高等數(shù)學(xué)中的哲學(xué)ppt課件

1、第一節(jié)直與曲第一節(jié)直與曲 第二節(jié)常量與變量第二節(jié)常量與變量第三節(jié)連續(xù)與間斷第三節(jié)連續(xù)與間斷 第四節(jié)有限與無(wú)限第四節(jié)有限與無(wú)限 第五節(jié)抽象與具體第五節(jié)抽象與具體 第六節(jié)局部與整體第六節(jié)局部與整體 第七節(jié)偶然性與必然性第七節(jié)偶然性與必然性 第五章第五章 高等數(shù)學(xué)中的辯證思想方法高等數(shù)學(xué)中的辯證思想方法退出第一節(jié)第一節(jié) 直與曲直與曲 直與曲是兩個(gè)完全不同的數(shù)學(xué)概念. 從直觀形象看，前者平直后者彎曲；從幾何特性來(lái)看，前者曲率為0，后者曲率不恒為0；從代數(shù)表達(dá)式來(lái)看，前者是線性方程，后者是非線性方程. 因而, 直與曲的差別是明顯的, 那么這兩個(gè)差別如此顯著的對(duì)立概念是否存在內(nèi)在聯(lián)系，能否在一定條件下互相

2、轉(zhuǎn)化呢？ 恩格斯曾經(jīng)指出，“高等數(shù)學(xué)的主要基礎(chǔ)之一是這樣一個(gè)矛盾，在一定條件下直線和曲線應(yīng)當(dāng)是一回事.” 高等數(shù)學(xué)正是利用直與曲以及其它一些矛盾的轉(zhuǎn)化達(dá)到了初等數(shù)學(xué)所不能達(dá)到的目的.返回 從高等數(shù)學(xué)的思想方法中可以看出，直與曲除了有非直即曲的一面，也存在亦直亦曲的一面. 存在直與曲之間的中介狀態(tài)，通過(guò)這個(gè)中介狀態(tài)實(shí)現(xiàn)直與曲的轉(zhuǎn)化. 比如，曲線的漸近線是指, 在曲線無(wú)限延伸時(shí)與一條定直線“無(wú)限接近，但永不相交”, 其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下確定: 設(shè)曲線為yfx），其漸近線為y = k xb， 那么 0)bkx()x(f limx 問(wèn)：對(duì)于任意大的正數(shù)X, 曲線y=f(x)上 當(dāng)X 時(shí)的那一部分是曲線還是

3、直線？返回 答案當(dāng)然應(yīng)該是曲線，因?yàn)檫@部分是整個(gè)曲線yfx的一部分，這部分上每一點(diǎn)的曲率都不為0. 但它又很象直線，而且延伸越遠(yuǎn)就越象直線, 雖然每點(diǎn)曲率均不為0，但在延伸過(guò)程中，曲率無(wú)限趨近于0. 因而，在無(wú)限延伸部分就很難分出它是直線還是曲線，可以說(shuō)它是“亦直亦曲”，是直線與曲線之間的一種中間狀態(tài). 既是帶有直線性質(zhì)的曲線，也是具有“曲性的“直線”，是直與曲對(duì)立的“中介”，它處于“亦直亦曲的狀態(tài). 返回 在高等數(shù)學(xué)中，利用直與曲的這種中介狀態(tài), 實(shí)現(xiàn)局部范圍內(nèi)的“以直代曲”，是高等數(shù)學(xué)中的一種基本的辯證思想方法.例1求曲邊梯形的面積. 第一步：化整為零. 首先，把曲邊梯形的底邊任意分成n段

4、，然后以每一小段為底邊，用平行于y軸的直線把曲邊梯形分割成n個(gè)小的曲邊梯形. 第二步: 以直代曲. 在每個(gè)小曲邊梯形中把曲邊看成直邊，于是就可以用這些小“直邊矩形的面積近似地代小曲邊梯形的面積. 這樣在分割的條件下實(shí)現(xiàn)了局部的“以直代曲”.返回第四步：取極限. 通過(guò)取極限，再把分割無(wú)限加細(xì)，近似程度會(huì)越來(lái)越高，從而使小直邊矩形面積的和轉(zhuǎn)化為原來(lái)曲邊梯形的面積. 這樣一來(lái)，局部的“直經(jīng)過(guò)無(wú)限積累又反過(guò)來(lái)轉(zhuǎn)化為整體的“曲”，最后得出了曲邊梯形的面積. 這就是定積分定義中分割、求和、取極限的辯證思維過(guò)程. 第三步：積零為整. 把n個(gè)小“直邊矩形的面積累加起來(lái)，用這n個(gè)小直邊矩形的面積之和在整體上近似

