冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)函數(shù)的奇偶性

1、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)·函數(shù)的奇偶性 教學(xué)目標(biāo)1從形與數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行引導(dǎo)，使學(xué)生理解函數(shù)奇偶性的慨念2通過函數(shù)奇偶性概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法3培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括能力教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)函數(shù)奇偶性概念及函數(shù)奇偶性的判定教學(xué)過程設(shè)計(jì)師：同學(xué)們，“對稱”是大自然的一種美，這種“對稱美”在數(shù)學(xué)中也有大量的反映讓我們看看下列各函數(shù)有什么共性？（幻燈翻折片）觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性（圖1）生：函數(shù)f（x）=x2是定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)的拋物線；函數(shù)f（x）的兩支曲線，各函數(shù)之間的共性為圖象關(guān)于y軸對稱師：那么究竟什么叫關(guān)于y軸對稱

2、？生：從初中所學(xué)的軸對稱概念可知，如果圖形F與F關(guān)于y軸對稱，那么把圖形F沿y軸折過來，一定與圖形F重合師：（幻燈演示）將f（x）=x2在y軸右側(cè)的圖象，沿y軸折過來，我們發(fā)現(xiàn)它與左側(cè)的圖象重合了，這說明我們剛才的觀察結(jié)果是正確的既然圖形是由點(diǎn)組成的，那么，讓我們在直角坐標(biāo)系中，觀察一對關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？（幻燈演示）我們在函數(shù)f（x）=x2位于y軸右側(cè)的圖象上任取一點(diǎn)（x，f（x），通過沿y軸對折找到其關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)（x，f（x）同學(xué)們由圖象觀察一下，這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？生：x=-x，f（x）=f（x）也就是說，當(dāng)自變量任取定義域中的兩個(gè)相反數(shù)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值相等師：看

3、來具備此種特征的函數(shù)還有很多，我們能不能用定義的形式對這類函數(shù)做出刻劃呢？ 生：如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù)（當(dāng)學(xué)生的表述不完整，不準(zhǔn)確時(shí)，教師可做適當(dāng)?shù)奶崾竞脱a(bǔ)充）師：下面我們來分析一下這個(gè)定義定義中“任意一個(gè)xD，都有f（-x）=f（x）成立”說明了什么？生：這說明f（-x）與f（x）都有意義，即-x，x同時(shí)屬于定義域，因此偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的師：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為偶函數(shù)的什么條件？生：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)為偶函數(shù)的必要條件師：那么定義的實(shí)質(zhì)是什么呢？同學(xué)們能不能用自己的語言來表述一下偶函數(shù)的定義生：當(dāng)自變量

4、任取兩個(gè)互為相反數(shù)的值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值恰好相等師：下面我們看幾個(gè)習(xí)題（幻燈）1判斷下列函數(shù)是否是偶函數(shù)（1）f（x）=x2，x-1，2；生：函數(shù)f（x）=x2，x-1，2不是偶函數(shù)因?yàn)樗亩x域關(guān)于原點(diǎn)不對稱1，并不關(guān)于原點(diǎn)對稱（對于本題，學(xué)生很容易提取分子中的公因式x2，進(jìn)而化簡成f（x）=x2，從而得出該函數(shù)是偶函數(shù)的錯(cuò)誤結(jié)論）（多重復(fù)合幻燈）2判斷下列圖象（圖2）是否是偶函數(shù)的圖象？ 師：首先，我們?nèi)讓ο喾磾?shù)檢驗(yàn)一下（復(fù)片1）當(dāng)自變量取±1這對相反數(shù)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f（1）與f（-1）恰好相等；當(dāng)自變量取±3這對相反數(shù)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值f（3）與f（-3）也恰好相等；

5、當(dāng)自變量取±4時(shí)，也得到了相同的結(jié)果類似的相反數(shù)還可以舉出很多對由此，是否就能判斷該圖象是偶函數(shù)的圖象呢？（有的學(xué)生認(rèn)為能判斷，有的學(xué)生認(rèn)為不能，當(dāng)學(xué)生發(fā)表完意見后，教師總結(jié)）師：當(dāng)自變量取±2這對相反數(shù)時(shí)，我們觀察到f（2）與f（-2）并不相等，這就違背了偶函數(shù)定義中，自變量取值的任意性，即不能使函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），所以該圖象不是偶函數(shù)的圖象同學(xué)們，讓我們再來觀察一組函數(shù)的圖象，看看它們之間有什么共性？（幻燈旋轉(zhuǎn)片）觀察下列函數(shù)的圖象，總結(jié)各函數(shù)之間的共性生：各函數(shù)之間的共性是它們的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對稱師：那么究竟什么叫做關(guān)于原點(diǎn)對稱呢？生：

6、從初中所學(xué)的中心對稱概念可知，所謂圖形F與F關(guān)于原點(diǎn)對稱，就是把圖形F在它們所在平面上繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，一定能與圖形F重合師：（幻燈演示）將f（x）=x3在第一象限內(nèi)的圖象，繞著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，我們發(fā)現(xiàn)它與f（x）=x3在第三象限內(nèi)的圖象重合了這說明我們剛才的觀察結(jié)果是正確的那么一對關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)又有什么關(guān)系呢？生：一對關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)也互為相反數(shù)即：當(dāng)自變量任取定義域中的兩個(gè)相反數(shù)時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值也互為相反數(shù)師：我們能不能用定義的形式對這類函數(shù)做出刻劃呢？生：如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函

