Ch12.8-9(波包和非線性)

1、1. 波包：不同頻率簡諧波的疊加，形成波包波包：不同頻率簡諧波的疊加，形成波包(復(fù)波復(fù)波)。)cos(111xktAy 111111/22uuk )cos(222xktAy 222222/22uuk 兩列波的合成波：兩列波的合成波：21yyy 6-8 波包和非線性波波包和非線性波一、波包與群速度一、波包與群速度它不再是簡諧波，而是更復(fù)雜的波（能傳遞信號）。它不再是簡諧波，而是更復(fù)雜的波（能傳遞信號）。設(shè)有兩列沿設(shè)有兩列沿X軸正向傳軸正向傳 播的簡諧波：播的簡諧波：)22cos()22cos(221212121xkktxkktA )2cos()2cos(2coscos ，221 令：令：221

2、g，221kkk ，221kkkg )cos(2xktAAggg )cos()cos()cos(2xktAxktxktAyggg 則合成波可寫為：則合成波可寫為： 上式可看成上式可看成是是振幅振幅 以以頻率頻率 緩慢緩慢變化著，而變化著，而各各質(zhì)元以頻率質(zhì)元以頻率 迅速迅速振動振動著的著的波。波。gAg XY頻率比為頻率比為 3:1 兩列簡諧波的合成兩列簡諧波的合成復(fù)波復(fù)波某時刻某時刻kdtdxu 如果忽略兩成分波的相速度的差別，如果忽略兩成分波的相速度的差別， 21kkk 21這一相速度也就等于成分波的相速度。這一相速度也就等于成分波的相速度。；constxktgg kkkkdtdxuggg

3、 21212. 相速度相速度 、群速度、群速度* 群速度是復(fù)波振幅包絡(luò)線對應(yīng)的相的運動速度：群速度是復(fù)波振幅包絡(luò)線對應(yīng)的相的運動速度：振幅包絡(luò)線稱為振幅包絡(luò)線稱為波包或波群波包或波群。* 合成波的相等于常數(shù)合成波的相等于常數(shù) 時，在空間時，在空間移動的速度定義為復(fù)波的相速度：移動的速度定義為復(fù)波的相速度：)(constxkt 攜帶和傳遞信息的是波包的振幅，攜帶和傳遞信息的是波包的振幅，即即群速度是能量的傳播速度群速度是能量的傳播速度。不同的頻率或不同波長的光波具有不同的顏色，不同的頻率或不同波長的光波具有不同的顏色，它們有不同的相速，相應(yīng)有不同的折射律，稱它們有不同的相速，相應(yīng)有不同的折射律，

4、稱為為色散現(xiàn)象色散現(xiàn)象。顯然波的色散是由媒質(zhì)特性決定。顯然波的色散是由媒質(zhì)特性決定。在在 和和 很接近的極限情況下很接近的極限情況下，群速度，群速度1 2 dkdug 代入代入 得：得：uk dkdukuug 0 dkdu0 dkdu3. 色散色散相速相速 u 與波長與波長 無關(guān)的，稱為無關(guān)的，稱為非色散媒非色散媒質(zhì)。質(zhì)。如在媒質(zhì)中傳播的彈性波。如在媒質(zhì)中傳播的彈性波。k 2 反之相速反之相速 u 與波長與波長 有關(guān)為有關(guān)為色散媒質(zhì)。色散媒質(zhì)。k 2 uug uug 相速相速群速群速通常，稱通常，稱 為色散關(guān)系，由它可以求出群速度為色散關(guān)系，由它可以求出群速度)(k 所以，隨著時間的推移，波包

5、將會逐漸所以，隨著時間的推移，波包將會逐漸擴散開去，即波包的寬度將逐漸增大。擴散開去，即波包的寬度將逐漸增大。dkdukuug dduuug guuddu 0 群速小于相速，稱為正常色散；群速小于相速，稱為正常色散；guuddu 0 群速大于相速，稱為反常色散；群速大于相速，稱為反常色散；代入代入 得：得：uk dkdukuug 2 k 或或 二、非線性效應(yīng)對波動的影響二、非線性效應(yīng)對波動的影響* 恢復(fù)力與媒質(zhì)形變成正比，因此波動方程為線性，恢復(fù)力與媒質(zhì)形變成正比，因此波動方程為線性，且遵從疊加原理。同時，且遵從疊加原理。同時，波的傳播速度只與媒質(zhì)的波的傳播速度只與媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)有關(guān)，與振

6、動狀態(tài)無關(guān)與振動狀態(tài)無關(guān)。* 當(dāng)考慮非線性項，當(dāng)考慮非線性項，導(dǎo)致媒質(zhì)中各點的波速與質(zhì)元導(dǎo)致媒質(zhì)中各點的波速與質(zhì)元的位移大小和正負(fù)有關(guān)的位移大小和正負(fù)有關(guān)；波形隨著傳播距離的增大；波形隨著傳播距離的增大而發(fā)生越來越大的畸變。原來的簡諧波可以變成非而發(fā)生越來越大的畸變。原來的簡諧波可以變成非簡諧波，即高頻諧波將積累增強，形成沖擊波。簡諧波，即高頻諧波將積累增強，形成沖擊波。)cos()cos()cos(2xktAxktxktAyggg 如：如：* 非線性波的另一個性質(zhì)是疊加原理不成立。非線性波的另一個性質(zhì)是疊加原理不成立。* 非線性效應(yīng)使媒質(zhì)對低頻波的吸收也增大。非線性效應(yīng)使媒質(zhì)對低頻波的吸收也

