專轉(zhuǎn)本第四章不定積分ppt課件

1、上一頁下一頁1 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念二、基本積分表三、不定積分的性質(zhì)定義定義1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f 與與F 在區(qū)間在區(qū)間I上有定義，假設(shè)上有定義，假設(shè) ( )( )( )( ),F xf xdF xf x dxxI或 則稱則稱F為為f 在區(qū)間在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)舉例因?yàn)橐驗(yàn)?sin x)cos x , 所以所以sin x是是cos x的原函數(shù)的原函數(shù). n提問：n （1什么條件下，一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)存在？上一頁下一頁一、原函數(shù)與不定積分的概念一、原函數(shù)與不定積分的概念因?yàn)橐驗(yàn)閤x21)(, 所以所以x是是x21的原函數(shù)的原函數(shù). ( 2 )如果f (x

2、)有原函數(shù)，一共有多少個(gè)？ ( 3 )任意兩個(gè)原函數(shù)之間有什么關(guān)系？u幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明： 1原函數(shù)存在定理：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). 2若F(x) = f (x)，則對任意常數(shù)C， F(x)+C都是f (x)的原函數(shù). 如 (sin x)cos x , 那么 (sin x+C)cos x . 所以原函數(shù)的個(gè)數(shù)有無窮多個(gè). 3設(shè)G(x) 、F(x)是 f (x)的任意兩個(gè)原函數(shù). 那么 G(x) F(x) = C ( C為常數(shù)) 即 任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)證明：(G(x) F(x) = G(x) F(x) = f (x) f (x) = 0 所 以 G(x) F(x) = C ( C為常

3、數(shù))上一頁下一頁 定義2 f (x)在區(qū)間I上全體原函數(shù)成為 f 在 I上的不定積分. 記作 dxxf)(. 其中其中f (x)叫被積函數(shù)，叫被積函數(shù)，f (x)dx叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式，x 叫做積分變量，記號叫做積分變量，記號 “ ” 叫做積分號叫做積分號. 根據(jù)定義, 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù), 那么F(x)C就是f (x)的不定積分, 即CxFdxxf)()(. l 結(jié)論：求f (x)的不定積分只要求它的一個(gè)原函數(shù)F(x)再加任意常數(shù)C.上一頁下一頁 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 那么CxFdxxf)()(. 例例1 1 求求4.x dx解：54()

4、.5xx545xx dxc上一頁下一頁 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 那么CxFdxxf)()(. 例 2. 求函數(shù)xxf1)(的不定積分. 例例2 解 ： 解：當(dāng) x0 時(shí),(ln x)x1, Cxdxxln 1(x0) 當(dāng) x0 時(shí),ln(x)xx1) 1(1,Cxdxx)ln( 1(x0). 合并得：Cxdxx|ln 1(x0). 上一頁下一頁v不定積分的幾何意義不定積分的幾何意義2x的積分曲線 若F(x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù)，則稱F(x)的圖形為f (x)的一條積分曲線， F(x)+c的圖形是由F(x)的圖形沿 y 軸平移c(任意的所得積分曲線組成的曲線軸. 如圖f (x)

5、=2x的積分曲線圖 函數(shù)f (x)的不定積分在幾何上表示f (x)的全部積分曲線所組成的平行曲線族結(jié)論：結(jié)論：上一頁下一頁(1)CkxkdxCkxkdx(k 是常數(shù)), (2)Cxdxx111Cxdxx111, (3)Cxdxx|ln1Cxdxx|ln1, Cxdxxarctan112,2(4)1dxx(1) (5)CaadxaxxlnCaadxaxxln, (6)CxxdxsincosCxxdxsincos, (7)CxxdxcossinCxxdxcossin, (8)Cxxdxtansec2Cxxdxtansec2, (9)Cxxdxcotcsc2Cxxdxcotcsc2, (13)Cxd

6、xxcsccotcscCxdxxcsccotcsc, (12)Cxxdxxsectansec(10)xe dx,xeCCxxdxxsectansec, 2(11)1dxxarcsin,xC上一頁下一頁二、基本積分表二、基本積分表(2)Cxdxx111, lnxxaa dxca解解例例4例例3求求例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33解解例 6 dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx343Cx134134Cx313Cx33dxxxxdx

7、343Cx134134Cx313Cx33. 求求10 xdx10 xdx10ln10 xC上一頁下一頁v性質(zhì)性質(zhì)1 1 ( )f x1( )f x( )df x dx或( )f x dx( )dF x或( ).F xcv性質(zhì)性質(zhì)2 2 ( )kf x dx( )kf x dx2( )F x dx( )F xc( k為常數(shù)為常數(shù) k0）v性質(zhì)性質(zhì)3 3 ( )( )( )f xg xx dx( )( )( )f x dxg x dxx dx證明：證明：由導(dǎo)數(shù)的線性運(yùn)算法則和不定積分的定義由導(dǎo)數(shù)的線性運(yùn)算法則和不定積分的定義( )( )( )f x dxg x dxx dx( )( )( )f x

8、 dxg x dxx dx上一頁下一頁三、不定積分的性質(zhì)三、不定積分的性質(zhì)( )( )( )f xg xx ( )( )( )f xg xx dx( )( )( )f x dxg x dxx dx所以，有：所以，有：將性質(zhì)將性質(zhì)2、性質(zhì)、性質(zhì)3合并可得不定積分線性性質(zhì)合并可得不定積分線性性質(zhì)( )( )( )f xg xx dx( )( )( )f x dxg x dxx dx 例例5求求例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2解解例 14 dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2dxxdxxdxx)cos1 (212cos1 2sin2 Cxx)sin(21. 上一頁下一頁 ( )( )( )f xg xx dx( )( )( )f x dxg x dxx dx例例6求求21(2)4xxeedxx解解21(2)4xxee dxx2(2 )4xdxe dxe dxx21(2 )ln4ln2xee xxce例例7求421xdxx解解421xdxx421 11xdxx 2222(1)(1)11xxdxdxxx22(1)1dxxdxx3arctan3