On Default Correlation 債務(wù)違約相關(guān)性的度量

1、On Default CorrelationA copula function approachBy David X. Li首先，資產(chǎn)組合信用風(fēng)險(xiǎn)可以分為兩部分：一部分是各個(gè)資產(chǎn)本身的信用風(fēng)險(xiǎn)，另一部分則是由各個(gè)資產(chǎn)之間的相關(guān)結(jié)構(gòu)引起的風(fēng)險(xiǎn)。在度量資產(chǎn)組合的信用風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，可以采用違約概率作為衡量資產(chǎn)信用的指標(biāo)。What David did:1.要很好地度量組合的整體風(fēng)險(xiǎn)，就要找到一個(gè)能將單個(gè)違約分布和多元違約聯(lián)合分布聯(lián)系起來的方法。 Copula就是這樣一個(gè)函數(shù)，它能將單個(gè)邊緣分布和多元聯(lián)合分布聯(lián)系起來。 2.通過一套借鑒精算學(xué)的方法，使用實(shí)時(shí)的、不斷更新的市場數(shù)據(jù)進(jìn)行違約概率相關(guān)性的評價(jià)，改進(jìn)

2、了原先依賴于一年一度公布的評級數(shù)據(jù)進(jìn)行評價(jià)的不足。該模型何以風(fēng)靡華爾街？傳統(tǒng)違約概率相關(guān)度計(jì)算方法之不足傳統(tǒng)上計(jì)算違約率相關(guān)度的方法就是計(jì)算兩資產(chǎn)違約率的相關(guān)系數(shù)，譬如：這里計(jì)算該相關(guān)系數(shù)用到的qA, qB就是當(dāng)年度的違約率?？墒菍?shí)證研究發(fā)現(xiàn)，a.公司債的違約概率與其在市場上交易的時(shí)間長度是相關(guān)的；b.經(jīng)濟(jì)周期的起伏漲落顯然與違約概率的高低變化相關(guān)，但是經(jīng)濟(jì)周期不是簡單地、一年一年地推進(jìn)，用某一年的違約率相關(guān)系數(shù)作為下一年違約率相關(guān)度的估計(jì)就不太合適了；c.為了合理估測資產(chǎn)價(jià)值，人們需要計(jì)算接下來十年、二十年直到完全償付為止所有資產(chǎn)的違約相關(guān)度，而非僅僅一年的違約率相關(guān)度。這些都對傳統(tǒng)的違約了

3、相關(guān)系數(shù)計(jì)算方法提出了挑戰(zhàn)。對傳統(tǒng)違約概率相關(guān)度計(jì)算方法的改進(jìn)對于每一種證券，我們都可以設(shè)立一個(gè)隨機(jī)變量“距違約時(shí)間”（time-until-default）。由于證券價(jià)值可以由在未違約時(shí)段上的各期年金折現(xiàn)加和得到：這樣計(jì)算證券價(jià)值之間的相關(guān)度本質(zhì)上就是計(jì)算“距違約時(shí)間”間的相關(guān)度。需要注意的是，構(gòu)成證券的各個(gè)資產(chǎn)組合的“距違約時(shí)間”也不是一個(gè)固定的值；不同取值的“距違約時(shí)間”都有存在的可能性，所以它是一個(gè)隨機(jī)變量。對于任意一項(xiàng)信用資產(chǎn)，“距違約時(shí)間”的分布構(gòu)成了該項(xiàng)信用資產(chǎn)的“違約期限結(jié)構(gòu)”。違約期限結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式信用曲線先做一些定義：連續(xù)隨機(jī)變量“距違約時(shí)間”T（time-until-de

4、fault） ，它表示從現(xiàn)在到違約(default)事件發(fā)生時(shí)的時(shí)間長度。F(t)表示在t時(shí)刻已經(jīng)違約的概率S(t) 表示在t時(shí)刻還沒有違約的概率，它也被稱為生存函數(shù)（survival function）。根據(jù)函數(shù)的定義，可以得到：可見F(t)其實(shí)就是生存時(shí)間T的累積分布函數(shù)。( )Pr(), ( )1( )Pr()F tTtS tF tTt 根據(jù)古典概率的定義，在精確的時(shí)間點(diǎn)t發(fā)生事件的概率幾乎為0。但是我們可以討論在一個(gè)小的時(shí)間間隔t到tt之間發(fā)生違約的概率，即Pr（t=Ttt）。我們必須把這個(gè)概率建立在t時(shí)間之前沒有發(fā)生違約的基礎(chǔ)上（即條件概率），這是因?yàn)槿绻庞觅Y產(chǎn)在t時(shí)間時(shí)已經(jīng)發(fā)生違