7、數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù)師：定義中“任意一個(gè)xD，都有f（-x）=f（x）成立”說明了什么？生：這說明f（-x）與f（x）都有意義，即-x，x同時(shí)屬于定義域，因此奇函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對稱的師：由此可見，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件那么這個(gè)定義的實(shí)質(zhì)是什么呢？生：當(dāng)自變量任取定義域內(nèi)兩個(gè)互為相反數(shù)的值時(shí)，對應(yīng)的函數(shù)值也互為相反數(shù)師：我們現(xiàn)在已接觸過偶函數(shù)、奇函數(shù)、既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，既非奇非偶的函數(shù)，那么有沒有既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)呢？生：有函數(shù)f（x）=0，xR就是一個(gè)師：那么這樣的函數(shù)有多少個(gè)呢？生：只有函數(shù)f（x）=0，xR一個(gè)師：再想一想函數(shù)的三要素是什么呢？

8、生：函數(shù)的三要素是對應(yīng)法則、定義域和值域師：對可見三要素不同的函數(shù)就是不同的函數(shù)生：既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)有無數(shù)多個(gè)雖然解析式都為f（x）=0，但取關(guān)于原點(diǎn)對稱的不同的定義域，就可得到不同的函數(shù)，例如：f（x）=0，x-3，-11，3；f（x）=0，x-5，-2-2，-5等等師：所以函數(shù)按奇偶性可分為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇且偶函數(shù)和非奇非偶函數(shù)例1  判斷下列函數(shù)的奇偶性：（1）f（x）=lg（4+x）+lg（4-x）；分析：先驗(yàn)證函數(shù)定義域的對稱性，再考察f（-x）是否等于f（x）或-f（x）解  （1）f（x）的定義域是x|4+x0且4-x0=x|-4x4，它具

9、有對稱性因?yàn)閒（-x）=lg（4-x）+lg（4+x）=f（x），所以f（x）是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)（2）解法一：當(dāng)x0時(shí)，-x0，于是當(dāng)x0時(shí)，-x0，于是綜上可知，在R-R+上，g（x）是奇函數(shù)數(shù)g（x）在R-R+上是奇函數(shù)例2  設(shè)F（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)（x）的解析式是ex，求F（x）在R上的表達(dá)式解  任取x（-，0），設(shè)P（x，y）是函數(shù)F（x）圖象上的一個(gè)點(diǎn)由于F（x）是奇函數(shù)，所以，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱（圖5）因此P（-x，-y）必然也是F（x）圖象上的一個(gè)點(diǎn)由于-x0，此時(shí)P（-x，-y）必滿足解析式y(tǒng)=ex，即-y=e-xy=-e-x上式

10、就是點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，即x0時(shí)F（x）的解析式當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)（-0）=-F（0），即F（0）=0所以奇函數(shù)（今后遇到函數(shù)奇偶性這類的問題時(shí)，要善于選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎ岸x法”是基本方法）練習(xí)（幻燈）  判斷下列函數(shù)的奇偶性，并說明理由1f（x）=x2+3，x-10，20；2f（x）=x3+x，x-2，2）；3f（x）=0，x-6，-22，6；5f（x）=|x-2|+|x+2|；6f（x）=|x-2|-|x+2|；7f（x）=5；生：1f（x）=x2+3，x-10，20的定義域關(guān)于原點(diǎn)不對稱，因此是非奇非偶函數(shù)2f（x）=x3+x，x-2，2）的定義域關(guān)于原點(diǎn)也不對稱，因

11、此是非奇非偶函數(shù)3f（x）=0，x-6，-22，6是既奇且偶函數(shù)這是因?yàn)閒（-x）=f（x）且f（-x）=-f（x），定義域關(guān)于原點(diǎn)也對稱，所以是既奇且偶函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)也對稱，所以是奇函數(shù)5f（x）=|x-2|+|x+2|是偶函數(shù)這是因?yàn)閒（-x）=|-x-2|+|-x+2|=|x+2|+|x-2|=f（x），且xR，所以是偶函數(shù)6f（x）=|x-2|-|x+2|是奇函數(shù)這是因?yàn)閒（-x）=|-x-2|-|-x+2|=|x+2|-|x-2|=-（|x-2|-|x+2|）=-f（x），且xR，所以是奇函數(shù)7f（x）=5是偶函數(shù)這是因?yàn)閒（-x）=5=f（x），且xR，所以是偶函數(shù)R，所以是奇

12、函數(shù)師：函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)，注意要與函數(shù)的單調(diào)性加以區(qū)分我們在記憶奇函數(shù)與偶函數(shù)定義的基礎(chǔ)上，還應(yīng)加以理解，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)有奇偶性的必要條件作業(yè)課本P52練習(xí)第2題，P59習(xí)題五第8，9，10題其中第10題加一問“為什么？”補(bǔ)充題：1設(shè)f（x）在R上是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x（1-x）試問：當(dāng)x0時(shí)，f（x）的表達(dá)式是什么？（解  當(dāng)x0時(shí)，-x0，所以f（-x）=-x（1+x）又因?yàn)閒（x）是奇函數(shù)，所以f（x）=-f（-x）=-x（1+x）=x（1+x）2若奇函數(shù)f（x）在3，7上是增函數(shù)且最小值為5，那么f（x）在-7，-3上是     A增函數(shù)且最小值為-5B增函數(shù)且最大值為-5 C減函數(shù)且最小值為-5D減函數(shù)且最大值為-5（答  B）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明我們可以根據(jù)定義來判斷一個(gè)函數(shù)的奇偶性，也可以根據(jù)一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對稱的特征來判斷它的奇偶性反過來，我們?nèi)粢阎粋€(gè)函數(shù)的奇偶性，也可以推斷它在整個(gè)定義域內(nèi)的圖象和性質(zhì)可見，在“函數(shù)的奇偶性”這一節(jié)中，“數(shù)”與“形”有著密切的聯(lián)系所以，