二階常微分方程的幾種解法

1、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的幾種解法一公式解法目前,國(guó)內(nèi)采用的高等數(shù)學(xué)科書中，求二階常系數(shù)線性非奇次微分方程1:y''+ay'+by=f(x)通解的一般方法是將其轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的齊次方程的通階與它本身的特解之和。微分方程階數(shù)越高，相對(duì)于低階的解法越難。那么二階常系數(shù)齊次微分方程是否可以降價(jià)求解呢？事實(shí)上，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q可將二階常系數(shù)非齊次微分方程降為一階微分方程求解。而由此產(chǎn)生的通解公式給出了該方程通解的更一般的形式。設(shè)二階常系數(shù)線性非齊次方程為'''yayby=f(x)(1)這里a、b都是常數(shù)。為了使上述方程能降階，考察相應(yīng)的特征方程2k2a

2、kb=0(2)對(duì)特征方程的根分三種情況來(lái)討論。1若特征方程有兩個(gè)相異實(shí)根ki、k20則方程(1)可以寫成'''y-(k1-k2)yk1k2y=f(x)(y-k2y)-k1(y-k2y)=f(x)記z=y-k2y,則(1)可降為一階方程z-k1Z=f(x)由一階線性方程的通解公-p(x)dxy二ep(x)dxQ(x)edxc5由業(yè)dx解得知其通解為xx£代立+%這里1°h(t)dt表示積分之后的函數(shù)是以x為自變量的。冉x-k2y=z=e1x0f(t)eekixxf(t)e”Idt-ek"ki-k20dtC3xy=ek2xo(e(kl-2)uU

3、上2)X0f(t)dt)duqC4k1-k2應(yīng)用分部積分法，上式即為(k1/2)x=ek2xek1-k2(x1xe(k1/2)x0f11tdt-F0f*"C3K5xf0f(t)edt+ae+c2ex1Lx2x13x12x=萬(wàn)一xe+qe+c3e這里c3=c2-1.例2求解方程y-2y+y=e、lnx若特征方程有重根k,這時(shí)方程為-2ky+k2y=f(x)或(y-ky)-k(yky)=f(x)由公式得到xy-ky=e0ef(t)dtcj再改寫為-kx'kxx.ktey-key=J0ef(t)dt+c1即色(e上dxx4t.y)=0ef(t)dtCi(5)故y=ekx(x_t)e

4、*f(t)dt+cixekx+c2ekx例1求解方程y-5y+6y=xe2x解這里k2-5k+6=0的兩個(gè)實(shí)根是2,3f(x)=xe2x.由公式(4)得到方程的解是x_x._.3xy二e3t,2t2xx.2tx2t3x2xJ0etedt-e(etedt+c1e+c2exx=ex.0tedt-ex10tdt+c1ex+c2ex解特征方程k22k+1=0有重根1,f(x)=exlnx.由公式(5)得到方程的解是0(x-t)e_tetIntdtc1xexc2exxxxx=e0(x-t)lntdt+c1xe+c2e=ex°xIntdt-°tIntdtc1xexc2ex二x2ex-I

5、nx-c1xexc2ex-24y2常數(shù)變易法二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一般形式是(6)'''一ypyqy=f(x),ypyqy=0,其中p、q為常數(shù)，根構(gòu)造方程(7)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，再由這兩個(gè)解構(gòu)造出方程(7)的通解。特征方程的特征根有三種情況。1 .當(dāng)特征方程有兩個(gè)不相同的實(shí)根%、時(shí)，方程(7)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解為e'-x、ex從而得方程的通解c1e標(biāo)+c2e/2-x.2 .當(dāng)特征方程有二重實(shí)根入時(shí)，可得方程(7)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解e,x、xe'x,從而得到方程(7)的通解(c1ax)e'x。3 .當(dāng)特征方程有一對(duì)共腕復(fù)根口士iP時(shí)，可

6、得方程(7)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解e佻cosPx、e能sinx。從而得方程的通解ce口cosPx+濟(jì)氣冶Px。綜上所述可知，方程(7)總有形如ecosPx、e°xPxsinPx的解，其中口士iP為方程(7)所對(duì)應(yīng)的特征方程的特征根。關(guān)于方程(6)的求解，我們就f(x)為e缶或lp2(x)cosxpnsinxl時(shí)進(jìn)行了討論，給出了這兩種情況下的解法。我們將由方程(7)的一個(gè)特解，通過(guò)參數(shù)變易法構(gòu)造出方程(6)的通解。首先求出方程(7)的一個(gè)特解，不妨將此解記為y=y(x)=eScosBx。設(shè)方程(6)有形為y=c(x)y1(x)=c(x)e曖cosPx5的解，將y二cyy=cycyi

