幅角原理及其應用ppt課件

1、1幅角原理及應用 2 留數(shù)和留數(shù)定理一、對數(shù)留數(shù)二、 幅角原理三、儒歇定理3 留數(shù)和留數(shù)定理 定義：如果函數(shù)定義：如果函數(shù) f f 在區(qū)域在區(qū)域D D內(nèi)除去內(nèi)除去極點外極點外處處解析，則稱處處解析，則稱f f 為區(qū)域為區(qū)域D D內(nèi)的內(nèi)的亞純函數(shù)亞純函數(shù)。 有理函數(shù)在整個平面上都是亞純函數(shù)有理函數(shù)在整個平面上都是亞純函數(shù) 若若f 在閉周線在閉周線C內(nèi)是亞純的，在內(nèi)是亞純的，在C上解析且不取上解析且不取零點，則零點，則 f 在在C內(nèi)至多有內(nèi)至多有有限有限個極點。個極點。4一一、對數(shù)留數(shù)對數(shù)留數(shù)( )( )()nf z = z -ag z設設 為為 ( ( ) )的的n n級級零零點點，則則可可寫寫

2、af z證明證明( )( )( )( )Res( )=zzzzzfafnaffanf 設 為的 階零點，證明： 為一階極點 且，。引引例例1 1( )( )( ),( )( )( )fzng zg zf zzag zg za其中在點 的鄰域內(nèi)解析從而 由此，由此，( )( )Res( )( )=zzzzffaanff為一階極點且，。5( )()( )zf z =z mhbbf zmb級極點在 的去心鄰域內(nèi)有( ( ) )，為的則證明證明( )( )( )( )Res( )= -zzzzzffmffamf 設 為的 階零點，證明：為一階極點 且，。引引例例2 2bb ( )( )( ),( )(

3、 )( )fz-mzzf zzzzhhbhh其中在點 的鄰域內(nèi)解析 b從而由此，( )( )Res( )( )= -zzzzffmff為一階極點且，。bb61( )2( )Cif zdzf z考察積分考察積分 23425,17( )521( )Cz-zf z =z-z+z-f zz設設則則在在= =4 4內(nèi)內(nèi)的的例例極極點點數(shù)數(shù)為為. ：( )( )，明明顯顯地地的的極極點點只只可可能能來來自自于于 ( ( ) )的的極極點點和和零零點點. .fzf zf z計算函數(shù)的零點或極點的個數(shù)時，通常包含重數(shù)。計算函數(shù)的零點或極點的個數(shù)時，通常包含重數(shù)。( )CCf z若若在在 內(nèi)內(nèi)亞亞純純且且在在

4、上上解解析析不不取取零零值值。、 CP()()=2+5=7f, C 內(nèi)內(nèi)的的極極點點每每個個極極點點的的階階N,C3零零點點數(shù)數(shù)為為f： 7 C1C2Cf zf zf z一條周線，符合條件：在 內(nèi)是亞純的；在 上解析且不為零，則有 設( ( ) )( ( ) )( ( ) )1( )2( )( ,C) P( ,C)f zdzf zCNfif 定理定理1另一方面另一方面1( )1d1( )dln ( )2( )2d21 d | ( )|darg ( )2arg ( )2lnlnf zdzf z dzf zf zzf zf zf zCCCCCCiiiii8 C1C2Cf zf zf z一一條條周周

5、線線符符合合條條件件在在 內(nèi)內(nèi)是是亞亞純純的的在在 上上解解析析且且不不為為零零，則則有有，：； 設( ( ) )( ( ) )( ( ) )arg ( )( ,C) P( ,C)2zCfN ff 定理定理2二、幅角原理二、幅角原理 234252,7( )521Cz-zf z =z-z+z-z設設= =4 4 驗驗證證幅幅角角原原理理例例 . ：，N,C -P( ,C) 3 74 一一方方面面ff 解解 3arg2arg2 2 5arg1arg ( )223 22 25 224zzzz 一一方方面面CCCCf另 9 101nnnza za za在在自自動動控控制制中中，一一些些技技術術的的穩(wěn)穩(wěn)

6、定定性性歸歸結結為為要要求求常常系系數(shù)數(shù)線線性性微微分分方方程程解解的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性，而而這這類類問問題題要要求求該該方方程程的的特特征征多多項項式式 P P的的根根全全在在左左半半平平面面。利利用用幅幅角角原原理理可可以以得得到到這這問問題題的的一一個個判判據(jù)據(jù)。例例3 證明：在虛軸上沒有零點的證明：在虛軸上沒有零點的n次多項式次多項式 1010nnnza za zaaP P （0 0） ()argyiynP P1011三、儒歇（三、儒歇（Rouch）定理）定理( )( )zCzf z在在 上上時時有有：12 儒歇定理儒歇定理( )( )zf z注注：儒歇定理的儒歇定理的 典型用途之一是將一個復雜的解析函數(shù)典型用途之一是將一個復雜的解析函數(shù)g同同零點已知的解析函數(shù)比較，推出關于零點的一些信息零點已知的解析函數(shù)比較，推出關于零點的一些信息。例例4 證明多項式證明多項式 的全部的全部4個零點都位個零點都位于于 內(nèi)。內(nèi)。43 +1( )g zzz2z 例例5 證明證明: 滿足條件滿足條件的多項式的多項式 1010+nnn ttnza za za zaaP P （0 0）0111|tttnaaaaaa| | 13如：如： 方程方程 在