高等數(shù)學(xué)教案ppt課件

1、函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開三個(gè)問題：三個(gè)問題：什么是函數(shù)的什么是函數(shù)的Taylor展開式？展開式？泰勒展開式是否就收斂于某指泰勒展開式是否就收斂于某指 定的函數(shù)？定的函數(shù)？如何展開？（重點(diǎn)）如何展開？（重點(diǎn)）多項(xiàng)式是具有良好分析性質(zhì)的簡單函數(shù)，那么能否多項(xiàng)式是具有良好分析性質(zhì)的簡單函數(shù)，那么能否把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)成一個(gè)多項(xiàng)式來討論？把一個(gè)較復(fù)雜的函數(shù)表達(dá)成一個(gè)多項(xiàng)式來討論？一般來說，這不容易辦到但是能否用冪級(jí)數(shù)一般來說，這不容易辦到但是能否用冪級(jí)數(shù)呢？在某些條件下這是可能的，也是在實(shí)際應(yīng)呢？在某些條件下這是可能的，也是在實(shí)際應(yīng)用中非常重要的方法用中非常重要的方法一、泰勒級(jí)數(shù)一、泰勒級(jí)

2、數(shù)假定函數(shù)假定函數(shù))(xf點(diǎn)有任意階的導(dǎo)數(shù)，那點(diǎn)有任意階的導(dǎo)數(shù)，那么么在在0 xxnnnnnxxnxfxxxfxxxfxfxxnxf)(!)()(! 2)()( )()(!)(00)(200000000)(特別地，取特別地，取00 x時(shí)，叫麥克勞林級(jí)數(shù)時(shí)，叫麥克勞林級(jí)數(shù)Maclaurinnnnnnxnfxfxffxnf!) 0(! 2) 0( ) 0( ) 0(!) 0()(20)(叫做叫做)(xf在在0 xx處的泰勒級(jí)數(shù)，處的泰勒級(jí)數(shù)，叫做泰勒系數(shù)叫做泰勒系數(shù)!)(0)(nxfann只要作一個(gè)簡單的變量替換就可把泰勒級(jí)數(shù)化為只要作一個(gè)簡單的變量替換就可把泰勒級(jí)數(shù)化為麥克勞林級(jí)數(shù)以下我們就只討

3、論后者麥克勞林級(jí)數(shù)以下我們就只討論后者泰勒級(jí)數(shù)的前泰勒級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)和叫做項(xiàng)和叫做)(xf的的n階泰勒多項(xiàng)式階泰勒多項(xiàng)式nnxnfxfxff!) 0(! 2) 0( ) 0( ) 0()(2函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)與其函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)與其n階泰勒多項(xiàng)式的差叫階泰勒多項(xiàng)式的差叫n階泰階泰勒余項(xiàng)勒余項(xiàng)!) 0(! 2) 0( ) 0( ) 0(!) 0()()(20)(nnnnnnxnfxfxffxnfxR可用以表示誤差，是進(jìn)行近似計(jì)算的基礎(chǔ)可用以表示誤差，是進(jìn)行近似計(jì)算的基礎(chǔ)上述的余項(xiàng)形式并不便于應(yīng)用，常見的余項(xiàng)形式有上述的余項(xiàng)形式并不便于應(yīng)用，常見的余項(xiàng)形式有1) 1()!1()()(nnnxnfxR，叫，

4、叫Lagrange型余項(xiàng)型余項(xiàng)),()(nnxoxR叫叫Peano型余型余項(xiàng)項(xiàng)前者用于定量的討論，后者用于定性討論前者用于定量的討論，后者用于定性討論 介于介于0與與x之間之間二、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂于原來的函數(shù)？二、函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂于原來的函數(shù)？對(duì)一個(gè)函數(shù)，只要其任意階導(dǎo)數(shù)存在，就可以寫出它對(duì)一個(gè)函數(shù)，只要其任意階導(dǎo)數(shù)存在，就可以寫出它的泰勒級(jí)數(shù)，那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂于原來的函數(shù)嗎？的泰勒級(jí)數(shù)，那么這個(gè)冪級(jí)數(shù)收斂于原來的函數(shù)嗎？答案是：不一定答案是：不一定這就是說，寫出的泰勒級(jí)數(shù)也不能用只有在收這就是說，寫出的泰勒級(jí)數(shù)也不能用只有在收斂的部分收斂到已知函數(shù)才有意義斂的部分收斂到已知函數(shù)

