第2.1講 相似形的綜合題-備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)難點(diǎn)突破（教師版）

1、【備戰(zhàn)2019年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)、難點(diǎn)突破】考綱要求:1.了解比例的基本性質(zhì)，了解線段的比、成比例線段，通過建筑、藝術(shù)上的實(shí)例了解黃金分割。2.知道相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方。3.了解兩個(gè)三角形相似的概念；知道相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，面積的比等于對(duì)應(yīng)邊比的平方；會(huì)利用兩個(gè)三角形相似的條件判定兩個(gè)三角形相似。4.會(huì)利用圖形的相似解決一些實(shí)際問題。5.了解圖形的位似，能夠利用位似將一個(gè)圖形放大或縮小。基礎(chǔ)知識(shí)回顧: 知識(shí)點(diǎn)一：比例線段 1. 比例線段在四條線段a，b，c，d中，如果a與b的比等于c與d的比，即，那么這四條線段a，b，c，d叫做成比例線

2、段，簡(jiǎn)稱比例線段2.比例的基本性質(zhì)(1)基本性質(zhì)： adbc；（b、d0）(2)合比性質(zhì)：；（b、d0）(3)等比性質(zhì)：k(bdn0)k.（b、d、···、n0）3.平行線分線段成比例定理來(lái)源:來(lái)源:來(lái)源:Z#xx#k.Com（1）兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線 段成比例.即如圖所示，若l3l4l5，則.來(lái)源:ZXXK來(lái)源:ZXXK（2）平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng) 線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.即如圖所示，若ABCD，則.（3）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形和原三角形相似如圖所示，若DEBC，則ADEABC.4.黃金

3、分割點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC，如果=0.618，那么線段AB被點(diǎn)C黃金分割其中點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比知識(shí)點(diǎn)二 ：相似三角形的性質(zhì)與判定5.相似三角形的判定(1) 兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(AAA).如圖，若AD，BE，則ABCDEF.(2) 兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等的兩個(gè)三角形相似 如圖，若AD，則ABCDEF.(3) 三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似如圖，若，則ABCDEF.6.相似三角形的性質(zhì)(1)對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例(2)周長(zhǎng)之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方(3)相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比等于相似比 7

4、.相似三角形的基本模型應(yīng)用舉例:招數(shù)一、函數(shù)與相似的綜合【例1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)y=（x0，m1）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)B（0，m）是y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，連接AB，ACAB，交y軸于點(diǎn)C，延長(zhǎng)CA到點(diǎn)D，使得AD=AC，過點(diǎn)A作AE平行于x軸，過點(diǎn)D作y軸平行線交AE于點(diǎn)E（1）當(dāng)m=3時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）DE= ，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（3）連接BD，過點(diǎn)A作BD的平行線，與（2）中的函數(shù)圖象交于點(diǎn)F，當(dāng)m為何值時(shí)，以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？【答案】（1）點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，6）；（2）

5、1，y=（x2）；（3）m=2時(shí)，以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形【解析】（2）如圖，延長(zhǎng)EA交y軸于點(diǎn)F，DEx軸FCA=EDA，CFA=DEA，AD=AC，F(xiàn)CAEDA，DE=CF，A（m，m2m），B（0，m），（3）由題意可知，AFBD當(dāng)AD、BF為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形對(duì)角線互相平分可得A、D和B、F的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)之和分別相等設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，b）a+0=m+2mb+（m）=m2m+m2m1a=3m，b=2m2m1代入y=，得2m2m1=，解得m1=2，m2=0（舍去）當(dāng)FD、AB為平行四邊形對(duì)角線時(shí)，同理設(shè)點(diǎn)F坐標(biāo)為（a，b），則a=m，b=1m，則F點(diǎn)在y軸

6、左側(cè)，由（2）可知，點(diǎn)D所在圖象不能在y軸左側(cè)此情況不存在，綜上當(dāng)m=2時(shí)，以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形【例2】如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線y=x2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，直線BC的表達(dá)式為y=x+3（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）在直線BC上有一點(diǎn)P，使PO+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）y=x2+2x+3；（2）P ( ,)；（3）當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似（2）如圖所示：作點(diǎn)O關(guān)于