5、地代替原曲邊梯形的面積. 這種代替當(dāng)然是有誤差的, 為了消除這種誤差，還需進(jìn)行第四步.返回例2 已知物體在區(qū)間a,b上任意一點(diǎn)x處的平行截面積為A(x), 求物體的體積V.微元法 ：在任意一點(diǎn)x處作x的微元dx, 過(guò)x與x + dx作垂直于x軸的平面, 截得物體的面積分別為A(x)與A(x + dx). 一般地說(shuō)，A(x)與A(x +dx)是不相等的，從物體中截得的部分是以A(x)與A(x+dx)為上、下底的曲柱體. 但由于dx很小, 因此可以“以直代曲”. 將截得的曲柱體近似的看作以A(x)為底，以dx為高的直柱體, 于是得體積微元A(x)dx (圖5-4). 然后將體積微元在a, b上累積

6、起來(lái)，就得到物體的體積V. badxxAV)(返回 例3 已測(cè)得某水庫(kù)深水體積V(萬(wàn)方)和水深H(米)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)值表 H(米)05101520253035V(萬(wàn)方) 01545119205315460610利用描點(diǎn)法描出的曲線近似拋面線 返回假設(shè) V = aH2,作變換 H2 = h, V = v,曲線方程 V = aH2 轉(zhuǎn)化為直線方程 v = ah, 得對(duì)應(yīng)的數(shù)值表h=H20251002254006259001225v01545119205310460610在hv直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，用直線型經(jīng)驗(yàn)公式可確定出 v = 0.504h. 然后再代回曲線方程，得 V = 0.504H2.返回必須指

7、出：“直曲轉(zhuǎn)化是有條件的，并非任何情況下都可“以直代曲”. 如，求半徑為r的半圓周長(zhǎng). 如果我們不是用弦來(lái)代替圓弧，而是用平行于直徑的線段來(lái)代替圓弧, 則結(jié)果求得半圓周長(zhǎng)為2r ; 返回 如果我們用平行于直徑的線段與垂直，于直徑的線段構(gòu)成的折線段來(lái)代替圓弧，則結(jié)果求得半圓周長(zhǎng)為4r . 這些顯然都是錯(cuò)誤結(jié)論. 錯(cuò)誤的根本原因在于“以直代曲過(guò)程中，并不是用等價(jià)無(wú)窮小去代替. 因而，在將直曲轉(zhuǎn)化的辯證思想運(yùn)用到具體問(wèn)題中時(shí)，必須注意可轉(zhuǎn)化的條件. 第二節(jié)第二節(jié) 常量與變量常量與變量一、常量在一定條件下具有任意性一、常量在一定條件下具有任意性 比如，數(shù)列極限定義中的 又如，不定積分中的積分常數(shù)C C

8、xFdxxf)()(二、常量與變量的相對(duì)性二、常量與變量的相對(duì)性 高等數(shù)學(xué)被稱(chēng)為變量數(shù)學(xué)，這是相對(duì)于初等數(shù)學(xué)而言的.其實(shí)在高等數(shù)學(xué)中，常量與變量既有著嚴(yán)格的區(qū)分，又相互依存，相互滲透，在一定條件下相互轉(zhuǎn)化.返回 如，在函數(shù)概念中，常量與變量是對(duì)于某一過(guò)程而言的. 例如，某架飛機(jī)從甲地飛往乙地，在飛行過(guò)程中，我們說(shuō)飛機(jī)離開(kāi)甲地的距離; 飛機(jī)上汽油的儲(chǔ)存量; 飛機(jī)離地面的高度等都是變量. 而飛機(jī)上乘客的人數(shù); 飛機(jī)上行李的重量等都是常量. 但是，飛機(jī)上行李的重量是否一定是常量呢？因?yàn)轱w機(jī)離地面的高度在變化，飛機(jī)上行李的重量也在變化，只不過(guò)這個(gè)變化較之于飛機(jī)離開(kāi)甲地的距離，飛機(jī)上汽油的儲(chǔ)存量它變化很