5、約了，那么它就不會(huì)在t到tt之間發(fā)生違約了 ，故而需要用Pr（t=T=t）。 對于Pr（t=T=t），t越長，那么在這個(gè)間隔內(nèi)發(fā)生違約的可能性越大。因此我們需要使之標(biāo)準(zhǔn)化，即把它除以t。 由于我們要用危險(xiǎn)函數(shù)確定的是在t時(shí)間發(fā)生違約的瞬間風(fēng)險(xiǎn)，而不是在t到tt間隔時(shí)間，因此我們讓t越來越小，直到極限，因此最后形成了下邊這個(gè)h(t)函數(shù)公式。違約期限結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式信用曲線資產(chǎn)在時(shí)刻沒有違約的情況下，在時(shí)段 內(nèi)違約的概率： x()( )( )Pr|1( )1( )F xxF xf xxxTxx TxF xF x除以x 之后定義 為危險(xiǎn)率(hazard rate)函數(shù)，它表示條件違約概率密度。有下列

6、等式成立：從而可以得到：而( )( )1( )f xh xF x( )( )( )1( )( )f xS xh xF xS x tdsshetS0)()(0( )( )( )(1( )( ) ( )( )th s dsf th xF xh x S th x e違約期限結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式信用曲線 危險(xiǎn)率是發(fā)生違約的“瞬間”風(fēng)險(xiǎn)。根據(jù)最新的各類信息不斷地確定資產(chǎn)的信用狀態(tài)，這里隱含了盯住市場的思想。 現(xiàn)在定義信用曲線（credit curve），它是危險(xiǎn)率函數(shù)的圖形表示，代表信用資產(chǎn)在不同時(shí)刻的條件違約概率密度。有了信用曲線，就可以計(jì)算不同資產(chǎn)的違約相關(guān)性。違約期限結(jié)構(gòu)的表現(xiàn)形式信用曲線傳統(tǒng)上獲得信用

7、曲線的方法一般有三種：第一，從評級機(jī)構(gòu)的歷史數(shù)據(jù)中獲得。第二，使用布萊克舒爾茨方法，將股票看作一個(gè)公司的看漲期權(quán)，用這個(gè)架構(gòu)可以獲得n期的違約概率，然后將其轉(zhuǎn)換為危險(xiǎn)率函數(shù)。第三，從現(xiàn)有的市場信息中獲得公司一系列不同期限債券的到期收益率，并將它與國債的到期收益率作比較，獲得收益率價(jià)差曲線（Yield Spread Curve），然后假設(shè)一個(gè)外生的恢復(fù)率（Recovery Rate），就可以推算出信用曲線。【沒懂?！渴褂迷u級公司的數(shù)據(jù)穆迪既公布當(dāng)年的違約概率，又公布累積多年來的違約概率。使用期權(quán)定價(jià)方法布萊克舒爾茨方法布萊克舒爾茨方法 假設(shè)公司的資產(chǎn)市值服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，并假設(shè)其資本結(jié)構(gòu)可簡單地

8、分為債務(wù)和股權(quán)，那么，股權(quán)就可以看作是以資產(chǎn)市值為標(biāo)的物、執(zhí)行價(jià)格為債務(wù)面值的看漲期權(quán)。當(dāng)公司的資產(chǎn)大于債務(wù)，股東可以按其剩余索取權(quán)行權(quán)；當(dāng)資不抵債，股票就一文不值了。這樣可以用期權(quán)定價(jià)公式反推公司即刻的資產(chǎn)與負(fù)債，并推算資不抵債的概率（違約概率）。弱點(diǎn)：假設(shè)違約只在債務(wù)到期日才發(fā)生 。First-Default模型模型認(rèn)為違約事件應(yīng)該發(fā)生在公司資產(chǎn)價(jià)值第一次低于違約邊界的時(shí)候，而不是債務(wù)到期日。 根據(jù)B-S定價(jià)公式，假設(shè)公司資產(chǎn)價(jià)值 服從對數(shù)正態(tài)分布，違約邊界為固定值D（它不必是債務(wù)總額），則從目前到時(shí)刻t這段時(shí)間，公司的生存概率S(t)可以用下列公式得到：其中由此可以計(jì)算出資產(chǎn)的信用曲線。

9、tA00200( )(0,0|)()()smXS tP Xst XXmtXmtNeNtt200loglog( )( ),(/2)/( )1( )( )ADf tS tXmh tF tS t ，而一個(gè)例子：【我沒看懂()】 李祥林支持使用“市場信息”(譬如股價(jià))的方法，理由： a.當(dāng)前的市場信息反映了所有投資者對未來該公司收益或損失的一致性預(yù)期，而投資者的直接損益是取決于這種一致性預(yù)期，而非歷史違約數(shù)據(jù)。 b.評級公司給證券打等第，只看到ABCD，但這可能喪失一些公司特有的信息；只有做出了credit curve才能完全反應(yīng)公司特有的信息。 c.評級公司反應(yīng)往往滯后于市場反應(yīng)。 d.評級者只考慮

