第1章狀態(tài)空間表達式ppt課件

1、1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(一)1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標變換)1.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(二) 1.8 時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.6 從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣1.7 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式1.1 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式1.1.1 狀態(tài)變量 狀態(tài)變量是既足以完全確定系統(tǒng)運動狀態(tài)而個數(shù)又是最小的一組變量，當其在t=t0時刻的值已知時，則在給定tt0時刻的輸入作用下，便能完全確定系統(tǒng)在任何tt0時刻的行為。 1.1.2 狀態(tài)矢量 假設(shè) 個狀態(tài)變量用 表示，并把這些狀

2、態(tài)變量看作是矢量 的分量，那么 就稱為狀態(tài)矢量，記作：1.1.3 狀態(tài)方程 以狀態(tài)變量 為坐標軸所構(gòu)成的 維空間，稱為狀態(tài)空間。1.1.4 狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的微分方程組稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。用圖下所示的 網(wǎng)絡，說明如何用狀態(tài)變量描述這一系統(tǒng)。圖一根據(jù)電學原理，容易寫出兩個含有狀態(tài)變量的一階微分方程組：亦即（1） 式(1)就是圖1.1系統(tǒng)的狀態(tài)方程，式中若將狀態(tài)變量用一般符號 ，表示，即令 并寫成矢量矩陣形式，則狀態(tài)方程變?yōu)椋夯?.1.5 輸出方程 在指定系統(tǒng)輸出的情況下，該輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式，稱為系統(tǒng)的輸出方程。如在圖1.1系統(tǒng)中，指定 作為輸出，輸出一般用y表示，則有：式

3、中(2)狀態(tài)方程和輸出方程合并起來，就是系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式?；颍?）式中或（4）1.1.6 狀態(tài)空間表達式 在經(jīng)典控制理論中，用指定某個輸出量的高階微分方程來描述系統(tǒng)的動態(tài)過程。如上圖一所示的系統(tǒng)，在以 作輸出時，從式(1)消去中間變量i，得到二階微分方程為：其相應的傳遞函數(shù)為：（6）（5） 回到式5或式6的二階系統(tǒng)，若改選 和 作為兩個狀態(tài)變量，即令 則得一階微分方程組為：闡明：針對一個系統(tǒng)，狀態(tài)變量的選取不唯一。Such as（8） 設(shè)單輸入-單輸出定常系統(tǒng)，其狀態(tài)變量為 則狀態(tài)方程的一般形式為：輸出方程式則有如下形式：用矢量矩陣表示時的狀態(tài)空間表達式則為： 因而多輸入-多輸出系統(tǒng)狀態(tài)空

4、間表達式的矢量矩陣形式為：式中，x和A為同單輸入系統(tǒng)，分別為n維狀態(tài)矢量和nn系統(tǒng)矩陣；為r維輸入(或控制)矢量；為m維輸出矢量；（9）（10） 為了簡便，下面除特別申明，在輸出方程中，均不考慮輸入矢量的直接傳送，即令D = 0 。1.1.7 狀態(tài)空間表達式的系統(tǒng)框圖 和經(jīng)典控制理論相類似，可以用框圖表示系統(tǒng)信號傳遞的關(guān)系。對于式(9)和式(10)所描述的系統(tǒng)，它們的框圖分別如圖a和b所示。1.2 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的模擬結(jié)構(gòu)圖 狀態(tài)空間表達式的框圖可按如下步驟繪制：積分器的數(shù)目應等于狀態(tài)變量數(shù)，將它們畫在適當?shù)奈恢?，每個積分器的輸出表示相應的某個狀態(tài)變量，然后根據(jù)所給的狀態(tài)方程和輸出方