9、小，幾乎沒(méi)有變化，因此可以看作常量. 再如，在多元函數(shù)微積分中，為了研究某一個(gè)變量的性態(tài)，往往把其余變量看作常量. yey2x6xzx返回yexy2x3zx2z對(duì)自變量x的偏導(dǎo)數(shù)求二元函數(shù)同樣，二重積分 的計(jì)算 Rdxdy)y, x(fba)x(y)x(ydc)y(x)y(xR2121dx) y, x( fdydy) y, x( fdxdxdy) y, x( f 三、通過(guò)常量來(lái)刻劃變量三、通過(guò)常量來(lái)刻劃變量 高等數(shù)學(xué)中變量的運(yùn)動(dòng)與變化，往往是通過(guò)相對(duì)靜止的常量來(lái)刻劃的. 在解析幾何中，根據(jù)二次曲線方程的系數(shù)，來(lái)判別二次曲線的類(lèi)型.設(shè)二次曲線方程為 A1x2 +2B1xy + Cy2 +2Dx

10、+2Ey +F1 = 0, (*)返回 在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行平移或旋轉(zhuǎn)變換，在新坐標(biāo)系中曲線方程(*)化為 A2u2 +2B2uv +C2v2 +2D2u +2E2v + F2 = 0. (*) 方程(*)化為方程(*)的變換過(guò)程中，方程各項(xiàng)的系數(shù)一般會(huì)發(fā)生變化，但有一些量是固定不變的.I1 = A1 +C1 = A2 +C2; I2 = = ; 1111CBBA2222CBBA I3 = = 111111111FEDECBDBA222222222FEDECBDBA返回返回 在常微分方程中，常數(shù)變易法，是用常量來(lái)刻劃變量的典型思想方法. 比如，求一階線性方程 (*)的通解.)()(xfyxPdx

11、dy容易求得通解為dx)x(PCey0C然后把齊次方程通解中的常數(shù)C看成變量，設(shè)非齊次方程的通解為dx)x(Pe )x(Cy算出導(dǎo)數(shù)dx)x(Pdx)x(Pe )x(P)x(CedxdCdxdy0y)x(Pdxdy首先求一階線性齊次方程 的通解. 返回代入原方程(*)，可求得 C(x) = ,*Cdxe )x(fdx)x(P于是一階線性方程(*)的通解為 ).(eYdx)x(P*Cdxe )x(fdx)x(P四、通過(guò)變量來(lái)研究常量四、通過(guò)變量來(lái)研究常量 在高等數(shù)學(xué)中，有時(shí)需要通過(guò)變量來(lái)研究常量. 也就是把常量看成變量的暫住狀態(tài)或特定值，以及變量在變化過(guò)程中的穩(wěn)定趨勢(shì). 如，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值

12、和拐點(diǎn)，就是利用變量來(lái)研究常量的. 返回又如，求參變量函數(shù) 122dxyxysin)y(2在y = 時(shí)的函數(shù)值 . )2( 是常量，當(dāng)然我們希望將 代入含參積分中來(lái)計(jì)算，這樣就很容易求得)2(2)2(122)2(1dxx2221221arctgxarctg但這必須要證明函數(shù)在 處連續(xù). 2返回 為了討論函數(shù)在定點(diǎn)x = 的連續(xù)性, 需要轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)在包含 的區(qū)間a, b上的連續(xù)性. 22通過(guò)證明含參積分 122dxyxysin在a, b上一致收斂 從而證明函數(shù) 在a, b上連續(xù)，進(jìn)而得出函數(shù) 在點(diǎn)x = 處連續(xù). 于是前面的計(jì)算是可行的 )y()y(2在微積分基本公式 = F(b)F(a)

13、badx)x(f左邊是一個(gè)完全確定的常量. 但為了研究這個(gè)常量，在證明過(guò)程中，先用變量x代替常數(shù)b. 返回從而把面積S變量化，得到一個(gè)關(guān)于x的函數(shù) S(x) = xadt) t (f然后證明S(x)是f(x)在a, b上的一個(gè)原函數(shù), 而F(x)也是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，于是有 F(x) = S(x) + C = + C,xadt) t (f再將a, b代入上式，確定出任意常數(shù)C的值，就得到 微積分基本公式 = F(b)F(a) badx)x(f返回第三節(jié)第三節(jié) 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、連續(xù)與間斷是事物兩種不同的性態(tài)一、連續(xù)與間斷是事物兩種不同的性態(tài) 在高等數(shù)學(xué)中，連續(xù)與間斷帶來(lái)函數(shù)性質(zhì)的顯