10、違約的頻率，而投資者的損失與違約的頻率frequency和嚴(yán)重度severity都相關(guān)。 但是李祥林自己計(jì)算危險(xiǎn)率的方法？ 見諸the paper unavailable online: “constructing a credit curve”,1998, credit risk. 總之，他得到了一個(gè)hazard rate function. Recall:計(jì)算危險(xiǎn)率，是為了計(jì)算相關(guān)度，同時(shí)導(dǎo)出資產(chǎn)組合內(nèi)“距違約時(shí)間”的聯(lián)合概率分布。 非線性相關(guān)的隨機(jī)變量的聯(lián)合分布怎么寫？反應(yīng)不同特點(diǎn)的各種形式的Copula函數(shù)： （1）Clayton Copula: （2）Gumbel Copula: （

11、3）Frank Copula: 1 1( )(1),( )(1),0ttss 1 1( )( ln ) ,( ),1sttse 1( )ln,1tete 先來看一個(gè)未使用各個(gè)信用資產(chǎn)相關(guān)性數(shù)據(jù)的例子：而更有效的一個(gè)方法是： 相關(guān)度 是什么變量的相關(guān)度？再代入：而傳統(tǒng)意義上的違約概率相關(guān)度是：而傳統(tǒng)意義上的違約概率相關(guān)度是：先用Copula函數(shù)的結(jié)論得出資產(chǎn)組合的概率密度函數(shù)再算邊際概率密度Copula函數(shù)分布很適合利用蒙特卡羅模擬來實(shí)現(xiàn)。例如，模擬正態(tài)Copula函數(shù)的步驟如下：1. 產(chǎn)生均值為0，相關(guān)系數(shù)矩陣為 的正態(tài)隨機(jī)數(shù)向量2. 將正態(tài)隨機(jī)變量轉(zhuǎn)換為均勻隨機(jī)變量：3. 根據(jù)所希望的邊緣分

12、布函數(shù)轉(zhuǎn)換均勻隨機(jī)變量：這里的Copula函數(shù)為：1,.,NZZ(),I1,NiiUZ 1(),I=1,N.iiiXFU1111( ,.,)( ),.,()NNC uuuu 況且這里的與Copula的關(guān)系是固定的： 將Kendalls tau引入Copula函數(shù)： 連續(xù)隨機(jī)變量(X，Y)，其Copula函數(shù)為C，則 (X，Y)的Kendalls tau為： 若U,V為0,1上均勻分布的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)恰為C，則： 2,0,14( , )( , ) 1X YCC u v dC u v2,0,14( , )( , ) 14 ( , ) 1X YC u v dC u vE C U V 將Sp

13、earmans rho引入Copula函數(shù)：連續(xù)隨機(jī)變量(X.Y)，其Copula函數(shù)為C，則X,Y的Spearmans rho為： 若U,V為0,1上均勻分布的隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布函數(shù)恰為C，則：22,0,10,112( , )312( , )3X YCuvdC u vC u v dudv2,0,1()( ) ( )12( , )312 ()3( )( )X YE UVE U E VuvdC u vE UVVar UVar V最后，我們可以看到一些intuitively correct的結(jié)論梳理一下思路資產(chǎn)價(jià)值相關(guān)性、違約概率相關(guān)性、距違約時(shí)間的相關(guān)性資產(chǎn)組合的距違約時(shí)間的分布函數(shù)單個(gè)資產(chǎn)的

14、距違約時(shí)間的分布函數(shù)單個(gè)資產(chǎn)的各期危險(xiǎn)率怎么算危險(xiǎn)率？穆迪評級方法、期權(quán)定價(jià)方法、unavailable方法Copula,注意區(qū)別不同的相關(guān)度最后，我們可以看到一些intuitively correct的結(jié)論最后，我們可以看到一些intuitively correct的結(jié)論P(yáng)rofessor Paul Embrechts commented on the failure of such a delicate model: Four categories of problem can be distinguished: Short observation periods Non-normal d

15、istributions Systemic versus idiosyncratic risk Non-independence of future events; distinguishing risk and uncertainty夫子自道 “People got very excited about the Gaussian copula because of its mathematical elegance, but the thing never worked. Co-association between securities is not measurable using co

16、rrelation”; in other words because past history is not predictive of the future. “Anything that relies on correlation is charlatanism(庸醫(yī)術(shù)). Li himself apparently understood the limitation of his model, in 2005 saying Very few people understand the essence of the model. Li also wrote that The current copula framework gains its popular