7、9;'''''''y=cy12cy1cy(其中c為c(x),yi為y(x)代入方程(61得''_'''''一cyi(2yipyi)c(yipyiqy1)c=f(x),yi是方程的解上式為cyi+(2y；+py1)c=f(x)，令c=u布u'+(2yL+p)u=f(x)根據(jù)一階Vi%線性非齊次方程的解法布''-(-yLp)dxi(-y>p)dxu=eVif(x)eVidxgVi-(2-2:tgXp)dxi(2?J2|：tgx)=eeosV(x)edxcii

8、WcosPxf(x)e(2：p)x2lncos-xdxc-(2：p)x2lncosxr=ee2-e4')xf(x)e(-)xcos：xdxcicos-xc=udxc2y=e8cosPxJ-1+e*"?"jf(x)e(*)xcosPxdx+Gdx+c2為方程(6)的cosx通解。三多項(xiàng)式法命題：對(duì)于常系數(shù)線性微分方程y+py'+qy=pm(x)e"(8)其中p、q與人是常數(shù)，pm(x)是x的m次多項(xiàng)式，若令y=ze%,則方程(8)可化為：F''/2!z''+F'(%)/l!z'+F(Qz=Pm(x)7F

9、(九)=九2+p九+q為方程(8)對(duì)應(yīng)齊次方程的特征多項(xiàng)式.此處即要求方程(8)的特解y=6(x)e'x,只要求z''十F'Q)z+F(九)z=pm(x)的特解y=(x),而得到(8)的特解y=®(x)e'x.此解法雖然類似教材5上的待定系數(shù)法，仔細(xì)斟酌，要簡(jiǎn)單很多.教材5中則把特解設(shè)為y=xkQ(x)me£x,這里k=0、1、2、Q(x)m是m次多項(xiàng)式.例3求微分方程y+2y+y=e'(x-5)的一個(gè)解.解：F(九)=九2+2%+1，-1為其二重特征根，故原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解是e'、xe/。F

10、9;(-1)=0,從而令y=ze"，原方程化為：z=x-5，解之得其特解為z=1x3-5x2=x2(x-5)故6261c原萬(wàn)程的特解是y=x2(x-5)e)。原方程的解是，6y=*/+c2xe/+1x2(x5)e7(其中g(shù)、傘是常數(shù))6四階數(shù)上升法所謂的階數(shù)上升法就是：設(shè)'''ypyqy=f(x)f(x)為多項(xiàng)式時(shí)，設(shè)_.nn-1f(x)=a0xaxIIIanjxan7此時(shí)，方程兩邊同時(shí)對(duì)x求n導(dǎo)倒數(shù)，得''''''n1,一n-2ypyqy=na°x(n-1)&xIliany(n1)pynqy(

11、n4):a°xn!a(n1)!(n-2).(n1).nypyqy=a°n!令y(n)=噠(q#0),此時(shí)y(n42)=y"=0q由y(n+)與y通過(guò)倒數(shù)第二個(gè)方程可得ym),依次往上推，一直推到方程(9),即可得到方程(9)的一個(gè)特解y(x)，上面的這種方法稱為階數(shù)上升法.當(dāng)"*)=90*"+24'+|同十2門)內(nèi)(九三0時(shí),令丫=*)爐,則y=(u+£u)e'x,y=(u+2兒u+九2u)e'x代入方程(9)，經(jīng)整理得：u(2；,：p)u(12p:q)u;a0xn-a1xn,|IIanxan于是問題(9)就轉(zhuǎn)

12、化為(8)的形式從以上可以看出，階數(shù)上升法不需要討論人是否為特征方程的特征根的問題，因此問題得以簡(jiǎn)化.例4求微分方程y+6y-7y=ex(x+1)的一個(gè)解.解：原方程所對(duì)應(yīng)的齊次方程的特根是正1、-7,對(duì)應(yīng)的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解是ex、e7x。在求原方程的特解。先消去ex,設(shè)特解y=u(x)exx，代入原方程得"'.一.u8u=x1(10)兩邊求導(dǎo)得u'''+8u''=1，令u''、u'=0,代入(10)式得1+8u'=x+1,即88127u二一x一x1664所以原方程的一個(gè)特解為：ex(x2+x)1664所

13、以，原方程的解為：y=Gex+*-7、+exJx2+工x)(其中c1、c2為常數(shù))1664五積分法運(yùn)用特解公式進(jìn)行教學(xué)，不需要對(duì)微分方程的特殊右端進(jìn)行分類設(shè)特解，只需熟悉特解公式就可以求出任意類型的特解.下面我們介紹特解公式.設(shè)人是共腕特征方程r2-pr+q=0的任一根，則y=e4門e(2)x(xff(x)e(px)dx7為方程的一個(gè)特解，其xff(x)dx表示函數(shù)f(x)的一個(gè)原函數(shù)積分下限可取任意值.即要求方程(9)的特解先求出共輛特征方程r2pr+q=0的特征根，任取其一為九，再用特征公式求積分，便得到所求特解.例5求微分方程y+3y+2y=e'cosx的通解.解特征方程r''+3r'+2=0的特征根為口=-1,0=-2，所以，齊次方程所對(duì)應(yīng)的兩