模態(tài)比例因子

1、1 線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程及其矩陣表達(dá)式1.1 剛度矩陣、質(zhì)量矩陣與阻尼矩陣剛度系數(shù)kij定義為只在坐標(biāo)xj上產(chǎn)生單位位移（其他坐標(biāo)上的位移為零）而在坐標(biāo)xi上需要加的力： kij=fixi=0r=1,2,n,rjxj=1 1.1.1 對(duì)于圖所示系統(tǒng)，剛度矩陣為：k=k1+k2-k2-k2k2+k30-k30-knkn+kn+1 1.1.2對(duì)于這類彈簧-質(zhì)量-阻尼系統(tǒng)，一般存在下述規(guī)律：（1） 剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的對(duì)角元素kii或cii為聯(lián)接在質(zhì)量mi上的所有彈簧剛度（或阻尼系數(shù)）的和；（2） 剛度矩陣（或阻尼矩陣）中的非對(duì)角元素kij或cij為直接聯(lián)接在質(zhì)量mi與mj之間的彈簧剛度（或阻尼

2、系數(shù)），取負(fù)值；（3） 一般而言，剛度矩陣和阻尼矩陣都是對(duì)稱矩陣；（4） 如果將系統(tǒng)質(zhì)心作為坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)量矩陣是對(duì)角矩陣，但一般情況下質(zhì)量矩陣并不一定是對(duì)角的。1.2 特征值問(wèn)題多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為：mxt+cxt+kxt=ft 1.2.1式中，xt=x1t,x2t,xntTft=f1t,f2t,fntTm,c,k分別是質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣。1.2.1 無(wú)阻尼和比例阻尼系統(tǒng)考慮無(wú)阻尼和比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為：mxt+kxt=0 1.2.2或展開(kāi)為：j=1nmijxjt+j=1nkijxjt+=0 i=1,2,n 1.2.3為了研究它的解，先試探一種最簡(jiǎn)單的、特殊形式

3、的解：各質(zhì)量合拍地進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，即各坐標(biāo)之比xjt/xit等于常數(shù)，稱這種運(yùn)動(dòng)為同步運(yùn)動(dòng)?？蓪⑼浇鈱?xiě)為：xjt=jSt j=1,2,n 1.2.4式中，jj=1,2,n是一組參數(shù)；St是依賴時(shí)間的實(shí)函數(shù)，對(duì)所有坐標(biāo)都相同。由此式可推出：xjtxit=ji=const i,j=1,2,n 1.2.5將代入，得：Stj=1nmijj+Stj=1nkijj=0 i=1,2,n將上式分離變量，得：StSt=-j=1nkijjj=1nmijj i=1,2,n 1.2.6方程的左端僅與時(shí)間t有關(guān)，右端僅與位移（坐標(biāo)）有關(guān)，為使該等式能成立，其兩端都必須等于一個(gè)常數(shù)；由于St是實(shí)函數(shù)，故該常數(shù)必為實(shí)數(shù)，不妨假

4、定為，于是有St+St=0 1.2.7aj=1nkij-mijj=0 i=1,2,n 對(duì)于方程，已知它的解為St=Ccost- 1.2.8式中2=，而是實(shí)數(shù)，為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率，C和是任意參數(shù)。頻率（或）不能是任意的，它的確定應(yīng)該考慮到使方程有非零解。將方程寫(xiě)出矩陣形式k-2mj=0 1.2.9這是一個(gè)關(guān)于j的n元線性齊次方程組，該方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式等于零，即2=kij-2mij=0 1.2.10式稱為系統(tǒng)的特征方程，式成為系統(tǒng)頻率方程，該行列式稱為特征行列式，將它展開(kāi)后得到關(guān)于2的n次代數(shù)方程2n+a12(n-1)+a22(n-2)+an-12+an=0 1.2.11假定

5、系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣與剛度矩陣都是正定的是對(duì)稱矩陣。在數(shù)學(xué)上可以證明，在這一條件下，頻率方程的n個(gè)根均為正實(shí)根，它們對(duì)于系統(tǒng)的n個(gè)自然頻率。這里假設(shè)各根互補(bǔ)相等，即沒(méi)有重根，因而可由小到大按次序排列為12<22<<n2其中最低的頻率1稱為基頻，在工程應(yīng)用中它是最重要的一個(gè)自然頻率。將各特征根r=r2分別代入方程便可得各相應(yīng)的解r，稱為系統(tǒng)的模態(tài)向量或振型向量。自然頻率r和模態(tài)向量r構(gòu)成了系統(tǒng)的第r階自然模態(tài)，它表征了系統(tǒng)的一種基本運(yùn)動(dòng)模式，即一種同步運(yùn)動(dòng)。n自由度系統(tǒng)一般有n種同步運(yùn)動(dòng)，每一種均為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，但頻率r不同，而且其振幅在各自由度上的分配方式，即模態(tài)向量r也不同。每一種同

