材料力學(xué) 第四章 扭轉(zhuǎn)

1、長安大學(xué)理學(xué)院工程力學(xué)系長安大學(xué)理學(xué)院工程力學(xué)系材料力學(xué)材料力學(xué)4-1 4-1 概概 述述 圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)；圓桿各橫截面繞桿的軸線作相對轉(zhuǎn)動(dòng)； 桿表面上的縱向線變成螺旋線。桿表面上的縱向線變成螺旋線。受力特點(diǎn)：受力特點(diǎn)：圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面圓截面直桿受到一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反、作用面垂直于桿的軸線的外力偶作用垂直于桿的軸線的外力偶作用變形特點(diǎn)：變形特點(diǎn)：Me Me NoImage實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有實(shí)際構(gòu)件工作時(shí)除發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形外，還常伴隨有彎曲、拉壓等其他變形。彎曲、拉壓等其他變形。按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計(jì)算已知已知

2、軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e電機(jī)每秒輸入功：電機(jī)每秒輸入功：)N.m(1000 PW外力偶作功完成：外力偶作功完成：602nMWe外力偶矩為外力偶矩為：nPnPMe95496021000eMmN 為外力偶矩為外力偶矩 ( (牛頓牛頓. .米米) )4-2 4-2 扭矩扭矩 扭矩圖扭矩圖 n扭轉(zhuǎn)內(nèi)力扭轉(zhuǎn)內(nèi)力 : 扭矩扭矩 TMeMeMeTnMeT例例4-2-1 4-2-1 已知已知：PA = 40kW，PB =100kW，PC = 60kW，n = 955 rpm， 求求: :作圖示傳動(dòng)軸的扭矩圖。作圖示傳動(dòng)軸的扭矩圖。解

3、解: MA = 9549 P/n=400 Nm MB =1000 Nm MC = 600 Nm T1 = 400 Nm 討論討論: :交換交換 AB 輪的位置扭矩輪的位置扭矩 將如何變化？將如何變化？(-)400- 600 xT (Nm)-1000- 600 xT (Nm)T2 = - -600 NmMAMBMC2-21-1MAT1nMCnT2(-)(+)一、薄壁圓筒：一、薄壁圓筒：壁厚壁厚0101rt （r0：為平均半徑）1.實(shí)驗(yàn)前：實(shí)驗(yàn)前：繪縱向線，圓周線；繪縱向線，圓周線；施加一對外力偶施加一對外力偶 m。4-34-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 2.實(shí)驗(yàn)后：圓周線不變；圓周線不變；縱向

4、線變成斜直線?？v向線變成斜直線。3.3.結(jié)論：結(jié)論：橫截面和縱截面上沒有正應(yīng)力。橫截面和縱截面上沒有正應(yīng)力。 橫截面上只有切應(yīng)力，因?yàn)楸诤駲M截面上只有切應(yīng)力，因?yàn)楸诤駎 t很小，近似認(rèn)為沿壁厚均勻分布很小，近似認(rèn)為沿壁厚均勻分布 。4-34-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)二、切應(yīng)力互等定理：二、切應(yīng)力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式稱為切應(yīng)力互等定理。上式稱為切應(yīng)力互等定理。 該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對該定理表明：在單元體相互垂直的兩個(gè)平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面

5、的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線?；蚬餐畴x該交線。 單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱單元體的四個(gè)側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為為“純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài)”。acddxb dy tz4-34-3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 l G 上式稱為上式稱為“剪切胡克定律剪切胡克定律”；G為比例系數(shù)稱為材料的切變模量，為比例系數(shù)稱為材料的切變模量，單位是單位是pa，并對各向同性材料存在：，并對各向同性材料存在：當(dāng)切應(yīng)力沒有超過材料的比例極限時(shí)，當(dāng)切應(yīng)力沒有超過材料的比例極限時(shí)， )1 (2EG4-4 4-4 圓軸扭