7、增大。因為媒質(zhì)對波的吸收通常隨波的頻率增高而增因為媒質(zhì)對波的吸收通常隨波的頻率增高而增大，所以，通過媒質(zhì)后留下的主要是低頻波。大，所以，通過媒質(zhì)后留下的主要是低頻波。通常，稱通常，稱 為色散關(guān)系（為色散關(guān)系（色散效應(yīng)色散效應(yīng)）。）。)(k 非線性動力學(xué)方程導(dǎo)致媒質(zhì)中各點的波速不非線性動力學(xué)方程導(dǎo)致媒質(zhì)中各點的波速不同與質(zhì)元的位移大小和正負(fù)有關(guān)，稱之為媒質(zhì)同與質(zhì)元的位移大小和正負(fù)有關(guān)，稱之為媒質(zhì)對大振幅波對大振幅波非線性效應(yīng)非線性效應(yīng)。 孤子具有定域性、穩(wěn)定性、是完整性的孤波孤子具有定域性、穩(wěn)定性、是完整性的孤波。（所謂（所謂完整性完整性指當(dāng)兩個孤波發(fā)生碰撞后仍然指當(dāng)兩個孤波發(fā)生碰撞后仍然能保持

8、原來的形狀、速度各自傳播能保持原來的形狀、速度各自傳播)。近年來，。近年來，在各種不同的學(xué)科領(lǐng)域中，理論和實驗中都在各種不同的學(xué)科領(lǐng)域中，理論和實驗中都出現(xiàn)了孤子的這種運動形態(tài)，例如流體中的出現(xiàn)了孤子的這種運動形態(tài)，例如流體中的渦旋、超導(dǎo)體中的磁通量子、激光在媒質(zhì)中渦旋、超導(dǎo)體中的磁通量子、激光在媒質(zhì)中的自聚焦以及神經(jīng)系統(tǒng)中信號的傳遞等等。的自聚焦以及神經(jīng)系統(tǒng)中信號的傳遞等等。 是在媒質(zhì)中大振幅波的非線性效是在媒質(zhì)中大振幅波的非線性效應(yīng)以及媒質(zhì)的色散效應(yīng)的共同影響應(yīng)以及媒質(zhì)的色散效應(yīng)的共同影響下，所形成的一種特殊的波。下，所形成的一種特殊的波。即在即在一定的條件下，一定的條件下，色散效應(yīng)與非線

9、性色散效應(yīng)與非線性效應(yīng)所產(chǎn)生的影響相互抵消時，波效應(yīng)所產(chǎn)生的影響相互抵消時，波峰的形狀在傳播過程中保持不變，峰的形狀在傳播過程中保持不變，便形成了孤波。便形成了孤波。孤波孤波孤子孤子三、孤波與孤子三、孤波與孤子6-9 非線性振動非線性振動 混沌混沌一、自激振動一、自激振動1. 定義：定義：用單向力來激勵的振動用單向力來激勵的振動。如：樹梢在狂風(fēng)中呼嘯，提琴奏出悠揚的小夜曲，如：樹梢在狂風(fēng)中呼嘯，提琴奏出悠揚的小夜曲，自來水管的振動，掛鐘發(fā)出的嘀嗒嘀嗒的聲音自來水管的振動，掛鐘發(fā)出的嘀嗒嘀嗒的聲音. 自激振動把單方向運動的能量轉(zhuǎn)化為周期性振自激振動把單方向運動的能量轉(zhuǎn)化為周期性振蕩的能量，這種轉(zhuǎn)

10、化需要靠非線性機制來實現(xiàn)。蕩的能量，這種轉(zhuǎn)化需要靠非線性機制來實現(xiàn)。2. 兩個典型的例子兩個典型的例子(1) 干摩擦引起的自激振動：干摩擦引起的自激振動：不加潤滑油的兩物體相不加潤滑油的兩物體相互摩擦?xí)r發(fā)出的尖叫聲，弦樂器奏出的悅耳琴聲。互摩擦?xí)r發(fā)出的尖叫聲，弦樂器奏出的悅耳琴聲。0v傳送帶傳送帶干摩擦的自激振動實例干摩擦的自激振動實例kmsxt張馳振動曲線張馳振動曲線 傳送帶以恒定的速度前進(jìn)，計在另一端固定的彈傳送帶以恒定的速度前進(jìn)，計在另一端固定的彈簧上的物體受傳送帶摩擦力的作用而向前移動，與簧上的物體受傳送帶摩擦力的作用而向前移動，與此同時，彈簧被拉伸，當(dāng)彈簧的拉力超過最大靜摩此同時，彈