6、步運(yùn)動(dòng)可寫(xiě)為xtr=rcosrt-r r=1,2,n 1.2.12由于1.22或1.23是齊次方程，因此以上個(gè)解的線性組合仍為原方程的解，由此得系統(tǒng)自由振動(dòng)的通解為xt=r=1nCrxtr=r=1nCrrcosrt-r r=1,2,n 1.2.13 式中r、rr=1,2,n由系統(tǒng)參數(shù)決定，Cr、rr=1,2,n為待定常數(shù)，由初始條件決定。1.2.2 一般粘性阻尼1.3 正交性、標(biāo)準(zhǔn)化與比例換算因子2 傳統(tǒng)振動(dòng)測(cè)試方法獲得比例換算因子2.1 解析法模態(tài)分析解析法的出發(fā)點(diǎn)是根據(jù)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣來(lái)估計(jì)結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼分布。這些矩陣決定了特征值問(wèn)題，p0MMC+-M00KY=0其特征

7、值就是滿足下列方程的p的值pA+B=0特征值r就是系統(tǒng)極點(diǎn)，r=r+jr，既包含阻尼因子，又包含阻尼固有頻率。將特征值r（系統(tǒng)極點(diǎn)）代入上式得到特征向量rr=rrr=11nn1*1*n*n*1n1*n*模態(tài)a矩陣由特征向量與系統(tǒng)矩陣來(lái)確定：11T1Tn*n*Tn*T0MMC11n*n*1n*=aa比例因子Qr等于對(duì)應(yīng)模態(tài)ar的逆，或者：QQ=aa-1上式給出了適當(dāng)?shù)谋壤龘Q算因子，從而使我們可以借助模態(tài)參數(shù)構(gòu)造出頻率響應(yīng)函數(shù)，見(jiàn)下式：Hj=r=1nQrrrTj-r+Qr*r*r*Tj-r2.2 實(shí)驗(yàn)法模態(tài)分析的實(shí)驗(yàn)方法是從測(cè)量上面這個(gè)頻率函數(shù)矩陣（或其一部分）開(kāi)始的。然后根據(jù)上式（或其等效時(shí)域脈

8、沖響應(yīng)函數(shù)，或有關(guān)的關(guān)系式如直接時(shí)間響應(yīng)）用適當(dāng)?shù)膮?shù)估計(jì)法來(lái)估計(jì)模態(tài)參數(shù)r、r；按照節(jié)提出的某種比例換算方法估計(jì)比例因子Qr；根據(jù)QQ=aa-1得到模態(tài)a矩陣的相應(yīng)值。因?yàn)樵谝话闱闆r下實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)庫(kù)是不完整的（自由度樹(shù)大大超過(guò)估計(jì)的模態(tài)數(shù)），所以從這些實(shí)驗(yàn)?zāi)B(tài)數(shù)據(jù)不可能得到正確估計(jì)出系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼矩陣。3 OMA中Mass Change Method 推導(dǎo)比例換算因子的方法3.1 E. Parloo et al基于敏感度的比例換算因子推導(dǎo)3.2 Rune Brincker基于運(yùn)動(dòng)方程的比例因子推導(dǎo)及改進(jìn)3.2.1 基本步驟為了獲得完備的模態(tài)參數(shù)（固有頻率、阻尼因子和歸一化的模態(tài)振型）

9、，其步驟如下：（1） 對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行OMT測(cè)試，然后進(jìn)行OMA分析得到結(jié)構(gòu)的固有頻率1、阻尼因子1和未歸一化的模態(tài)振型1；（2） 在結(jié)構(gòu)的某些點(diǎn)上附加質(zhì)量m以改變結(jié)構(gòu)特性；（3） 重新對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行OMT測(cè)試，然后進(jìn)行OMA分析得到改變后結(jié)構(gòu)的固有頻率2、阻尼因子2和未歸一化的模態(tài)振型2；（4） 通過(guò)附加質(zhì)量和模態(tài)參數(shù)得到比例因子。3.2.2 理論基礎(chǔ)考慮無(wú)阻尼和比例阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)微分方程如：mxt+kxt=0其特征方程為：k-2mj=0在附加質(zhì)量之前由上式可得：k1=12m1 3.2.1在附加質(zhì)量之后由上式可得：k2=22m+m2 3.2.2用減去得：k1-2=m121-222-m222 3.2.3這里需要假設(shè)附