初中數(shù)學(xué)競賽——正方形和梯形

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第3講 正方形和梯形知識總結(jié)歸納一. 正方形的定義：定義：鄰邊相等的矩形叫正方形，或者有一個(gè)角為直角的菱形叫正方形正方形既是矩形又是菱形 二. 正方形的性質(zhì)：正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)（1）邊：四條邊都相等，鄰邊垂直，對邊平行 （2）角：四個(gè)角都是直角（3）對角線：對角線相等且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角（4）對稱性：正方形是軸對稱圖形，有條對稱軸（5）特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對角線與邊的的夾角是；正方形的兩條對角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形三. 正方形的判定：（1）有一組鄰邊相等的矩

2、形是正方形 （2）有一個(gè)角是直角的菱形是正方形四. 梯形的相關(guān)定義：（1）梯形的定義：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形 （2）梯形的腰：梯形中不平行的兩邊叫梯形的腰（3）梯形的高：梯形兩底間的距離角梯形的高（4）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫等腰梯形,（5）直角梯形：有一個(gè)角是直角的梯形叫等腰梯形五. 等腰梯形的性質(zhì)：（1）等腰梯形是軸對稱圖形，上下底中點(diǎn)所在的直線是對稱軸 （2）等腰梯形同一底邊上的兩個(gè)角相等（3）等腰梯形的兩條對角線相等六. 等腰梯形的判定：（1）同一底邊上兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形 （2）對角線相等的梯形是等腰梯形七. 梯形的中位線：（1）定義：連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)

3、的線段叫做三角形的中位線（2）梯形的中位線定理：梯形的中位線平行于梯形的上下底，且等于上下底之和的一半典型例題一. 正方形【例1】 如圖，正方形ABCD中，是正三角形，求EAD的度數(shù)FDCBAPE【例2】 如圖，在正方形中，為對角線上的一點(diǎn)，于，于，求證：【例3】 如圖，正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，BFCE于G交AD于F，求證：CE=BF 【例4】 如圖，正方形中，是的中點(diǎn)，與相交于，求證：GDCBAFE【例5】 如圖，在正方形中，為上一點(diǎn)，的延長線交的延長線于，交于，為的中點(diǎn)，求證：。FGHEDCBA【例6】 如圖，在正方形中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，求與和的最小值DCBAPE二. 梯形【例7

4、】 已知，等腰梯形中，平分（1）求證：（2）若，求梯形的周長 CBDA【例8】 如圖，已知直角梯形，腰的長為，則該梯形另一腰的長是多少？DCBA【例9】 等腰梯形的一角為，上底為，下底為，則它的腰長是多少？【例10】 如圖，在梯形中，對角線、交于，求證：DCAOB【例11】 如圖，在等腰梯形中，已知，對角線與互相垂直，且，求等腰梯形的面積ADBCO【例12】 如圖，在梯形中，延長至，使，作交的延長線于點(diǎn)，求的長度AEDCBFDCBA【例13】 如圖，梯形中，求對角線之長?！纠?4】 如圖，在直角梯形中，的中垂線交邊于，交延長線于，求證：。CNBAMDP三. 梯形的中位線【例15】 如圖，等腰梯

5、形中，對角線，垂足為，于，是梯形的中位線，求證：EFNMDCBA【例16】 如圖，梯形的中位線與對角線、分別交于點(diǎn)、，設(shè)梯形的周長為，四邊形的周長為若，試求的值A(chǔ)QPNMDCBlFBADEC【例17】 如圖，外一條直線，、分別是各邊中點(diǎn)、都垂直于、，求證：【例18】 如圖，直角梯形中，是的中點(diǎn)若，求的面積BCEDADCBA【例19】 如圖，梯形中，對角線，且，求梯形的中位線的長度。四. 綜合提高【例20】 如圖，等腰直角中，是的中點(diǎn)，于交于，求證：FDCBAE【例21】 如圖所示，等腰梯形中，對角線、相交于，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)（1）求證：是等邊三角形；（2）若，求的面積AQPODCBS【例22

6、】 如圖，是正方形邊邊上任意一點(diǎn)，過作的垂線交正方形的外角的平分線于，求證：NFBECAD【例23】 是正方形的邊的中點(diǎn)，作，在上求證：PQDCBA【例24】 如圖，在梯形中，兩條對角線相交于，且，求證：EDCBA【例25】 如圖所示，是正方形，為上的一點(diǎn)，四邊形恰好是一個(gè)菱形，則求FCEDBAMN【例26】 如圖，是的中線，分別以、為邊向外作正方形、求證：【例27】 如圖，直角梯形中，為邊上一點(diǎn)，且求證：MDCBAFECBA【例28】 四邊形是正方形，四邊形是菱形，、在一直線上求證：、三等分【例29】 如圖，在梯形中，求證：DBCAMCBDA【例30】 如圖，梯形中，為上一點(diǎn)，且，求【例31

7、】 是正方形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分對角線的比為，證明：LKDCBA【例32】 如圖，在正方形中，、分別是、的中點(diǎn)，求證： 【例33】 如圖，直角梯形中，是上一點(diǎn)，求EDCBAFEDCBA【例34】 正方形中，為的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且求證：【例35】 正方形對角線交于，的平分線交于，交于，求證：FGDCBAOMDCBA【例36】 如圖，在直角梯形中，為邊上一點(diǎn)，且求證：【例37】 在正方形中，已知、分別是邊、上的點(diǎn)，滿足，、分別與對角線交于、求證：（1）；（2）ACBDNEFM【例38】 已知，向外作正方形和，直線垂直于，反向延長交于，求證：是的中點(diǎn)KCHFEBAMG【例39】 如圖（1），在中，點(diǎn)、是

8、線段上兩動點(diǎn)，且，垂足為，的延長線交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)（2）CBAFMEDNMDFCENBA（1）（1）試判斷的形狀，并加以證明（2）若點(diǎn)、是直線上兩動點(diǎn)，其他條件不變，試判斷的形狀，并說明理由作業(yè)1. 判斷下列說法正確的是（ ）A四條邊相等的四邊形是正方形 B兩條對角線相等且互相垂直的四邊形是正方形C兩條對角線分別平分一組對角的四邊形是正方形D兩條對角線互相垂直的矩形是正方形2. 下列哪個(gè)圖形不是軸對稱圖形（ ）A等腰梯形 B等腰三角形C矩形D平行四邊形3. 等腰梯形四個(gè)內(nèi)角之比可能是（ ）ABCD4. 如圖，在四邊形中，于求證：AMDCB5. 如圖所示，正方形對角線與相交于，且分別與交于試探討與之間的關(guān)系，寫出你所得到的結(jié)論的證明過程6. 如圖，在正方形中,是的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：FGEDCBA7. 如圖，梯形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，求證：四邊形是等腰梯形 DCAMB8. 如圖，設(shè)正方形的對角線，在延長線上取一點(diǎn)，使，與交于，求證：正方形的邊長9. 如圖，在梯形中，求證：ADBCOECBDA10. 如圖，在梯形中，是的中點(diǎn)，且求證：到的