5、程，畫出相應的加法器和比例器，最后用箭頭將這些元件連接起來。對于一階標量微分方程：它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖再以三階微分方程為例：將最高階導數(shù)留在等式左邊，上式可改寫成它的模擬結(jié)構(gòu)圖示于下圖 同樣，已知狀態(tài)空間表達式，也可畫出相應的模擬結(jié)構(gòu)圖，下圖是下列三階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。下圖是下列二輸出的二階系統(tǒng)的模擬結(jié)構(gòu)圖。1.3 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(一) 這個表達式一般可以從三個途徑求得：一是由系統(tǒng)框圖來建立，即根據(jù)系統(tǒng)各個環(huán)節(jié)的實際連接，寫出相應的狀態(tài)空問表達式；二是從系統(tǒng)的物理或化學的機理出發(fā)進行推導；三是由描述系統(tǒng)運動過程的高階微分方程或傳遞函數(shù)予以演化而得。1.3.1 從系統(tǒng)框圖出發(fā)建

6、立狀態(tài)空間表達式 該法是首先將系統(tǒng)的各個環(huán)節(jié)，變換成相應的模擬結(jié)構(gòu)圖，并把每個積分器的輸出選作一個狀態(tài)變量 其輸入便是相應的 然后，由模擬圖直接寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。方塊結(jié)構(gòu)圖狀態(tài)空間表達式111sTKsTK22uy例：系統(tǒng)方塊圖如下圖所示。試求其狀態(tài)空間表達式。 例：解：慣性環(huán)節(jié)：111sTK11TKs111T111sTKsTK22uy例：解：比例積分環(huán)節(jié)：22TKs1sTK22111sTKsTK22uy例：解：綜合慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)模擬結(jié)構(gòu)圖得：111sTKsTK22uy11TKs111T22TKs1uy解：選積分器的輸出為狀態(tài)變量得：11TKs111T22TKs1uy2x1x1x

7、2x狀態(tài)方程：uTKxTxTKxxTKx1121111222211輸出方程：1xy 狀態(tài)空間表達式1.3.2 從系統(tǒng)的機理出發(fā)建立狀態(tài)空間表達式 一般常見的控制系統(tǒng)，按其能量屬性，可分為電氣、機械、機電、氣動液壓、熱力等系統(tǒng)。根據(jù)其物理規(guī)律，如基爾霍夫定律、牛頓定律、能量守恒定律等，即可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。當指定系統(tǒng)的輸出時，很容易寫出系統(tǒng)的輸出方程。例.試求用電樞電壓控制的他激電動機的狀 態(tài)空間表達式(輸入u(t),輸出q (t)aRaLaiufufRfLficonstJf轉(zhuǎn)動慣量， 粘性摩擦常數(shù)， 電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù)， 電勢常數(shù)J f mC eC aRaLaiufufRfLficonstJf解：

8、電壓方程：運動方程：22m addC iJfdtdt電磁轉(zhuǎn)矩轉(zhuǎn)動慣量， 粘性摩擦常數(shù)， 電磁轉(zhuǎn)矩常數(shù)， 電勢常數(shù)J f mC eC 反電勢dtdCdtdiLiRueaaaa22m addC iJfdtdt解：122233231meaaaaxxCfxxxJJCRuxxxLLLyx電壓方程：運動方程：123,axxxi令整理得:dtdCdtdiLiRueaaaa狀態(tài)空間表達式-矩陣形式11223301000010meaaaaxxCfxxuJJxxCRLLL123100 xyxx122233231meaaaaxxCfxxxJJCRuxxxLLLyx 1.4 狀態(tài)變量及狀態(tài)空間表達式的建立(二) 考慮

9、一個單變量線性定常系統(tǒng)，它的運動方程是一個 階線性常系數(shù)微分方程：相應的傳遞函數(shù)為1.4.1 傳遞函數(shù)中沒有零點時的實現(xiàn)在這種情況下，系統(tǒng)的微分方程為： 相應的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為 上式的實現(xiàn)，可以有多種結(jié)構(gòu)，常用的簡便形式可由相應的模擬結(jié)構(gòu)圖 (下列圖)導出。這種由中間變量到輸入端的負反饋，是一種常見的結(jié)構(gòu)形式，也是一種最易求得的結(jié)構(gòu)形式。 將圖中每個積分器的輸出取作狀態(tài)變量，有時稱為相變量，它是輸出 的各階導數(shù)。至于每個積分器的輸入，顯然就是各狀態(tài)變量的導數(shù)。從圖a），容易列出系統(tǒng)的狀態(tài)方程： 輸出方程為： 表示成矩陣形式，則為： 順便指出，當 矩陣具有式上矩陣的形式時，稱為友矩陣，友矩陣的特點

