概率3-2邊緣分布1ppt課件

1、復(fù)習(xí)回顧：復(fù)習(xí)回顧： F x, yP Xx ,Yy ,x, y F x y2 2、分分布布函函數(shù)數(shù)的的基基本本性性質(zhì)質(zhì), , （ ）是是關(guān)關(guān)于于變變量量和和的的不不減減函函數(shù)數(shù)1F x yxy.,;.,; 201 （ ）F x y. ., ,3Fy0 F x0F0 F1( (, , ) ), , ( ( , ,) )( (, ,) ), , ( (, ,) ) （ ）（4 4關(guān)于關(guān)于x x或或y y右連續(xù)右連續(xù)（5 5對對 , ,有有2121,yyxx0),(),(),(),(12112122yxFyxFyxFyxF3 3、二維離散型隨機(jī)變量、二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)(X,Y)及分布律及分

2、布律,),(ijjipyYxXP,1,2,i j ijijijpjip1, 2 , 1, 0 ,yxF x yf u v dudv 1 .f x,y0; （ ） 3 （ ）設(shè)設(shè)是是平平面面上上的的區(qū)區(qū)域域 則則有有G.GxOy,PX ,YGfx, y dxdy ;2 F( x, y )f ( x, y )x y在在 f (x,y)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) ,4 .（ ） 2 .,1; fx y dxdy（ ）第四節(jié)第四節(jié) 邊緣分布邊緣分布邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度課堂練習(xí)課堂練習(xí) 假設(shè)假設(shè)(X,Y

3、)為二維隨機(jī)變量，則它的分量為二維隨機(jī)變量，則它的分量X或者或者Y為一維隨機(jī)變量，為一維隨機(jī)變量，X和和Y也具有也具有分布，把變量分布，把變量X(或或Y)的分布分別稱為二維隨的分布分別稱為二維隨機(jī)變量機(jī)變量X,Y的邊緣分布的邊緣分布. 問問:(X,Y)聯(lián)合分布和邊緣分布之間的關(guān)系聯(lián)合分布和邊緣分布之間的關(guān)系?這一節(jié)里這一節(jié)里,我們就來探求這個(gè)問題我們就來探求這個(gè)問題 .設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 (X,Y)有聯(lián)合分布函數(shù)為有聯(lián)合分布函數(shù)為 ,F x y隨機(jī)變量隨機(jī)變量 和和 的分布函數(shù)分別記為的分布函數(shù)分別記為XY ,XYFxFy XFxP Xx(X,Y) 的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù),稱其

4、為二維稱其為二維R.V. ,YFyP YyP XYyFy ,P Xx Y ,F x 且有且有一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù)(1)(1)(2)(2) 的的聯(lián)聯(lián)合合分分布布函函數(shù)數(shù)為為，設(shè)設(shè)二二維維隨隨機(jī)機(jī)變變量量YX 21F xyarctanxarctany22 ， yx，試試求求：XY及及的的邊邊緣緣分分布布函函數(shù)數(shù)例例1X2Fx1arctanxarctany221arctanx ,x2 y y解解：( )=F(x,+ )( )=F(x,+ )=lim=lim1arctany ,y2 Y Y同同理理F F( (y y) )= =設(shè)離散型設(shè)離散型 R.V. ( X,Y )的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分

5、布律為稱稱 X和和Y的分布律分別為的分布律分別為(X,Y) 的邊緣分布律，且的邊緣分布律，且, 2 , 1,),(jipyYxXPijji 11,ijijjjPXx Yyp,2,1iixXP iijijj 1j 1XxXx ,Yy Xx ,Yy U UU U二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律ip (3)(3)(X,Y) 關(guān)于關(guān)于 Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為jyYP ijijji 1i 1PXx ,Yypp 1,2,j 我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.(4

6、)(4)下下表表表表示示的的邊邊緣緣分分布布律律也也可可以以由由以以及及YXpi. pi. 0.20.25 50.40.40.0.0.0.3535X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05p.j0.250.50.25例例2.設(shè)設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律表為的聯(lián)合分布律表為:求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量X,Y的邊緣分布律的邊緣分布律.例例3 擲一枚骰子，直到出現(xiàn)小于擲一枚骰子，直到出現(xiàn)小于5點(diǎn)為止。變量點(diǎn)為止。變量 X 表示表示最后一次擲出的點(diǎn)數(shù)，最后一次擲出的點(diǎn)數(shù)，Y 為擲骰子的次數(shù)。求：隨機(jī)變?yōu)閿S骰子的次數(shù)。求：隨機(jī)變量量X,Y ) 的聯(lián)合分布

7、律及的聯(lián)合分布律及 X、Y 的邊緣分布律。的邊緣分布律。解：解：X 的可能取值為的可能取值為1，2，3，4，Y 的可能取值為的可能取值為1，2，3，(X,Y)的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為,jYiXPpij 121()66 j, 2 , 1. 4 , 3 , 2 , 1 ji前前j-1次擲的點(diǎn)數(shù)均不小次擲的點(diǎn)數(shù)均不小于于5，第，第j次擲出次擲出 i(5) 點(diǎn)。點(diǎn)。X 的邊緣分布律為的邊緣分布律為iijj 1P(Xi)pp , 2 , 1; 4 , 1,61)62(1 jipjij 1161)62(jj41311161 Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為4jiji 1P(Yj)pp 41161)62