14、著差異. 比如，閉區(qū)間a, b上的連續(xù)函數(shù)，一定存在最大值與最小值，并且可取得介于最小值與最大值之間的一切值. 只有函數(shù)f(x)在a, b上連續(xù)，且f(a)f(b)N時(shí)，從第N+1項(xiàng)起，以后的一切項(xiàng)a n都落在長(zhǎng)度為2的鄰域內(nèi)，這也是實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn). 可以說(shuō)，把微積分建立在極限基礎(chǔ)之上，就是運(yùn)用實(shí)無(wú)限觀點(diǎn)的成果.一、有限與無(wú)限存在質(zhì)的差異一、有限與無(wú)限存在質(zhì)的差異 從有限發(fā)展到無(wú)限，是認(rèn)識(shí)上的一次重大飛躍. 有限與無(wú)限之間存在著質(zhì)的差異，這種差異在高等數(shù)學(xué)中，首先表現(xiàn)在式的運(yùn)算方面. nlim)941(3333 項(xiàng)nnnnlim3n1nlim3n4nlim3n9nlim)941(32333項(xiàng)nn

15、nnnnnlim36) 12)(1(nnnn31返回 又如，有限個(gè)連續(xù)函數(shù)的積是連續(xù)的，但無(wú)限個(gè)連續(xù)函數(shù)的積卻不一定連續(xù); 有限個(gè)可微分函數(shù)的和可微，有限個(gè)可積函數(shù)的和可積，如果把“有限改為“無(wú)限”，則結(jié)論都不成立. 在運(yùn)算法則上，有限滿足結(jié)合律、交換律與分配律，無(wú)限的情況則不能隨意運(yùn)用這些定律，否則將導(dǎo)致謬誤的結(jié)論. 例如11 + 11 + 11 + = (11) + (11) + (11) + = 0;又有11 + 11 + 11 + = 1(11)(1-1) = 1,這顯然是荒謬的. 對(duì)于區(qū)間或區(qū)域而言，函數(shù)在有限區(qū)間(或區(qū)域)的性質(zhì)，不能不加限制地推廣到無(wú)限區(qū)間(或區(qū)域)上去. 比如，

16、連續(xù)函數(shù)在任何有限閉區(qū)間上都可積，但不能斷言該函數(shù)在無(wú)限區(qū)間上可積; 返回 函數(shù)f(x)在( )內(nèi)的任何有限閉區(qū)間上一致連續(xù), 但f(x)在( )內(nèi)可能不一致連續(xù); 函數(shù)級(jí)數(shù) 在有限區(qū)間上收斂，但在無(wú)限區(qū)間上可能不收斂. ,1nn)x(u 在數(shù)量關(guān)系上，一個(gè)有限集合與它的真子集之間不能建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系,但一個(gè)無(wú)限集合就可以和它的真子集建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系. 比如，N為自然數(shù)集, G為正偶數(shù)集，則N與G可以一一對(duì)應(yīng). 一個(gè)無(wú)限區(qū)間可以和一個(gè)有限區(qū)間建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系. 如無(wú)限區(qū)間( )與有限區(qū)間 可以通過(guò)函數(shù)關(guān)系y = arctgx 建立一一對(duì)應(yīng). ,)2,2(返回 同樣，如圖ABD與ACD面積不

17、等，但它們中的與AD平行的線段等長(zhǎng), 且“條數(shù)是一樣多.返回二、通過(guò)有限認(rèn)識(shí)無(wú)限二、通過(guò)有限認(rèn)識(shí)無(wú)限 在高等數(shù)學(xué)中，為了達(dá)到認(rèn)識(shí)不確定的、無(wú)限的情形，常常是從確定的、有限的情形出發(fā)的. 在數(shù)列極限概念中，無(wú)窮數(shù)列a n是不能全部寫(xiě)出來(lái)的，為了考察其無(wú)限變化的趨勢(shì)，我們研究有限的a n與有限的a之間的距離a na，如果距離能任意小，我們就可以間接地知道a n無(wú)限變化的結(jié)果就是a. 因此極限是利用有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限的一種數(shù)學(xué)方法，同時(shí)也說(shuō)明極限是有限與無(wú)限的對(duì)立統(tǒng)一. 數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)，是人們用有限認(rèn)識(shí)無(wú)限的一種方法. 凡涉及對(duì)任意自然數(shù)n都成立的命題P1），P2）, P3）, Pn）， 這是無(wú)限的命