6、轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度條件pGITl（1）變形幾何方程）變形幾何方程 表面表面Rl 內(nèi)部內(nèi)部 l )(剛性平截面變形規(guī)律：剛性平截面變形規(guī)律： （1 1）橫截面保持平面；）橫截面保持平面； （2 2）直徑保持直線。）直徑保持直線。l )(（2）物理方程）物理方程G)()( dA)(dTT（3）平衡條件）平衡條件：補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程：lG )(pIlGTpITMlT= MDpITpnpWMRITmax強(qiáng)度強(qiáng)度條件條件 pWTmax 43116 DWp抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù) ApdAI2 極慣性矩極慣性矩 dd2 d32324D )1 (4 例例4-4-14-4-1 已知汽車

7、傳動(dòng)主軸已知汽車傳動(dòng)主軸D = 90 mm, d = 85 mm,MPa60 M= 1.5 kNm求：（求：（1）校核軸的強(qiáng)度；）校核軸的強(qiáng)度； （2）改用實(shí)心軸，確定軸的直徑；）改用實(shí)心軸，確定軸的直徑； （3）比較實(shí)心軸和空心軸的重量）比較實(shí)心軸和空心軸的重量。解：解：（1）T = M = 1.5 kNm , 944.0 Dd 3643m1029116DWp MPa7 .51maxpWT強(qiáng)度安全。 pWTmax（2）max316TDWpmm53 D（3）2.3222 dDDAAQQ 空心優(yōu)于實(shí)心空心優(yōu)于實(shí)心MM強(qiáng)度強(qiáng)度條件條件4-4 4-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力和強(qiáng)度

8、條件 maxpTW低碳鋼：橫截面切應(yīng)力破壞灰鑄鐵：45斜截面拉應(yīng)力破壞作業(yè)題作業(yè)題選擇題 4.1.2 4.1.4 計(jì)算題 4.3.1 4.3.2 4.3.4 例例4-4-24-4-2 圖示階梯狀圓軸，圖示階梯狀圓軸，AB段直徑段直徑 d1=120mm，BC段直徑段直徑 d2=100mm 。扭轉(zhuǎn)力偶矩。扭轉(zhuǎn)力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的許用切應(yīng)力材料的許用切應(yīng)力 = 80MPa ，試校核該軸的強(qiáng)度。，試校核該軸的強(qiáng)度。解：解： 1、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖、求內(nèi)力，作出軸的扭矩圖22 14 T圖（kNm） MA MB MC AC BBC段MPa3

9、.71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段1p1max, 1WT2、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度、計(jì)算軸橫截面上的最大切應(yīng)力并校核強(qiáng)度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即該軸滿足強(qiáng)度條件。即該軸滿足強(qiáng)度條件。所謂密圈螺旋彈簧，是指螺旋角所謂密圈螺旋彈簧，是指螺旋角 很小，彈簧絲的直徑比彈簧圈直徑小得多的彈簧。很小，彈簧絲的直徑比彈簧圈直徑小得多的彈簧。這樣可以略去彈簧絲曲率的影響，將它作為扭轉(zhuǎn)的直桿來處理。這樣可以略去彈簧絲曲率的影響，將它作為扭轉(zhuǎn)的直桿來處理。 例例4-4-34-4-3 圖示圓柱形密圈彈簧，沿彈簧軸線承受拉力圖示圓柱形密

10、圈彈簧，沿彈簧軸線承受拉力F作用，設(shè)彈簧作用，設(shè)彈簧平均直徑為平均直徑為D，彈簧絲直徑為，彈簧絲直徑為d，試分析彈簧的應(yīng)力并建立相應(yīng)的強(qiáng)度，試分析彈簧的應(yīng)力并建立相應(yīng)的強(qiáng)度條件。條件。解：橫截面上的內(nèi)力解：橫截面上的內(nèi)力由由Q Q引起的剪應(yīng)力引起的剪應(yīng)力 由由T T引起的最大剪應(yīng)力引起的最大剪應(yīng)力 其中其中由由由公式pGITx dd 知：長為長為 l一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角 為值不變）若 ( d d0TGITlxGITplp4-5 4-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和靜不定問題圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形和靜不定問題一一 扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形(rad/m) dd pGITx /m)( 1

