57平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示(一)

1、5.7 5.7 平面向量數(shù)量積平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示( (一）一）yyyy年年M月月d日星期日星期W教學(xué)目標(biāo)：教學(xué)目標(biāo)： 要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示要求學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)掌握向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件，及平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式。兩點(diǎn)間的距離公式。 能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題。能用所學(xué)知識(shí)解決有關(guān)綜合問題。教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)難點(diǎn)：教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用平面向量的數(shù)量積平面向量的數(shù)量積 ab a b=0 (

2、 (判斷兩向量垂直的依據(jù)判斷兩向量垂直的依據(jù)) ) |cosbaba cosbaba運(yùn)算律：運(yùn)算律：abba1bababa2cbcacba3 平面向量基本定理：平面向量基本定理： 如果如果 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于平面內(nèi)的任一向量線向量，那么對(duì)于平面內(nèi)的任一向量a ，有且只有與一對(duì)實(shí)數(shù)有且只有與一對(duì)實(shí)數(shù) ， 使使 21ee、21、2211eea一、復(fù)一、復(fù) 習(xí)習(xí) 引引 入：入：怎樣用怎樣用a和和b的坐標(biāo)表示的坐標(biāo)表示ab呢呢設(shè)兩個(gè)非零向量設(shè)兩個(gè)非零向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2) ijx o B(x2,y2) A(x1,y1) aby 二、新二、

3、新 課課 教教 學(xué)：學(xué)：平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 _ _ _ _ ii jj jiij單位向量單位向量i 、j 分別與分別與x 軸軸、y 軸方向相同，求軸方向相同，求1100 能否推導(dǎo)出能否推導(dǎo)出 ab 的坐標(biāo)公式的坐標(biāo)公式? ? jyixjyixba22112211221221jyyjiyxjiyxixx2121yyxx兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即1212a bx xy y（1）設(shè)）設(shè)a =（x，y），），則則 或或 |a |= .2|a22yx 22yx 2.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離

4、公式（2）如果表示向量）如果表示向量 a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為分別為(x1,y1),(x2,y2) , 那么那么221212|()()xxyya這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式。這就是平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式。1 2120 x xy yab122 1/0 x yx ya b3.向量垂直和平行的判定向量垂直和平行的判定4.兩向量夾角的余弦（兩向量夾角的余弦（ ）0121222221122cos| |x xy yxyxya bab例例1設(shè)設(shè) ， ，求，求 . 7, 5 a4, 6 bba解：解： 24765baa 、b 夾角的余弦值？夾角的余弦值？ 9629625

5、2742cos222221212121yxyxyyxx三、例三、例 題題 解解 析：析：例例2 2 已知已知 A(1, 2)，B(2, 3)，C( 2, 5)，求證：，求證：ABC 是直角三角形。是直角三角形。AB=(2 1, 3 2) = (1, 1), AC= ( 2 1, 5 2) = ( 3, 3) ABC是直角三角形是直角三角形證明：證明：AB AC =1( 3) + 13 = 0ABAC 例例3 已知已知 a = (3, 1)，b = (1, 2)，求滿足，求滿足 x a = 9 與與 x b = 4 的向量的向量 x. 解：設(shè)解：設(shè)x = (t, s)， 由由 x = (2, 3

6、)939424tsts x ax b32st例例4.4. (08. (08. 江西江西 理理) )直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，2)、B(3，一，一2)、C(9，7)，若，若E、F為線段為線段BC的三等分點(diǎn)，則的三等分點(diǎn)，則AE AF (2, 4),(8,5),(6,9),ABACBC 1(6,2),3AFACCFACBC 24222.AE AF 1(4, 1),3AEABBEABBC 解析：解析：例例5 已知已知a（，（， ），），b（ ， ），則），則a與與b的夾角是多少的夾角是多少?分析：分析：為求為求a與與b夾角，需先求夾角，需先求ab及及ab，再結(jié)，再結(jié)合夾角合夾角的范

7、圍確定其值的范圍確定其值.333333解：由解：由a(1，)，b( +1, - -1)2有有ab4，a2，b2記記a與與b的夾角為的夾角為，則，則cos22baba又又0，4已知已知三角三角形函形函數(shù)值數(shù)值求角求角時(shí)，時(shí)，應(yīng)注應(yīng)注重角重角的范的范圍的圍的確定確定.例例6 6、已知點(diǎn)、已知點(diǎn)O(0,0),A(1,2),B(4,5)O(0,0),A(1,2),B(4,5)及及 若點(diǎn)若點(diǎn)P P在第二象限在第二象限, ,求求t t 的取值范圍的取值范圍, ,四邊形四邊形OABPOABP能否成平行四邊形能否成平行四邊形? ?若能求出相應(yīng)的若能求出相應(yīng)的t t值值, ,若不能若不能, ,請(qǐng)說明理由請(qǐng)說明理

8、由. .ABtOAOP解解：（：（1）).32 ,31()3 , 3()2 , 1(),3 , 3(tttABtOAOPAB若點(diǎn)在第二象限，則若點(diǎn)在第二象限，則3132 : 3231totot解得解得（2 2）),33 ,33(),2 , 1(ttOPOBPBOA若四邊形若四邊形OABPOABP為平行四邊形，需為平行四邊形，需 即即 由于此方程組無解，故四邊形由于此方程組無解，故四邊形OABPOABP不不可能為平行四邊形?？赡転槠叫兴倪呅?。PBOA 233133tt解：設(shè)所求向量為解：設(shè)所求向量為 sin,cosb a 與與b 成成 452822ba cos13cos13ba2sin13cos

9、13 另一方面另一方面 又又 1cossin22 聯(lián)立解之：聯(lián)立解之： ， 或或 ， 23cos21sin21cos23sin23,2121,2321bb或例例7：求與向量求與向量 的夾角的夾角 的單位向的單位向 量量( 31,31)a 451.已知已知a=(2,3),b=(- -4,7),則則a在在b方向上的投影為（方向上的投影為（ ） A. B. C. D.2.已知已知a=(，)，b=(- -3,5)且且a與與b的夾角為鈍角，則的夾角為鈍角，則的的取值范圍是（取值范圍是（ ） A. B. C. D.3.給定兩個(gè)向量給定兩個(gè)向量a=(3,4),b=(2,-1)且且(a+xb)(a- -b),

10、則則x等于等于（ ） A. 23 B. C. D. 1351356565310310310310223233234CAC練練 習(xí)：習(xí)： 4 已知已知 ， 且且 ，求，求 a. 3a2 , 1bba/1212,5555ee 或 5 已知已知a = =（4 4，2 2），），求與求與a 垂直的單位向量垂直的單位向量. 3636,5555aa 或3290Ak時(shí)31190kB時(shí)213390kC時(shí) 6 6 中，中， ， ，求，求k 的值的值. ABCRt3 , 2ABkAC, 1兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即1212x xy ya b兩兩條條性性質(zhì)：質(zhì)：小小 結(jié)：結(jié)：（1）設(shè)）設(shè)a =（x，y），），則則 或或 |a |= .2|a22yx 22yx （2）如果表示向量）如果表示向量 a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為分別為(x1,y