不變子群商群-高數(shù)培訓課件

1、110.不變子群、商群不變子群、商群 10.1 定義定義 10.2 例子例子 10.3 等價條件等價條件 10.4 商群商群210.1 定義定義這一節(jié)里要講到一種重要的子群，就是不變子群 給了一個群 ，一個子群 ，那么 的一個右陪集 未必等于 的左陪集 ，這一點我們在上一節(jié)的例里已經(jīng)看到GHHHaHaH3一個不變子群 的一個左(或右)陪集叫做 的一個陪集一個陪集. 意味著: 嗎? 反過來呢? 在元素間意味著什么?不變子群又稱為正規(guī)子群NNaNNaannaaNNa注1.注2.注3.注4. 定義定義一個群 的一個子群 叫做一個不變子不變子群群,假如對于 的每一個元 來說,都有 GNGaaNNa41

2、0.2 例子例子例例一個任意群 的子群 和 總是不變子群，因為對于任意 的元 來說，GGeGaGaaGGeaaea例例 剛好包含群 的所有有以下性質(zhì)的元 ， ，不管 是 的哪一個元CGnnaanaG證明: 是 的一個不變子群CG5證明證明: . 的每一個元 可以同 的每一個元 交換，所以 ，即 是不變子群aNNaGaNnNaaNN(1) 是子群.因為 ，所以 是非空的CeNN這就是說， 是一個子群N ， 11n aan221212n aann n aan n111111naann an annn nanan又這個不變子群 叫做 的中心中心CG6例例 一個交換群 的每一個子群 都是不變子群因為

3、的每一個元 可以和任意一元 交換， ，所以對于一個子群 來說， GHGaxxaaxHHaaH例例 那么， ， 是一個不變子群3GS(1)N (123)(132)從這個例子可以總結(jié)出一般性結(jié)論嗎?注5.710.3 等價條件等價條件現(xiàn)在復習一下群 的子集的乘積: 設(shè)A，B是群 的兩個非空子集,規(guī)定GG,ABab aA bB11AaaA，容易證明:111(),ABB A11()AA()()AB CA BC()()()A BCABAC，由于結(jié)合律成立, ， ， 的乘積用符號 來表示1S2SmS12mS SS8定理定理 一個群 的一個子群 是一個不變子群的充分而且必要條件是：GN1aNaN對于 的任意一

4、個元 都對Ga證明證明 證完 注5. 可以換成 ?1aNaN1a NaN9證明證明這個條件的必要性是顯然的，是定理的直接結(jié)果我們證明它也是充分的定理定理一個群 的一個子群 是一個不變子群的充分而且必要條件是：GNaG1nNanaN，條件 意味著1anaN1aNaN（） 因為 也是 的元，在（）中以 代 ,證完1aG1aa10 要測驗一個子群是不是不變子群，用定理的條件一般比較方便注6.用定理的條件可以改寫成aG1nNa naN，注7.1anaN1aNaN等價于 注8.1a naN等價于？注9.11小結(jié):群 的一個子群 , ， .下面條件等價:GNaGnN1. 2.3. 4.aNNa1aNaN1

5、a naN1aNaN注意: 不變子群不具有傳遞性.1210.4 商群商群 不變子群所以重要，是因為這種子群的陪集，對于某種與原來的群有密切關(guān)系的代數(shù)運算來說，也作成一個群 我們看一個群 的一個不變子群 的所有陪集作成一個集合GN/,G NaN bN cNaN aG13 相對 :是一個元素, 相對 :是一 個子集.aN/G NaNG(2) 有不同的表示方式.aN 的子集的乘積,計算兩個陪集 和 的 成績GxNyN()()()xNyNxy N 定理定理一個不變子群的陪集對于上邊規(guī)定的乘法來說作成一個群14證明證明我們證明群定義的條件， 能被滿足顯然()()()xNyN zNxy N zNxyz N()()()xN yNzNxNyz Nxyz N 是單位元,因為eN()eNxNex NxN 有逆元 ,因為xN1x N11()x NxNx x NeN證完15 定義定義一個群 的一個不變子群 的陪集所作成的群叫做一個商群商群這個群我們用符號 來表示GNG N 因為 的指數(shù)就是 的陪集的個數(shù)，我們顯然有，商群 的元的個數(shù)等于 的指數(shù)當 是有限群的時候，NNNG NGGG NN的階的階