5、才有意義那么在什么樣的條件下，一個(gè)函數(shù)能用其泰勒那么在什么樣的條件下，一個(gè)函數(shù)能用其泰勒級(jí)數(shù)表示呢？級(jí)數(shù)表示呢？我們有下面的收斂定理：我們有下面的收斂定理：假假設(shè)設(shè))(xf0 x在在有任意階的導(dǎo)數(shù)，且有任意階的導(dǎo)數(shù)，且)(xf)(xf的的n階階泰勒余項(xiàng)趨于當(dāng)泰勒余項(xiàng)趨于當(dāng)n時(shí)），那時(shí)），那么么可可展開為泰勒級(jí)數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)即即0)(!) 0()(nnnxnfxf此時(shí)，在此時(shí)，在x點(diǎn)泰勒級(jí)數(shù)收斂于點(diǎn)泰勒級(jí)數(shù)收斂于)(xf三、如何把一個(gè)函數(shù)展開為其泰勒級(jí)數(shù)三、如何把一個(gè)函數(shù)展開為其泰勒級(jí)數(shù)把一個(gè)函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)有二法：把一個(gè)函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)有二法：直接法和間接法直接法和間

6、接法直接方法：直接方法：求各階導(dǎo)數(shù)求各階導(dǎo)數(shù))0()(nf寫出泰勒級(jí)數(shù)；寫出泰勒級(jí)數(shù)；求出泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間；求出泰勒級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間；在收斂區(qū)間內(nèi)，余項(xiàng)是否趨于？在收斂區(qū)間內(nèi)，余項(xiàng)是否趨于？例求例求xexf)(的冪級(jí)數(shù)展開式的冪級(jí)數(shù)展開式解解, 1)0()(nf故已知函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)為故已知函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)為nnnnxnxxxnf!1! 211!)0(20)(此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是此級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間是).,(而泰勒余項(xiàng)的絕對(duì)值而泰勒余項(xiàng)的絕對(duì)值0)!1(|)!1(| )(|1|1nxexnexRnxnn所以所以xexf)(的冪級(jí)數(shù)展開式為的冪級(jí)數(shù)展開式為,!1! 211!120nnnxxnxxxne),

7、(x注意注意補(bǔ)充補(bǔ)充必要必要的步的步驟驟Rx 例例2.sin)(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn),( x在討論余項(xiàng)在討論余項(xiàng)0)(xRn時(shí)，可簡化為討論是否存在時(shí)，可簡化為討論是否存在M,Mxfn| )(|) 1(使使) 0)!1()()(1)1(nnnxnfxR例例3.)()1()(的的冪冪級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)展展開開成成將將xRxx

8、f 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 Rnxnnxxx!) 1() 1(! 2) 1(1)1 (2)1 , 1( x牛頓二項(xiàng)式的推廣牛頓二項(xiàng)式的推廣例子中我們略去了討論余項(xiàng)的步驟！例子中我們略去了討論余項(xiàng)的步驟！注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 ,1(1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 ,1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 ,11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為你能利用牛頓的二項(xiàng)式展開式寫出你能利用牛頓的二項(xiàng)式

9、展開式寫出xxx11,1,11的泰勒展開式嗎？的泰勒展開式嗎？此級(jí)數(shù)稱為二項(xiàng)式級(jí)數(shù)此級(jí)數(shù)稱為二項(xiàng)式級(jí)數(shù)2.2.間接法間接法利用常見展開式利用常見展開式, 通過變量代換通過變量代換, 四則運(yùn)算四則運(yùn)算, 恒恒等變形等變形, 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法逐項(xiàng)積分等方法,求展開式求展開式.這是經(jīng)常用的方法，但前提是必須記住一些這是經(jīng)常用的方法，但前提是必須記住一些常見的函數(shù)的冪級(jí)數(shù)！常見的函數(shù)的冪級(jí)數(shù)！例例)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn例例 xnnnxdxxdxxx00202) 1(11arctan01200212) 1() 1(nnnnxnnnxdxx12) 1(75312753nxxxxxnn) 11(x例例)1ln(xxdxx011xnnndxx00) 1(00) 1(nxnndxx011) 1(nnnnx1) 1(4321432nxxxxxnn) 11(x熟練地將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是基本要求之一，千萬熟練地將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)是基本要求之一，千萬要注意指出收斂區(qū)間！否則就是不完整的解答要注意指出收斂區(qū)間！否則就是不完整的解答如果是較復(fù)雜的函數(shù)，需要將其分解為熟悉的情況如果是較復(fù)雜的函數(shù)