中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)學(xué)案將軍飲馬類題型大全含部分答案

1、“將軍飲馬”類題型大全一.求線段和最值1（一）兩定一動型例1:如圖，AMLEF,BNLEF,垂足為MN,MN=12mAW5m,BN=4mP是EF上任意一點，則PA+PB的最小值是m分析：這是最基本的將軍飲馬問題，A,B是定點，P是動點，屬于兩定一動將軍飲馬型，根據(jù)常見的“定點定線作對稱”，可作點A關(guān)于EF的對稱點A',根據(jù)兩點之間，線段最短，連接AB,此時AP+PB即為A'B,最短.而要求AB,則需要構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決.解答：作點A關(guān)于EF的對稱點A',過點A'彳AC±BN的延長線于C.易知AM=A隹NC=5mBO9m,AC=MN=12m

2、在RtA'BC中，AB=15m,即PA+PB的最小值是15m變式：如圖，在邊長為2的正三角形ABC中,E,F,G為各邊中點，P為線段EF上一動點，則BPG周長的最小值為.分析：考慮到BG為定值是1,則4BPG的周長最小轉(zhuǎn)化為求BP+PG的最小值，又是兩定一動的將軍飲馬型，考慮作點G關(guān)于EF的對稱點，這里有些同學(xué)可能看不出來到底是哪個點，我們不妨連接AG則AGLBC再連接EG根據(jù)“直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半”，可得AE=EG則點A就是點G關(guān)于EF的對稱點.最后計算周長時，別忘了加上BG的長度.解答：連接AG易知PG=PA,BPPG=BP+PA當(dāng)B,P,A三點共線時，BP+P氏BA,

3、此時最短，BA=2,BG=1,即ABPG周長最短為3.2（二）一定兩動型例2:如圖，在4ABC中，AB=AO5,D為BC中點，AD=5,P為AD上任意一點，E為AC上任意一點，求P8PE的最小值.分析：這里的點C是定點，P,E是動點，屬于一定兩動的將軍飲馬模型，由于ABC是等腰三角形，AD是BC中線，則AD垂直平分BC點C關(guān)于AD的對稱點是點B,PC+P已PB+PE,顯然當(dāng)B,P,E三點共線時，BE更短.但止匕時還不是最短，根據(jù)“垂線段最短”只有當(dāng)BE!AC時，BE最短.求BE時，用面積法即可.解答：作BE!AC交于點E,交AD于點P,易知ADLBCBA3,BO6,WJAD-BOBE-AC4X

4、6=BE-5,BE=變式：如圖，BD平分/ABCE,F分別為線段BCBD上的動點，AB=8,ABC勺周長為20,求EF+CF的最小值.分析：這里的點C是定點，F(xiàn),E是動點，屬于一定兩動的將軍飲馬模型，我們習(xí)慣于“定點定線作對稱”，但這題這樣做，會出現(xiàn)問題.因為點C的對稱點C'必然在AB上，但由于BC長度未知，BC長度也未知，則C'相對的也是不確定點，因此我們這里可以嘗試作動點E關(guān)于BD的對稱點.解答：如圖，作點E關(guān)于BD的對稱點E',連接E'F,則EF+CF=E'F+CF,當(dāng)E',F,C三點共線時，E'F+C已E'C,此時較短.過

5、點C作CE'，AB于E'',當(dāng)點E'與點E''重合時，E''C最短，E''C為AB邊上的高，E''O5.（三）兩定兩動型例3:如圖，/AO&30°,OC=5,O512,點E,F分別是射線OAOB上的動點，求C斗EF+DE的最小值.分析：這里的點C,點D是定點，F(xiàn),E是動點，屬于兩定兩動的將軍飲馬模型，依舊可以用“定點定線作對稱”來考慮.作點C關(guān)于OB的對稱點，點D關(guān)于OA的對稱點.解答：作點C關(guān)于OB的對稱點C,點D關(guān)于OA的對稱點D',連接CD'.CF+EF+DE

