第四有根的確定誰大；第五看區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)號（二次函數(shù)要看開口）。確記要數(shù)形結(jié)合，

8、多數(shù)考題不會全部討論點(diǎn)都要討論的，題中往往有特別條件，不少討論點(diǎn)會同時(shí)確定（即知一個(gè)就同時(shí)確定另一個(gè)）。判別式與開口的討論點(diǎn)先誰都可以，但從簡單優(yōu)先原則下可先根據(jù)判別式討論，因?yàn)楫?dāng)導(dǎo)函數(shù)無根時(shí)它只有一種符號，相應(yīng)原函數(shù)在定義域內(nèi)（每個(gè)連續(xù)的區(qū)間）為單調(diào)函數(shù)較簡單。2、 鞏固作業(yè)：1. 已知函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間.解： 2.已知函數(shù)f(x)=xax+(a1)，討論函數(shù)的單調(diào)性,求出其單調(diào)區(qū)間。解： 的定義域?yàn)?(1) (2) 若即時(shí)，>0, 故在單調(diào)遞增.若0<,即時(shí)，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.若,即時(shí)，由得，；由得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 綜上所述，當(dāng)，單調(diào)增區(qū)為 ,減區(qū)間是; 當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是； 當(dāng)時(shí)，在定義域上遞增，單調(diào)增區(qū)為 （不存在減區(qū)間）; 當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是，在增區(qū)間是.3. 已知函數(shù)()=(1+)-+(0)，求()的單調(diào)區(qū)間. 解：，.（1） 當(dāng)時(shí)，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，. 故的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）當(dāng).（3）當(dāng)即時(shí)， 故的單調(diào)遞增區(qū)間是.（4）當(dāng)即（）時(shí)， 由得，；由得，故