18、題列，要一個(gè)一個(gè)地去驗(yàn)證永遠(yuǎn)也證不完. 人們是如何通過(guò)有限來(lái)把握無(wú)限，實(shí)現(xiàn)對(duì)這無(wú)窮多個(gè)命題的證明的呢？ 返回（1從有限入手，首先驗(yàn)證P1），P2），為真； （2假設(shè)nk時(shí) Pk真, 然后證明n = k +1時(shí) Pk +l真. 這樣，從 Pk到 Pk +1的轉(zhuǎn)化，論證了這無(wú)限多個(gè)命題的正確性. 無(wú)窮級(jí)數(shù) a1 + a2 + a3 + a4 + + an + 的求和，也是人們通過(guò)有限認(rèn)識(shí)無(wú)限的例子. 為了計(jì)算無(wú)窮級(jí)數(shù)的和，先計(jì)算有限項(xiàng)的和 Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + + an.若極限 s 是一個(gè)有限數(shù)，則稱(chēng)s 為無(wú)窮級(jí)數(shù)的和.sSlimnn返回 三、通過(guò)無(wú)限來(lái)表示有限三、通過(guò)

19、無(wú)限來(lái)表示有限 我們一方面通過(guò)有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限. 另一方面, 我們又通過(guò)無(wú)限來(lái)表示有限，從而實(shí)現(xiàn)有限與無(wú)限的相互轉(zhuǎn)化.如，函數(shù)f(x)在點(diǎn)a的泰勒展開(kāi)式 nnaxnafaxafaxafafxf)(!)()(! 2)()()()()(2 左邊是有限形式，右邊是無(wú)限形式; 左邊是整體未知，右邊是每項(xiàng)已知. 4142. 12 1415. 33333.031又如 返回第五節(jié)第五節(jié) 抽象與具體抽象與具體 一、高度抽象是數(shù)學(xué)的主要特征一、高度抽象是數(shù)學(xué)的主要特征 1.數(shù)學(xué)抽象就是要把對(duì)象理想化. 數(shù)學(xué)是在純粹狀態(tài)下研究量與量的關(guān)系，它所研究的量與量的變化，是在理想條件下表現(xiàn)的純粹的、獨(dú)立的、真正的過(guò)程. 如

20、 各種數(shù)系：如自然數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)、超越數(shù)等； 各種結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、幾何結(jié)構(gòu)等； 各種空間：歐氏空間、拓?fù)淇臻g等；各種關(guān)系： 如同構(gòu)、同態(tài)、同調(diào)等； 各種屬性：如連續(xù)性、確定性、隨機(jī)性等.返回?cái)?shù)學(xué)抽象主要經(jīng)歷了三個(gè)發(fā)展階段: 第一階段：產(chǎn)生數(shù)的概念,使對(duì)象同一起來(lái)，撇開(kāi)個(gè)體物的質(zhì)的無(wú)限多樣性和創(chuàng)造數(shù)的符號(hào)，即數(shù)字.2.數(shù)學(xué)的抽象有一系列的發(fā)展階段 第二階段：從算術(shù)過(guò)渡到代數(shù)，在代數(shù)中已經(jīng)不使用個(gè)別的具體數(shù)字，而使用字母符號(hào),具體的數(shù)字對(duì)字母符號(hào)而言是特殊的東西. 第三階段：不僅是撇開(kāi)符號(hào)的一切數(shù)字內(nèi)容，而且根本撇開(kāi)數(shù)學(xué)運(yùn)算本身的量的內(nèi)容. 從運(yùn)算角度來(lái)看，最初是數(shù)目的運(yùn)算： 32 + 4

21、2 =52. 進(jìn)而發(fā)展為代數(shù)式的運(yùn)算： a2 + b2 c2 再進(jìn)一步抽象為代數(shù)系統(tǒng)的運(yùn)算： （f + g，f + g）（f，f）（g，g） 返回 3.數(shù)學(xué)的研究方法幾乎完全致力于用邏輯的方法處理抽象的概念和它們的相互關(guān)系.4.數(shù)學(xué)具有自身特有的符號(hào)語(yǔ)言來(lái)表述自身的內(nèi)容. 數(shù)列極限： aaNnNNaannn, 0limx)a(f)xa(flim)a(f0 x導(dǎo)數(shù)概念： 又如，函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 本來(lái)這個(gè)記號(hào)是一個(gè)整體記號(hào), 分子分母不可分，但有了復(fù)合函數(shù)微分法則之后，發(fā)現(xiàn)這個(gè)記法有巨大的優(yōu)越性:dxdydxdtdtdydxdy返回 只有引進(jìn)經(jīng)過(guò)精心設(shè)計(jì)的符號(hào)和改進(jìn)公理化方法，數(shù)學(xué)才能不斷地發(fā)展.中