11、80 dd pGITx 或或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為圓軸的抗扭反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度。剛度。 稱為許用單位長度扭轉(zhuǎn)角。 (rad/m) maxmaxpGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 二二 單位長度扭轉(zhuǎn)角單位長度扭轉(zhuǎn)角三三 剛度條件剛度條件剛度計(jì)算的三方面：剛度計(jì)算的三方面： 校核剛度： 設(shè)計(jì)截面尺寸： 計(jì)算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時(shí)，還可依據(jù)此條件進(jìn)行選材。各類軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角可在有關(guān)的機(jī)械設(shè)計(jì)手冊中查得。各類軸的許用單位長度扭轉(zhuǎn)角可在有關(guān)的機(jī)械設(shè)計(jì)手冊中查得。對精密

12、機(jī)器的軸對精密機(jī)器的軸 =(0.250.50)0/m；一般傳動(dòng)軸一般傳動(dòng)軸 =(0.51.0)0/m；精度要求不高的軸精度要求不高的軸 =(1.02.5)0/m。 例例4-5-24-5-2 某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速某傳動(dòng)軸設(shè)計(jì)要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率，輸入功率N1 = 380kw， 輸出功率分輸出功率分別別 N2 = 160kw及及 N3 = 220kw，已知：，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確，試確定：定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？若全軸選同一直徑，應(yīng)為多少？ 主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安

13、排合理？主動(dòng)輪與從動(dòng)輪如何安排合理？解：解：圖示狀態(tài)下圖示狀態(tài)下, ,扭矩如扭矩如 圖圖，由強(qiáng)度條件得：，由強(qiáng)度條件得： 500400N1N3N2ACB（-）Tx72574202(Nm)9549(kNm )Nmn16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp 33161616725780.8m m3.147010Td由剛度條件得：500400N1N3N2ACB（-）Tx72574202(Nm) 4422932 32420218074.4m m 3.1480101TdG 4412932 32725718085.3m m 3.1480101TdG1

14、2 86m m, 75m mdd綜上：全軸選同一直徑時(shí)1 8 6 m mdd 軸上的軸上的絕對值絕對值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1輪和輪和2輪應(yīng)輪應(yīng) 該該換換位。位。換位后換位后, ,軸的扭矩如圖所示軸的扭矩如圖所示, ,此時(shí)此時(shí), ,軸的最大直徑才軸的最大直徑才 為為 75 75mm。Tx4202(Nm)3055（-）（+）解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法步驟：平衡方程；平衡方程；幾何方程幾何方程變形協(xié)調(diào)方程；變形協(xié)調(diào)方程；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；補(bǔ)充方程：由幾何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程

15、組。解由平衡方程和補(bǔ)充方程組成的方程組。四四 扭轉(zhuǎn)超靜定問題扭轉(zhuǎn)超靜定問題例例4-5-34-5-3長為長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為比為 =0.8 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226m =0.0226m ，G=80GPa，試求固定端反力偶試求固定端反力偶。解：解：桿的受力圖如圖示，桿的受力圖如圖示， 這是一次超靜定問題。這是一次超靜定問題。 平衡方程為：平衡方程為：02BAmmmAB幾何方程變形協(xié)調(diào)方程0BA 綜合物理方程與幾何方程，得補(bǔ)充方程：040220200PAPALPBAGImdxG

16、IxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和補(bǔ)充方程得：mN 20Bm4-6 4-6 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能等直圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)變能11dWTd1012VWTdT2222PPGIT lVGIl例例4-6-14-6-1 圖示圓柱形密圈彈簧，沿彈簧軸線承受壓力圖示圓柱形密圈彈簧，沿彈簧軸線承受壓力F作用，設(shè)彈簧作用，設(shè)彈簧平均直徑為平均直徑為D，彈簧絲直徑為，彈簧絲直徑為d，切變模量為，切變模量為G，試計(jì)算彈簧的軸向變，試計(jì)算彈簧的軸向變形。形。在彈簧絲的截面上有扭矩在彈簧絲的截面上有扭矩 2/TFD忽略剪切應(yīng)變能，扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為忽略剪切應(yīng)變能，扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能為22322ppp1()288D Fn Dn