10、是主對角線上方的元素均為1；最后一行的元素可取任意值；而其余元素均為零。例 設(shè)yx12xy 3xy 解：選y y 58y 6uy3 求A，B，C，D）21xx 32xx uxxxx358632131xy 那么：狀態(tài)方程輸出方程例續(xù):y y 58y 6uy3解：uxxxxxx300586100010321321321001xxxy狀態(tài)空間表達式為210aaa0此時，系統(tǒng)的微分方程為：相應地，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：設(shè)待實現(xiàn)的系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：由于 上式可變換為（26） 1.4.2 傳遞函數(shù)中有零點時的實現(xiàn) 令那么對上式求拉氏反變換，可得：每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：或表示為：

11、推廣到 階系統(tǒng)，式(26)的實現(xiàn)可以為：（28）狀態(tài)空間方程實現(xiàn)非唯一，書p28, 圖1.16b求得其對應的傳遞函數(shù)為：（29） 為求得 令式29與式26相等，通過對 多項式系數(shù)的比較得：故得：（30）也可將式(30)寫成式(31)的形式，以便記憶。（31） 將上圖a的每個積分器輸出選作狀念變最，如下圖，得這種結(jié)構(gòu)下的狀態(tài)空間表達式：即（32）擴展到 階系統(tǒng)，其狀態(tài)空間表達式為：（33）式中（34）或記為：例： 試寫出它的狀態(tài)空間表達式。uuuyyyy324 3, 1, 1, 0, 30123bbbbn4,2, 1210aaa解：321321321113100421100010 xxxyuxx

12、xxxx能控型kkabb3311014211421410123能觀型先求參數(shù)k0210211101211111bbbbaaaaaannnnnnnnnn13,3,1,00123例： 試寫出它的狀態(tài)空間表達式。uuuyyyy324 3, 1, 1, 0, 30123bbbbn4,2, 1210aaa解：uxxxxxx1331421100010321321能觀型13,3,1,00123321001xxxy輸出方程狀態(tài)方程1.4.3 多輸入一多輸出系統(tǒng)微分方程的實現(xiàn)一雙輸入一雙輸出的三階系統(tǒng)為例，設(shè)系統(tǒng)的微積分方程為：（35） 同單輸入一單輸出系統(tǒng)一樣，式(35)系統(tǒng)的實現(xiàn)也是非唯一的。現(xiàn)采用模擬結(jié)構(gòu)

13、圖的方法，按高階導數(shù)項求解：對每一個方程積分：故得模擬結(jié)構(gòu)圖，如下圖所示： 取每個積分器的輸出為一個狀態(tài)變量，如上圖所示。則式35的一種實現(xiàn)為：或表示為：（36）1.5 狀態(tài)矢量的線性變換(坐標變換)1.5.1 系統(tǒng)狀態(tài)空間表達式的非唯一性 對于一個給定的定常系統(tǒng)，可以選取許多種狀態(tài)變量，相應地有許多種狀態(tài)空間表達式描述同一系統(tǒng)，也就是說系統(tǒng)可以有多種結(jié)構(gòu)形式。所選取的狀態(tài)矢量之間，實際上是一種矢量的線性變換(或稱坐標變換)。 設(shè)給定系統(tǒng)為：（37） 我們總可以找到任意一個非奇異矩陣 將原狀態(tài)矢量 作線性變換，得到另一狀態(tài)矢量 設(shè)變換關(guān)系為：即代入式37），得到新的狀態(tài)空間表達式：（38） 設(shè)