22、國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展從另一個(gè)角度證明了這一點(diǎn). 中國(guó)古代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要特點(diǎn)是用算籌，它支配中國(guó)古代數(shù)學(xué)達(dá)兩千年之久，算籌的使用曾經(jīng)促進(jìn)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展.然而，從公元前1世紀(jì)的到14世紀(jì)朱世杰的四元玉鑒，代數(shù)的內(nèi)容有了很大發(fā)展，但在數(shù)學(xué)語(yǔ)言方面，仍采用算籌而沒(méi)有任何改進(jìn).在中，由于處理的問(wèn)題比較簡(jiǎn)單，不用符號(hào)用算籌，運(yùn)算步驟和方法尚好理解；而在處理比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，用算籌布列和文字?jǐn)⑹?，就難以理解了 . 例如，祖頤在后序（ 1303中關(guān)于四元消去法寫(xiě)道：“以元?dú)饩又?，立天勻、地股、人弦、物黃方，考圖明之，上升下降，左右進(jìn)退，互通變化，乘除往來(lái)，用假象真，以虛向?qū)?，錯(cuò)綜正負(fù)，分成四式.必以寄之，剔之

23、，余籌易位，橫沖直撞，精而不雜，自然而然，消而和會(huì)，以成開(kāi)方之式也.” 返回 朱世杰用“太表示常數(shù)項(xiàng)，居中；用天、地、人、物表示四個(gè)未知量，其系數(shù)分別放在“太的下方、左方、右方和上方.上、下、左、右四個(gè)方位只能放四個(gè)未知量, 如果有第五個(gè)未知量，就無(wú)處安排，要推廣到n個(gè)就更不可能了. 李善蘭用“微的偏旁“彳表示微分，用積的偏旁“禾表示積分. 22dydxdz彳人 = 二二彳地彳天返回C)xaln(xadx對(duì)天甲彳天天甲)(禾 二、高度抽象使數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用二、高度抽象使數(shù)學(xué)具有廣泛應(yīng)用 數(shù)學(xué)的高度抽象性，使數(shù)學(xué)概念、量的關(guān)系具有廣容性的特點(diǎn)， 我們能夠用同一個(gè)數(shù)學(xué)模型來(lái)研究不同對(duì)象的問(wèn)題，也可

24、以把形形色色的同類(lèi)型的具體問(wèn)題，用相同或類(lèi)似的數(shù)學(xué)方法來(lái)處理. 比如解方程, 19世紀(jì)以前, 解方程占據(jù)著代數(shù)學(xué)舞臺(tái)的中心，是代數(shù)學(xué)家最關(guān)心的問(wèn)題.大約在三千年前，巴比倫人實(shí)際上已經(jīng)知道二次方程的求根公式. 至于三次方程的公式解法直到 1500年左右，意大利數(shù)學(xué)家費(fèi)羅Ferro, 14651526才給出三次方程的公式解，但未發(fā)表. 1545年，卡爾達(dá)諾發(fā)表了三次方程的公式解法. 不久，卡爾達(dá)諾的學(xué)生費(fèi)拉里Ferrari，15221565給出了四次方程的公式解. 返回 在得到二次、三次和四次方程的根式解之后，人們自然要尋求五次或五次以上方程的根式解，但沒(méi)有成功.1826年，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾證明，

25、高于四次的一般方程沒(méi)有根式解.18291832年間，法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦(Galois,18111832)把一個(gè)代數(shù)方程是否有根式解，歸結(jié)為該方程的“群的性質(zhì)，并利用群的性質(zhì)徹底解決了幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)家一直未能解決的問(wèn)題，給出了代數(shù)方程可用根式解的判別準(zhǔn)則. 因而, 數(shù)學(xué)的高度抽象，使它成為解決具體問(wèn)題的銳利武器. 三、數(shù)學(xué)抽象與具體的辯證關(guān)系三、數(shù)學(xué)抽象與具體的辯證關(guān)系 數(shù)學(xué)抽象與具體的辯證關(guān)系還表現(xiàn)在數(shù)學(xué)概念自身的相互關(guān)系. 比如函數(shù)概念，在抽象函數(shù)y =f(x)中，函數(shù)關(guān)系f是抽象的, 只有在具體函數(shù)中，f才是具體的. 返回1)(2xyxfy具體表示的函數(shù)用的函數(shù)依賴于抽象xxxyxfy1)