17、 D FUT dxGIGIGI其中其中n是彈簧的圈數(shù)。因?yàn)槭菑椈傻娜?shù)。因?yàn)?，所以，所以4p/ 32Id 3244nD FUG d假如在假如在F力的作用下彈簧伸長了力的作用下彈簧伸長了 ，那么外力所做的功應(yīng)該等于應(yīng)變能，那么外力所做的功應(yīng)該等于應(yīng)變能， / 2UWF代入上式得到代入上式得到 FF D nGd23442 FD nGd3484-5 4-5 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的概念一一 約束扭轉(zhuǎn)和自由扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)和自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的翹曲不受限制，橫截面上只有切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力。自由扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的翹曲不受限制，橫截面上只有切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力。約束扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面

18、的翹曲受到限制，橫截面上不僅有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。約束扭轉(zhuǎn)：扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面的翹曲受到限制，橫截面上不僅有切應(yīng)力，還有正應(yīng)力。非軸對稱問題，扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面非軸對稱問題，扭轉(zhuǎn)時(shí)橫截面產(chǎn)生產(chǎn)生翹曲翹曲 。平面假設(shè)不。平面假設(shè)不再成立。再成立。自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)等直非圓截面桿受扭時(shí)，兩端等直非圓截面桿受扭時(shí)，兩端面變形不受限制，即可自由翹面變形不受限制，即可自由翹曲，則各截面翹曲程度相同。曲，則各截面翹曲程度相同。橫截面上仍舊只存在切應(yīng)力。橫截面上仍舊只存在切應(yīng)力。約束扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn) 端面受限制而不可自由翹曲，則各截面翹曲程度不同，端面受限制而不可自由翹曲，則各截面翹曲程度不同，截面截面上除切應(yīng)力外，還產(chǎn)生正

19、應(yīng)力。上除切應(yīng)力外，還產(chǎn)生正應(yīng)力。TT4-5 4-5 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的概念一一 約束扭轉(zhuǎn)和自由扭轉(zhuǎn)約束扭轉(zhuǎn)和自由扭轉(zhuǎn)LTTTABacbx 4-5 4-5 非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面軸扭轉(zhuǎn)的概念可以證明，軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力與截面邊界相切，可以證明，軸扭轉(zhuǎn)時(shí)，橫截面上邊緣各點(diǎn)切應(yīng)力與截面邊界相切，角點(diǎn)處切應(yīng)力為零。角點(diǎn)處切應(yīng)力為零。二二 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)彈性力學(xué)結(jié)果彈性力學(xué)結(jié)果 橫截面上剪應(yīng)力非線性分布；橫截面上剪應(yīng)力非線性分布； 橫截面邊緣上各點(diǎn)剪應(yīng)力與邊緣橫截面邊緣上各點(diǎn)剪應(yīng)力與邊緣 線平行，角點(diǎn)處為零；線平行，角點(diǎn)處為零； 最大剪應(yīng)力發(fā)生在橫截面邊緣長最大剪應(yīng)力發(fā)生在橫截面邊緣長 邊中點(diǎn)處。邊中點(diǎn)處。m axtTW 1m ax 2tWb h 3tIb h 其中其中B AtTLG I , , 隨矩形截面的長、短邊尺寸之比隨矩形截面的長、短邊尺寸之比 而變化。而變化。hb三三 開口薄壁截面桿的自由扭轉(zhuǎn)開口薄壁截面桿的自由扭轉(zhuǎn) 類似狹長矩形截面，在開口薄壁桿件截類似狹長矩形截面，在開口薄壁桿件截面上，切應(yīng)力沿著周邊或周邊的切線形成環(huán)面上，切應(yīng)力沿著