14、系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：11) 0(0231202121xuxxxx2130 xxy例:Tzx 求時新的狀態(tài)空間表達式.0226T11zTATzTBuDuCTzy01)0(xTz初值解: 以z為變量的狀態(tài)空間表達式形式:例續(xù):0226T3210022631203110211ATT3110211TBuTATzTz11DuCTzy01)0(xTz初值10023110211BT06022630CTuzzz1032102115 . 0) 0(,0621zzzy新的狀態(tài)空間表達式系統(tǒng)特征值就是系統(tǒng)矩陣 的特征值，也即特征方程：（43） 的根。 方陣A且有n個特征值；實際物理系統(tǒng)中， 為實數(shù)方陣，故特征值

15、或為實數(shù)，或為成對共軛復數(shù)；如 為實對稱方陣，則其特征值都是實數(shù)。2系統(tǒng)的不變量與特征值的不變性同一系統(tǒng)，經(jīng)非奇異變換后，得：其特征方程為：（44）1.5.2 系統(tǒng)特征值的不變性及系統(tǒng)的不變量 1.系統(tǒng)特征值 式(43)與式(44)形式雖然不同，但實際是相等的，即系統(tǒng)的非奇異變換，其特征值是不變的?？梢宰C明如下： 將特征方程寫成多項式形式 由于特征值全由特征多項式的系數(shù) 唯一確定，而特征值經(jīng)非奇異變換是不變的，那么這些系統(tǒng) 也是不變的量。所以稱特征多項式的系數(shù)為系統(tǒng)的不變量。3特征矢量一個 維矢量 ：經(jīng)過以 作為變換陣的變換，得到一個新的矢量 即 如果此 即矢量 ，經(jīng) 線性變換后，方向不變，僅

16、長度變化 倍則稱 為 的對應于 的特征矢量，此時有1.5.3 狀態(tài)空間表達式變換為約旦標準型這里的問題是將 (45) 變換為：(46) 根據(jù)系統(tǒng)矩陣 求其特征值，可以直接寫出系統(tǒng)的約旦標準型矩陣無重根時有重根時系統(tǒng)特征值的不變性線性變換下系統(tǒng)特征值保持不變特征值保持不變保持穩(wěn)定性不變 保持動態(tài)性能不變線性變換不改變系統(tǒng)的能控性、能觀性3120A0226T設(shè)系統(tǒng)A特征方程：| lI-A |02331202I系統(tǒng)A特征值：2, 12132100226312031102111ATTA系統(tǒng)A1特征方程：| lI-A1 |系統(tǒng)A1特征值：2, 12102332102I特征值不變1.5.3 狀態(tài)空間表達式

17、的Jordan標準型xA xB uyC xD u系統(tǒng)方程:系統(tǒng)的Jordan標準型： 設(shè)線性變換T，令Tzx BuTJzBuTATzTz111 其中：J為A的Jordan標準型DuCTzy狀態(tài)空間表達式的Jordan標準型求?矩陣AA的Jordan標準型 JqJJJJATT211iiiiiJ000000010001iAqi, 2 , 1的特征值，A的Jordan標準型 J是唯一的(Jk順序可變)qJJJJATT211采用A的Jordan標準型可簡化部分分析、計算矩陣AA的Jordan標準型 JA(nn陣) 的特征向量nppp， 21,kkkpApk為矩陣A的特征值.212121nnnppppp

18、pA記.,.2121nndiagpppPPAP1Jordan標準型 J1. A有n個線性無關(guān)的特征向量51166116110A求A的Jordan標準型特征方程:| lI-A | =0) 3)(2)(1(特征值:3, 2, 1321111pAp1011p333pAp9613p例1-10:解:222pAp4212p特征值互異特征向量:例解:1011p9613p4212p213pppT 96142110112/3134322/5396142110111T9416201115116611611012/3134322/531ATTA的Jordan標準型321163053064A求A的Jordan標準型特

19、征值:2, 132 , 112 , 11pAp112,01221pp333pAp1113p例:特征方程:| lI-A | =0)2() 1(2解:特征向量:163053064A110111122321pppP0211211321P1101111221630530640211211321PAP200010001Jordan標準型112,01221pp1113p解:A特征值:2, 132 , 1 下面介紹一類特殊矩陣的特征變換矩陣A陣為標準型，即 (1)A的特征值無重根時，其變換是一個范德蒙德(Vandermonde)矩陣，為：(2)A特征值有重根時，以有 的三重根為例：(3)有共軛復根時，以四階