7、BC的對(duì)稱點(diǎn)O，則O（3，3）O與O關(guān)于BC對(duì)稱，PO=POOP+AP=OP+APAOOP+AP的最小值=OA=5OA的方程為y=P點(diǎn)滿足解得： P ( ,)如圖所示：連接AC，過點(diǎn)C作CQAC，交x軸與點(diǎn)QACQ為直角三角形，COAQ，ACQAOC又AOCDCB，ACQDCB，即，解得：AQ=10Q（9，0）綜上所述，當(dāng)Q的坐標(biāo)為（0，0）或（9，0）時(shí)，以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與BCD相似招數(shù)二、圓與相似的綜合【例3】招數(shù)三、動(dòng)點(diǎn)中的相似問題【例4】如圖1,在RtABC中,ACB=90，AC=8，BC=6，CDAB于點(diǎn)D點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA向點(diǎn)

8、A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，兩點(diǎn)都停止.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(1)設(shè)CPQ的面積為S.求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式:(2)如圖2，在運(yùn)動(dòng)過程中是否存在某一時(shí)刻t,使得沿PC翻折CPQ所得到的到的四邊形CQPM是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由：(3)是否存在某一時(shí)刻t，使得P、Q、B三點(diǎn)共線?若存在，求出t的值;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1） （2） 【解析】解：（1）如圖1，ACB=90°，AC=8，BC=6，AB=10CDAB，SABC=BCAC=ABCDCD=4.8過點(diǎn)P作PHAC，垂足為H，如圖a所示（2）存在，理由：過點(diǎn)Q

9、作QHCP，垂足為H，如圖2所示CDABQHAB， = , =,即= ，=QH=t，CH=t當(dāng)四邊形CQPM是菱形時(shí)，CQ=QP,CH=CPt=（4.8-t），解得：（3）由題意得，如圖3，當(dāng)QPC=BPD時(shí)，點(diǎn)Q、P、B三點(diǎn)共線，【例5】如圖1，已知ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm如果點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度均為2cm/s連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（單位：s）（0t4）解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQBC（2）設(shè)AQP面積為S（單位：cm2），當(dāng)t為何值時(shí)，S取得最大值，并求出最大值（3）是否存在某時(shí)刻

10、t，使線段PQ恰好把ABC的面積平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（4）如圖2，把AQP沿AP翻折，得到四邊形AQPQ那么是否存在某時(shí)刻t，使四邊形AQPQ為菱形？若存在，求出此時(shí)菱形的面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】（1）s（2）當(dāng)t=s時(shí)，S取得最大值，最大值為cm2（3）不存在。理由見解析（4）存在，cm2【解析】解：AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，由勾股定理逆定理得ABC為直角三角形，C為直角。（1）BP=2t，則AP=102t若PQBC，則，即，解得。當(dāng)s時(shí)，PQBC。（3）不存在。理由如下：假設(shè)存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把ABC的面積平分，則有SAQ

11、P=SABC，而SABC=ACBC=24，此時(shí)SAQP=12。由（2）可知，SAQP=，=12，化簡(jiǎn)得：t25t+10=0。=（5）24×1×10=150，此方程無(wú)解，不存在某時(shí)刻t，使線段PQ恰好把ABC的面積平分。（4）存在。假設(shè)存在時(shí)刻t，使四邊形AQPQ為菱形，則有AQ=PQ=BP=2t。如圖2所示，過P點(diǎn)作PDAC于點(diǎn)D，則有PDBC，APDABC。，即。解得：PD=，AD=，QD=ADAQ=。存在時(shí)刻t=，使四邊形AQPQ為菱形，此時(shí)菱形的面積為cm2。招數(shù)四、相似中的分類討論【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=（x-a）（x-3）（0<a<

12、;3）的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)D，過其頂點(diǎn)C作直線CPx軸，垂足為點(diǎn)P，連接AD、BC.（1）求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；（2）若AOD與BPC相似，求a的值；（3）點(diǎn)D、O、C、B能否在同一個(gè)圓上，若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（1）A（a，0），B（3,0），D（0,3a）.（2）a的值為.（3）當(dāng)a=時(shí)，D、O、C、B四點(diǎn)共圓. AODCPB，即 ，解得：a1=3（舍），a2= .綜上所述：a的值為；（3）能；連接BD，取BD中點(diǎn)M，D、B、O三點(diǎn)共圓，且BD為直徑，圓心為M（，a），若點(diǎn)C也在此圓上，MC=MB， ，招數(shù)五、相似在實(shí)際問