6、=CF+EF+D'E,當(dāng)C,F,E,D'四點共線時，C斗EF+D已CD'最短.易知/D'OC=90°,OD=12,OC=5,CD'=13,CF+EF+DE最小值為13.變式：（原創(chuàng)題）如圖，斯諾克比賽桌面AB寬，白球E距AD邊，距CD邊，有一顆紅球F緊貼BC邊，且距離CD4,若要使白球E經(jīng)過邊AD,DC兩次反彈擊中紅球F,求白球E運動路線的總長度.分析：本題中，點E和點F是定點，兩次反彈的點雖然未知，但我們可以根據(jù)前幾題的經(jīng)驗作出，即分別作點E關(guān)于AD邊的對稱點E',作點F關(guān)于CD邊的對稱點F',即可畫出白球E的運動路線，化歸為

7、兩定兩動將軍飲馬型.解答：作點E關(guān)于AD邊的對稱點E',作點F關(guān)于CD邊的對稱點F',連接E'F',交AD于點G交CD于點H,則運動品&線長為EJG*HF長度之和，即E'F'長，延長E'E交BC于N,交AD于M,易知E'MhEMh,E'N=+=2m,NF=NOCF=+=,則RtE'NF中，E'F'=,即白球運動路線的總長度為.小結(jié)：以上求線段和最值問題，幾乎都可以歸結(jié)為“兩定一動”“一定兩動”“兩定兩動”類的將軍飲馬型問題，基本方法還是“定點定線作對稱”，利用“兩點之間線段最短”“垂線段最短

8、”的2條重要性質(zhì)，將線段和轉(zhuǎn)化為直角三角形的斜邊，或者一邊上的高，借助勾股定理，或者面積法來求解.當(dāng)然，有時候，我們也需學(xué)會靈活變通，定點對稱行不通時，嘗試作動點對稱.(二)求角度例1:P為/AOB內(nèi)一定點，MN分別為射線OAOB上一點，當(dāng)PMN周長最小時，ZMPN800.(1) /AOB0(2)求證：OP平分/MPN分析：這又是一定兩動型將軍飲馬問題，我們應(yīng)該先將MN的位置找到，冉來思考/AOB的度數(shù)，顯然作點P關(guān)于OA的對稱點P',關(guān)于OB的對稱點P'',連接P'P'',其與OA交點即為M,O皎點即為N,如下圖，易知/DPCWZAOBM補，則

9、求出/DPC的度數(shù)即可.解答：(1)法1：如圖，Z1+72=100°,/1=/P'+/3=2/3,/2=/P''+/4=2/4,則/3+/4=50°,/DP於130°,/AO&50°.再分析：考慮到第二小問要證明OP平分/MPN我們就連接OP則要證/5=/6,顯然很困難，這時候，考慮到對稱性，我們再連接OP,OP',則/5=Z7,Z6=/8,問題迎刃而解.解答：(1)法2:易知OP=OP',/7+/8=/5+/6=80°,/P'OP'=100°,由對稱性知，/9=/11,

10、/10=Z12,/AO*/9+/10=500(2)由OP=OP',/P'OP'=100°知，/7=/8=40°,/5=/6=40°,OP平分/MPN變式：如圖，在五邊形ABODES,/BA2136°,/B=/E=90°,在BGDE上分別找一點MN,使得AAMN勺周長最小時，則/AMN-/ANM的度數(shù)為.分析：這又是典型的一定兩動型將軍飲馬問題，必然是作A點關(guān)于BODE的對稱點A'、A,連接AA，與BGDE的交點即為AMN長最小時MN的位置.解答：如圖，./BAE=136°,./MAA+/NA'A=440由對稱性知，/MAA=/MAA,/NAA=/NA'A,ZAMN-ZANM=2/MAA+2/NA'A=88°