20、系統(tǒng)其中有一對共軛復根為例，即此時1.6 從狀態(tài)空間表達式求傳遞函數(shù)陣1.6.1 傳遞函數(shù)(陣)1單輸入一單輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式： 式中， 為 維狀態(tài)矢量； 和 為輸出和輸入，它們都是標量；A為 方陣; 為 列陣；c為 行陣；d為標量，一般為零。（62）對式(62)進行拉氏變換，并假定初始條件為零，則有： （63） 故UX間的傳遞函數(shù)為：（64）它是一個 的列陣函數(shù)。間的傳遞函數(shù)為：它是一個標量。 2 2多輸入一多輸出系統(tǒng)多輸入一多輸出系統(tǒng)已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：（66）式中， 為r1輸入列矢量； 為m1輸出列矢量；B為nr控制矩陣；C為mn輸出矩陣；D為mr直接傳遞陣；X，A為

21、同單變量系統(tǒng)。 同前，對式(66)作拉氏變換并認為初始條件為零，得：（67）故 間的傳遞函數(shù)為（68）它是一個 nr 矩陣函數(shù)。 故 間的傳遞函數(shù)為：它是一個mr矩陣函數(shù)，即（69）其中各元素 都是標量函數(shù)，它表征第 個輸入對第 個輸出的傳遞關(guān)系。當 時 ，意味著不同標號的插入與輸出有相互關(guān)聯(lián)，稱為有耦合關(guān)系，這正是多變量系統(tǒng)的特點。式(69)還可以表示為： 可以看出， 的分母，就是系統(tǒng)矩陣A的特征多項式， 的分子是一個多項式矩陣。 應當指出，同一系統(tǒng)，盡管其狀態(tài)空間表達式可以作各種非奇異變換而不是唯一的，但它的傳遞函數(shù)陣是不變的c對于已知系統(tǒng)如式(66)，其傳遞函數(shù)陣為式(69)。當做坐標變

22、換，即令 時，則該系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：（71）那么對應上式的傳遞函數(shù)陣 應為：即同一系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)陣是唯一的。1.6.2 子系統(tǒng)在各種連接時的傳遞函數(shù)陣實際的控制系統(tǒng)，往往由多個子系統(tǒng)組合而成，或并聯(lián)，或串聯(lián)，或形成反饋連接?，F(xiàn)僅以兩個子系統(tǒng)作各種連接為例，推導其等效的傳遞函數(shù)陣。設(shè)系統(tǒng)1為：（72）簡記為：設(shè)系統(tǒng)2為：簡記為： 1并聯(lián)連接 所謂并聯(lián)連接，是指各子系統(tǒng)在相同輸入下，組合系統(tǒng)的輸出是各子系統(tǒng)輸出的代數(shù)和，結(jié)構(gòu)簡圖如下圖所示。 由式(72)和式(73)，并考慮 得系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式：從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：故子系統(tǒng)并聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣的代數(shù)和。 2串聯(lián)連接串聯(lián)連接下如圖所示。讀者可自己證明，其串聯(lián)連接傳遞函數(shù)陣為： 即子系統(tǒng)串聯(lián)時，系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣等于子系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣之積。但應注意，傳遞函數(shù)陣相乘，先后次序不能顛倒。3具有輸出反饋的系統(tǒng)如下圖所示，由圖可得：即從而系統(tǒng)的傳遞函數(shù)陣為：這里又遇到分塊求逆的問題，假定：故有：從而得：由上兩式解得：即于是：所以有：同理也可求得：1.7 離散時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式 連續(xù)時間系統(tǒng)的狀態(tài)空間方法，完全適用于離散時間系統(tǒng)。類似在連續(xù)系統(tǒng)中，從微分方程或傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達式，叫系統(tǒng)的實現(xiàn)。在離散系統(tǒng)中，從差分方程或脈沖傳遞函數(shù)求取離散狀態(tài)空間表達式，也是一種實現(xiàn)。