11、簧被拉伸，當(dāng)彈簧的拉力超過最大靜摩擦力時，該物體突然向后滑動，于是彈簧縮短，向擦力時，該物體突然向后滑動，于是彈簧縮短，向后拉物體的力減少，直到傳送帶又將它帶動向前為后拉物體的力減少，直到傳送帶又將它帶動向前為止，如此周而復(fù)始地形成振蕩。止，如此周而復(fù)始地形成振蕩。(2) 由機械控制的自由機械控制的自激振動：激振動：鐘表、蒸鐘表、蒸汽機或內(nèi)燃機的調(diào)汽機或內(nèi)燃機的調(diào)速器速器如：老式鐘表由三如：老式鐘表由三部分組成：部分組成：(1) 振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)擺擺 自激振動和受迫振動不同，它是在非洲凄厲的激自激振動和受迫振動不同，它是在非洲凄厲的激勵下作具有確定振幅和頻率的持續(xù)振蕩，這只有在勵下作具有確定振

12、幅和頻率的持續(xù)振蕩，這只有在非保守的、非線性的系統(tǒng)中才能發(fā)生。非保守的、非線性的系統(tǒng)中才能發(fā)生。自激振動可分為硬激勵和軟激勵兩種自激振動可分為硬激勵和軟激勵兩種表面上看起來，與受迫振動情況類似，鐘擺受到的表面上看起來，與受迫振動情況類似，鐘擺受到的沖擊力也是周期性的。其實，這個周期是由擺本身沖擊力也是周期性的。其實，這個周期是由擺本身決定的，是一種自激振動。決定的，是一種自激振動。(3) 擒縱機構(gòu)擒縱機構(gòu)(2) 恒定能源恒定能源降落的重錘降落的重錘(或發(fā)條或發(fā)條)和與之相連的和與之相連的棘輪棘輪 A二、混沌二、混沌 Chaos物理學(xué)物理學(xué)經(jīng)典物理經(jīng)典物理現(xiàn)代物理現(xiàn)代物理力學(xué)力學(xué)熱學(xué)熱學(xué)電磁學(xué)電

13、磁學(xué)光學(xué)光學(xué)相對論相對論量子論量子論非線性非線性時間時間 t關(guān)關(guān)鍵鍵概概念念的的發(fā)發(fā)展展力學(xué)力學(xué)電磁學(xué)電磁學(xué)熱學(xué)熱學(xué)相對論相對論量子論量子論1600 1700 1800 19001. 人類對自然界的認(rèn)識人類對自然界的認(rèn)識 實際上力學(xué)所給出的完全可逆的和有確定解的世實際上力學(xué)所給出的完全可逆的和有確定解的世界圖像，只是一種極為罕見的世界圖像。界圖像，只是一種極為罕見的世界圖像。 20世紀(jì)初，彭加勒就發(fā)現(xiàn)力學(xué)無法精確處理世紀(jì)初，彭加勒就發(fā)現(xiàn)力學(xué)無法精確處理“三體問題三體問題”。1963年美國氣象學(xué)家發(fā)現(xiàn)，天氣從年美國氣象學(xué)家發(fā)現(xiàn)，天氣從原則上講不可能做出精確的預(yù)報。此后就開始了對原則上講不可能做出

14、精確的預(yù)報。此后就開始了對混沌的研究?；煦绲难芯?。2. 混沌：混沌：通常指錯綜復(fù)雜、雜亂無章的狀態(tài)通常指錯綜復(fù)雜、雜亂無章的狀態(tài) 20世紀(jì)八十年代以來，人們著重研究系統(tǒng)怎樣世紀(jì)八十年代以來，人們著重研究系統(tǒng)怎樣從有序進(jìn)入混沌以及混沌的性質(zhì)和特點，得出了從有序進(jìn)入混沌以及混沌的性質(zhì)和特點，得出了一些有重要意義的結(jié)果。一些有重要意義的結(jié)果。 對由非平衡態(tài)進(jìn)入混沌的道路和機制，研究比對由非平衡態(tài)進(jìn)入混沌的道路和機制，研究比較透徹的有以下三種：較透徹的有以下三種：(1) 倍周期分岔進(jìn)入混沌倍周期分岔進(jìn)入混沌 系統(tǒng)運動變化的周期行為是一種有序狀態(tài)。一個系系統(tǒng)運動變化的周期行為是一種有序狀態(tài)。一個系統(tǒng)，在一定的條件下，經(jīng)過周期加倍會逐步喪失周期統(tǒng)，在一定的條件下，經(jīng)過周期加倍會逐步喪失周期行為而進(jìn)入混沌。行為而進(jìn)入混沌。(2) 陣發(fā)混沌陣發(fā)混沌 系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時，在非平衡非線性的系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時，在非平衡非線性的條件下，某些參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界閾值時，系條件下，某些參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界閾值時，系統(tǒng)會時而有序，時而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)統(tǒng)會時而有序，時而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)參數(shù)繼續(xù)變化，整個系統(tǒng)會由陣發(fā)性混沌發(fā)展為混參