13、題中的應(yīng)用【例7】九章算術(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個(gè)問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？”用今天的話說(shuō)，大意是：如圖，是一座邊長(zhǎng)為200步（“步”是古代的長(zhǎng)度單位）的正方形小城，東門位于的中點(diǎn)，南門位于的中點(diǎn)，出東門15步的處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于處的樹木（即點(diǎn)在直線上）？請(qǐng)你計(jì)算的長(zhǎng)為_步【答案】【例8】如圖，甲、乙兩盞路燈桿相距20米，一天晚上，當(dāng)小明從燈甲底部向燈乙底部直行16米時(shí)，發(fā)現(xiàn)自己的身影頂部正好接觸到路燈乙的底部已知小明的身高為米，那么路燈甲的高為（）A. 7米 B. 8米 C. 9米 D. 10米【

14、答案】B方法、規(guī)律歸納:1 列比例等式時(shí)，注意四條線段的大小順序，防止出現(xiàn)比例混亂.2已知比例式的值，求相關(guān)字母代數(shù)式的值，常用引入?yún)?shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個(gè)參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中 的一個(gè)表示出其他的字母，再代入求解.如下題可設(shè)a=3k,b=5k,再代入所求式子，也可以把原式變形得a=3/5b代入求解.例：若，則.3利用平行線所截線段成比例求線段長(zhǎng)或線段比時(shí)，注意根據(jù)圖形列出比例等式，靈活運(yùn)用比例基本性質(zhì)求解.4判定三角形相似的思路：條件中若有平行線，可用平行線找出相等的角而判定；條件中若有一對(duì)等角，可再找一對(duì)等角或再找夾這對(duì)等角的兩組邊對(duì)應(yīng)成比例；條件中

15、若有兩邊對(duì)應(yīng)成比例可找夾角相等；條件中若有一對(duì)直角，可考慮再找一對(duì)等角或證明直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例；條件中若有等腰關(guān)系，可找頂角相等或找一對(duì)底角相等或找底、腰對(duì)應(yīng)成比例.5.證明等積式或者比例式的一般方法：經(jīng)常把等積式化為比例式，把比例式的四條線段分別看做兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊.然后，通過證明這兩個(gè)三角形相似，從而得出結(jié)果.實(shí)戰(zhàn)演練:1. 如圖所示，O的半徑為4，點(diǎn)A是O上一點(diǎn)，直線l過點(diǎn)A；P是O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過點(diǎn)P作PBl于點(diǎn)B，交O于點(diǎn)E，直徑PD延長(zhǎng)線交直線l于點(diǎn)F，點(diǎn)A是的中點(diǎn)（1）求證：直線l是O的切線；（2）若PA=6，求PB的長(zhǎng)【答案】（1）證明見解析；（2）PB=

16、【解析】（2）如圖，作OHPA于H，OA=OP，OHPA，AH=PH=3，OAPB，OAH=APB，AHO=ABP=90°，AOHPAB，PB=2.如圖，A，B兩地被池塘隔開，小明通過下列方法測(cè)出了A,B間的距離：先在AB外選一點(diǎn)C，然后測(cè)出AC,BC的中點(diǎn)M,N，并測(cè)量出MN的長(zhǎng)為12m，由此他就知道了A,B間的距離有關(guān)他這次探究活動(dòng)的描述錯(cuò)誤的是( )A. B. CM：CA=1：2 C. MN/AB D. AB=24cm【答案】A3. 如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，AEBD，垂足為F，則tanBDE的值是（）A B C D【答案】A【解析】四邊形ABCD是矩形，AD

17、=BC，ADBC，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，BE=BC=AD，BEFDAF，EF=AF，EF=AE，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，由矩形的對(duì)稱性得：AE=DE，EF=DE，設(shè)EF=x，則DE=3x，DF=x，tanBDE= .故選A4.如圖，在RtABC中，C=90°，AD是BAC的角平分線。(1)以AB上一點(diǎn)O為圓心，AD為弦作O;(2)求證：BC為O的切線； (3)如果AC=3,tanB=,求O的半徑?！敬鸢浮浚?）見解析；（2）見解析；（3）【解析】試題分析：試題解析：（1）如圖所示，O為所求圓；（2）連接OD.AD平分CAB（3）在ABC中，AC=3，tanB=，C=90°，BC=