26、(2共同點(diǎn)：都是函數(shù)； 不同點(diǎn)：左邊是抽象的，右邊是具體的； 左邊是被動(dòng)的，右邊是主動(dòng)的.返回第六節(jié)第六節(jié) 局部與整體局部與整體 所謂點(diǎn)態(tài)性是指對(duì)一個(gè)關(guān)于x的命題P(x)，當(dāng)討論p(x)在點(diǎn)x0是否成立時(shí)，只考慮點(diǎn)x0或點(diǎn)x0的一個(gè)充分小的鄰域內(nèi)的點(diǎn)的性態(tài).一、部分一、部分“點(diǎn)態(tài)性點(diǎn)態(tài)性”一般可分為三種情形：(1) 單純靜點(diǎn)態(tài)：直接將x0代人命題p(x)中，只考慮P(x)在點(diǎn)x0的值，而不考慮p(x)在x0附近的其它點(diǎn)上的值. 例如，判斷函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是否有定義, 求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的函數(shù)值,求方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根等，都是屬于單純靜點(diǎn)態(tài)問(wèn)題. 返回 (2) 比較靜點(diǎn)態(tài)：除了考慮p

27、(x)在點(diǎn)x0的值外，還需考慮p(x)在x0附近的其它點(diǎn)上的值，通過(guò)比較，得出p(x)在點(diǎn)x0是否為真.例如，判斷函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0是否有極值. (3) 動(dòng)點(diǎn)態(tài)：除了考慮p(x)在點(diǎn)x0的值外，還需考慮在x0的某鄰域內(nèi)p(x)運(yùn)動(dòng)變化的情形，從而得出p(x)在點(diǎn)x0是否為真例如，判別函數(shù)f(x)在x0是否存在極限，則屬于動(dòng)點(diǎn)態(tài)問(wèn)題. 二、整體二、整體“區(qū)間性區(qū)間性” 所謂整體“區(qū)間性是指當(dāng)討論一個(gè)關(guān)于x的命題P(x)是否成立時(shí)，必須考慮P(x)在整體區(qū)間上的性態(tài).返回例如， 定積分的概念： niiixbaxfdxxf10)(lim)(一致連續(xù)概念：函數(shù)f(x)在某區(qū)間(a, b)上一致連續(xù))

28、,(, 0)(, 021baxx)()()(1212xfxfxx 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理是整體整體性質(zhì)： 有界性定理,最值性定理,它們都是在整個(gè)區(qū)間上考慮函數(shù)的性態(tài)，因而屬于函數(shù)的整體性質(zhì).返回三、局部性與整體性的辯證關(guān)系三、局部性與整體性的辯證關(guān)系 函數(shù)的局部性(點(diǎn)態(tài)性)與整體性(區(qū)間性)并不是孤立的，而是相互聯(lián)系，相互轉(zhuǎn)化. 比如，函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)上一致連續(xù)是整體性概念, 但如果將x1固定，x2為任意點(diǎn)x，則函數(shù)f(x)在點(diǎn)x1連續(xù)，這就將函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)上的整體性質(zhì)轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)在固定點(diǎn)x1的局部性質(zhì). 反之，如果將(a, b)改為閉區(qū)間a, b，而函

29、數(shù)f(x)在a, b上連續(xù)，則可以證明函數(shù)f(x)在a, b上一致連續(xù), 這又將函數(shù)的局部性質(zhì)轉(zhuǎn)化為整體性質(zhì). 又如，函數(shù)f(x)在a, b上的定積分 是一個(gè)整體性概念，但如果對(duì)任意x a，b，令badx)x(f返回xadttfxF)()( 當(dāng)f(x)在a, b上連續(xù)時(shí)， 函數(shù) 是f(x)在a, b上的原函數(shù), 滿足 , 而定積分 變成函數(shù)F(x)在點(diǎn)b的函數(shù)值. 這樣，將求函數(shù)f(x)在a, b上的定積分變成函數(shù)F(x)在點(diǎn)b的函數(shù)值. )()(xfxF)(xFbadx)x(f 這樣，將求函數(shù)f(x)在a, b上的定積分這一整體性問(wèn)題, 轉(zhuǎn)化成為求函數(shù)F(x)在點(diǎn)b的函數(shù)值這一局部性問(wèn)題.