8、(ijj 121( )33 . 4 , 3 , 2 , 1 i, 2 , 1 j例例4 4 袋中有二個(gè)白球，三個(gè)黑球，從中取兩次球袋中有二個(gè)白球，三個(gè)黑球，從中取兩次球1:X0 第第一一次次取取到到白白球球定定義義第第一一次次取取到到黑黑球球1Y0 第第二二次次取取到到白白球球第第二二次次取取到到黑黑球球分有放回和無放回討論，求：分有放回和無放回討論，求：(X,Y(X,Y的聯(lián)合分布律及邊的聯(lián)合分布律及邊緣分布律緣分布律. .解：有放回解：有放回01011jpXY ip53535253535252525352535201011jpXYip425342534352415253525352不放回不放

9、回聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系：聯(lián)合分布律與邊緣分布律的關(guān)系：由聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律由聯(lián)合分布律可以確定邊緣分布律;但由邊緣但由邊緣分布律一般不能確定聯(lián)合分布律分布律一般不能確定聯(lián)合分布律.稱稱 X和和Y的密度函數(shù)分別為的密度函數(shù)分別為(X,Y) 的邊緣密度的邊緣密度函數(shù)，且關(guān)于函數(shù)，且關(guān)于X 的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為 設(shè)連續(xù)型設(shè)連續(xù)型 R.V.( X,Y ) 的聯(lián)合密度函數(shù)為的聯(lián)合密度函數(shù)為),(yxfX( )()dyfxf x, y 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù)三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣密度函數(shù) x 關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣密度函數(shù)為的邊緣密度函數(shù)為Y( )()dxfyf x,

10、 y y (5)(5)(6)(6)例例5 設(shè)設(shè) (X,Y) 的密度函數(shù)是的密度函數(shù)是解解求求 兩個(gè)邊緣密度函數(shù)兩個(gè)邊緣密度函數(shù).24y(2),0 x1,0( ,y)50, 其其它它xyxf x dyyxfxfX,xxy0yx 1x當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 10,0,0. Xxxyf x yfx或都有故暫時(shí)固定暫時(shí)固定 00,. Xxxfxfx y dyfx y dyfx y dyfx y dy當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01x 24y(2),0( ,y)50, 其其它它xyxf xxy0yx 1xx),2(5122xx注意取值范圍注意取值范圍xdyxy0)2(524 .,0,10,25122其它其它xxxxfX綜上綜上 ,

11、 dxyxfyfY, 1000 當(dāng)當(dāng)或或時(shí)時(shí)對對都都有有故故Yyy,x,fx, y,fy.0y1,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)yx yyy11y暫時(shí)固定暫時(shí)固定0yx 11 Yyyfyfx, y dxfx, y dxfx, y dxfx, y dx24y(2),y( ,y)50, 其其它它xx1f x),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfY綜上綜上 ,注意取值范圍注意取值范圍課堂練習(xí)課堂練習(xí) 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是 ,0,0,yexyxfx y 其其它它求求X 和和 Y 的邊緣密度函數(shù)的邊緣密度函數(shù).xyx xy0 xx ,Xfxf

12、x y dy 解解暫時(shí)固定暫時(shí)固定當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x 00Xfxdy yXxfxedy xe yxe 故故 ,0,0,0.xXexfxx 暫時(shí)固定暫時(shí)固定yx xy0 ,Yfyfx y dx 暫時(shí)固定暫時(shí)固定yyy暫時(shí)固定暫時(shí)固定當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0y 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0y 00Yfydx 0yyYfyedx yye 故故 ,0,0,0.yYyeyfyy 解解: 22222()21)yxxyyxx因?yàn)橐驗(yàn)樗运?22221(1)2 12121, Xyxxfxedx y dyfy定理：定理： 設(shè)二維正態(tài)隨機(jī)變量設(shè)二維正態(tài)隨機(jī)變量(X,Y) 那么那么 N(0,0,1,1, ) 2221

13、(2)2(1)21,21 xxyyfx ye(0,1),(0,1)XNYN變量變量 21,1 tyx令則有則有 222212 xtXfxeedt22122 xe2212 xe x 22212 122121 y xxeedy同理同理 2212 yYfye y 由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. 也就是說也就是說,對于給定的對于給定的 不同的不同的 對應(yīng)對應(yīng)1212, 不同的二維正態(tài)分布不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明此例表明注：注：1)1) 的兩個(gè)邊緣分布都是一維標(biāo)準(zhǔn)的兩個(gè)邊緣分布都是一維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布正態(tài)分布N(0,1) ,并且不依賴于參數(shù)并且不依賴于參數(shù) .N(0,0,1,1, ) 2)推廣推廣:設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量 , 則變量則變量X ,變量變量Y .221212(,) (, )X YN 211(,