18、4，AB=5，設(shè)O的半徑為r，則OA=OD=r，BO=5rODACBODBAC 即 解得， ，O的半徑為 .5. 如圖，有一邊長(zhǎng)為的正方形和等腰， ，點(diǎn)B、Q、C、R在同一直線上，當(dāng)Q、C兩點(diǎn)重合時(shí)，等腰以每秒的速度沿直線按箭頭所示的方向開始勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)秒后正方形與等腰重疊部分的面積為.（1）當(dāng)t等于多少秒時(shí)，平分；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，求（用含的代數(shù)式表示）.（3）當(dāng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式.【答案】（1）t=4；（2）FC=；（3），.（3）如圖：當(dāng)時(shí)，設(shè)交于，則6.如圖，在三角形ABC中， ，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，射線交AB于點(diǎn)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DE以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)以PD為

19、斜邊，在射線DE的右側(cè)作等腰直角設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒用含t的代數(shù)式表示線段EP的長(zhǎng)求點(diǎn)Q落在邊AC上時(shí)t的值當(dāng)點(diǎn)Q在內(nèi)部時(shí)，設(shè)和重疊部分圖形的面積為平方單位，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式【答案】（1）EPt-3;(2)t=8;(3) 如圖所示，當(dāng)點(diǎn)Q落在邊AC上時(shí)，過點(diǎn)Q作于F，四邊形CDFQ是矩形，是等腰直角三角形，；當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上時(shí)， 和重疊部分為，且邊上的高為，點(diǎn)P從點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E處時(shí)，時(shí)間為3s，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)點(diǎn)P在線段DE的延長(zhǎng)線上時(shí)， 和重疊部分為四邊形EDQG，如圖所示，過G作于F，則，且，7. 如圖，MAN=60°，AP平分MAN，點(diǎn)B是射線AP上一定點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AN

20、上運(yùn)動(dòng)，連接BC，將ABC（0°ABC120°）的兩邊射線BC和BA分別繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°，旋轉(zhuǎn)后角的兩邊分別與射線AM交于點(diǎn)D和點(diǎn)E（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN上時(shí)，請(qǐng)判斷線段BC與BD的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論；請(qǐng)?zhí)骄烤€段AC，AD和BE之間的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論并證明；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)C在射線AN的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，BC交射線AM于點(diǎn)F，若AB=4，AC=，請(qǐng)直接寫出線段AD和DF的長(zhǎng)【答案】（1）BC=BD；AD+AC=BE；（2）AD=，DF=【解析】試題解析：（1）結(jié)論：BC=BD，理由：如圖1中，作BGAM于G，BHAN于H，結(jié)論：AD+AC=B

21、E，ABE=120°，BAE=30°，BEA=BAE=30°，BA=BE，BGAE，AG=GE，EG=BEcos30°=BE，BGDBHC，DG=CH，AB=AB，BG=BH，RtABGRtABH，AG=AH，AD+AC=AG+DG+AHCH=2AG=BE，AD+AC=BE；（2）如圖2中，作BGAM于G，BHAN于H，AKCF于K，DF=GF+DG=，即DF=8.如圖，矩形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（10，0），拋物線y=ax2+bx+4過點(diǎn)B，C兩點(diǎn)，且與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為D（2，0），點(diǎn)P是線段CB上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)CP=t（0t10）（1）請(qǐng)

22、直接寫出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；（2）過點(diǎn)P作PEBC，交拋物線于點(diǎn)E，連接BE，當(dāng)t為何值時(shí)，PBE和RtOCD中的一個(gè)角相等？（3）點(diǎn)Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PMBQ，交CQ于點(diǎn)M，作PNCQ，交BQ于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，求t的值【答案】（1）；（2）t=3；（3）或 （2）由題意可設(shè)P（t，4），則E（t， t2t4），PB10t，PEt2t44t2t，BPECOD90°，當(dāng)PBEOCD時(shí)，則PBEOCD，即BPODCOPE，2（10t）4（t2t），解得t3或t10（不合題意，舍去），當(dāng)t3時(shí)，PBEOCD； 當(dāng)PBECDO時(shí)，則PBEODC，即BPOCDOPE，4（10t）2（t2t），解得t12或t10（均不合題意，舍去）綜上所述當(dāng)t3時(shí)，PBEOCD；（3）當(dāng)四邊形PMQN為正方形時(shí)，則PMCPN