30、另外，局部性與整體性的相互轉(zhuǎn)化是有條件的函數(shù)連續(xù)轉(zhuǎn)化為一致連續(xù)，條件必須是閉區(qū)間;定積分能轉(zhuǎn)化成函數(shù)F(x)在點(diǎn)b的值，條件是積分 能求出來(lái). xadt) t (f返回第七節(jié)第七節(jié) 偶然性與必然性偶然性與必然性 一、隨機(jī)事件與必然事件一、隨機(jī)事件與必然事件 必然現(xiàn)象-事物的變化服從確定的因果關(guān)系 基本特點(diǎn)-具有嚴(yán)格的可預(yù)言性和可重復(fù)性 自然現(xiàn)象： 隨機(jī)現(xiàn)象-事物的變化具有多種的可能性隨機(jī) 基本特點(diǎn)-具有不可預(yù)言性和不可重復(fù)性 必然事件- 在一定條件下必然發(fā)生的事件概率論：不可能事件-在一定條件下必然不會(huì)發(fā)生的事件 隨機(jī)事件-在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件返回 17、18世紀(jì)牛頓力學(xué)的成

31、就使人們認(rèn)識(shí)到，引力既決定天空中行星和慧星的運(yùn)行，又決定地球上物體的運(yùn)動(dòng). 以牛頓力學(xué)為基礎(chǔ)的嚴(yán)格決定論看來(lái)，對(duì)自然現(xiàn)象的科學(xué)描述，偶然性是不起什么作用的，嚴(yán)格決定論的規(guī)律是描述自然現(xiàn)象及其過(guò)程的最普遍、最基本的規(guī)律. 二、蝴蝶效應(yīng)與偶然性二、蝴蝶效應(yīng)與偶然性 科學(xué)本體論則認(rèn)為，嚴(yán)格決定論并不是描述自然現(xiàn)象的唯一有效方法，現(xiàn)實(shí)世界中的絕大多數(shù)事物并不是穩(wěn)定、有序和必然的，而是無(wú)序、變化莫測(cè)和偶然的.一個(gè)細(xì)微的、偶然的事件，常能產(chǎn)生意想不到的結(jié)果. 英國(guó)古代民謠說(shuō): 釘子缺，蹄鐵卸；蹄鐵卸, 戰(zhàn)馬蹶；戰(zhàn)馬蹶，騎士絕；騎士絕，戰(zhàn)事折；戰(zhàn)事折，國(guó)家滅.返回 1979年，美國(guó)混沌學(xué)專(zhuān)家洛侖茲(Lore

32、nz在一次國(guó)際演講中說(shuō)；“一只蝴蝶在巴西煽動(dòng)翅膀會(huì)在得克薩斯引起龍卷風(fēng)嗎？”他的回答是肯定的. 洛侖茲作為氣象學(xué)家，他在計(jì)算機(jī)上模擬天氣. 然而，為了省事，沒(méi)有讓整個(gè)計(jì)算從頭開(kāi)始，而是把上一次的輸出結(jié)果作為初值，直接打入計(jì)算機(jī). 一小時(shí)后，當(dāng)洛侖茲看到輸出結(jié)果時(shí)，發(fā)現(xiàn)天氣變化同上一次的模擬有很大的偏離，相似性完全消失，變得面目全非. 返回 他很快意識(shí)到，問(wèn)題出在打進(jìn)去的那些數(shù)字上, 在計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)中，每個(gè)數(shù)保持6位十進(jìn)制的值，例如0.506127輸入時(shí)，為了節(jié)省空間，只打印三位數(shù)0.506. 洛侖茲把這樣經(jīng)過(guò)四舍五入的較短數(shù)字作為輸入的初值，他認(rèn)為這樣做只有千分之一的誤差, 對(duì)結(jié)果不會(huì)產(chǎn)生什么

33、影響. 小小的數(shù)值誤差相當(dāng)于一陣小小的風(fēng)，會(huì)自行地消失或相互抵消，不致引起天氣的重大變化. 然而，完全出乎人們的預(yù)料，這小小的誤差竟產(chǎn)生了災(zāi)難性的后果, 這就是所謂的蝴蝶效應(yīng). 蝴蝶效應(yīng)表明，“非本質(zhì)的偶然性在變化中所起的作用. 蝴蝶煽動(dòng)翅膀，這是偶然的，但蝴蝶效應(yīng)的產(chǎn)生卻是必然的. 對(duì)于地球上如此變幻莫測(cè)的天氣變化，沒(méi)有“蝴蝶效應(yīng)是根本無(wú)法想象的. 返回再來(lái)考察一個(gè)簡(jiǎn)單的迭代方程： X n+1 4X n1X n） 返回三、三、“偶然性研究的現(xiàn)代理論偶然性研究的現(xiàn)代理論-混沌學(xué)混沌學(xué) “混沌概念古已有之. 莊子在中說(shuō)： 南海之帝為倏， 北海之帝為忽， 中央之帝為混飩. 倏：形容“極快”忽：計(jì)量單位 1忽=0.01毫米，形容“細(xì)微”混飩