Ch12.8-9(波包和非線性)

1、1. 波包：不同頻率簡諧波的疊加，形成波包波包：不同頻率簡諧波的疊加，形成波包(復(fù)波復(fù)波)。)cos(111xktAy 111111/22uuk )cos(222xktAy 222222/22uuk 兩列波的合成波：兩列波的合成波：21yyy 6-8 波包和非線性波波包和非線性波一、波包與群速度一、波包與群速度它不再是簡諧波，而是更復(fù)雜的波（能傳遞信號）。它不再是簡諧波，而是更復(fù)雜的波（能傳遞信號）。設(shè)有兩列沿設(shè)有兩列沿X軸正向傳軸正向傳 播的簡諧波：播的簡諧波：)22cos()22cos(221212121xkktxkktA )2cos()2cos(2coscos ，221 令：令：221

2、g，221kkk ，221kkkg )cos(2xktAAggg )cos()cos()cos(2xktAxktxktAyggg 則合成波可寫為：則合成波可寫為： 上式可看成上式可看成是是振幅振幅 以以頻率頻率 緩慢緩慢變化著，而變化著，而各各質(zhì)元以頻率質(zhì)元以頻率 迅速迅速振動(dòng)振動(dòng)著的著的波。波。gAg XY頻率比為頻率比為 3:1 兩列簡諧波的合成兩列簡諧波的合成復(fù)波復(fù)波某時(shí)刻某時(shí)刻kdtdxu 如果忽略兩成分波的相速度的差別，如果忽略兩成分波的相速度的差別， 21kkk 21這一相速度也就等于成分波的相速度。這一相速度也就等于成分波的相速度。；constxktgg kkkkdtdxuggg

3、 21212. 相速度相速度 、群速度、群速度* 群速度是復(fù)波振幅包絡(luò)線對應(yīng)的相的運(yùn)動(dòng)速度：群速度是復(fù)波振幅包絡(luò)線對應(yīng)的相的運(yùn)動(dòng)速度：振幅包絡(luò)線稱為振幅包絡(luò)線稱為波包或波群波包或波群。* 合成波的相等于常數(shù)合成波的相等于常數(shù) 時(shí)，在空間時(shí)，在空間移動(dòng)的速度定義為復(fù)波的相速度：移動(dòng)的速度定義為復(fù)波的相速度：)(constxkt 攜帶和傳遞信息的是波包的振幅，攜帶和傳遞信息的是波包的振幅，即即群速度是能量的傳播速度群速度是能量的傳播速度。不同的頻率或不同波長的光波具有不同的顏色，不同的頻率或不同波長的光波具有不同的顏色，它們有不同的相速，相應(yīng)有不同的折射律，稱它們有不同的相速，相應(yīng)有不同的折射律，

4、稱為為色散現(xiàn)象色散現(xiàn)象。顯然波的色散是由媒質(zhì)特性決定。顯然波的色散是由媒質(zhì)特性決定。在在 和和 很接近的極限情況下很接近的極限情況下，群速度，群速度1 2 dkdug 代入代入 得：得：uk dkdukuug 0 dkdu0 dkdu3. 色散色散相速相速 u 與波長與波長 無關(guān)的，稱為無關(guān)的，稱為非色散媒非色散媒質(zhì)。質(zhì)。如在媒質(zhì)中傳播的彈性波。如在媒質(zhì)中傳播的彈性波。k 2 反之相速反之相速 u 與波長與波長 有關(guān)為有關(guān)為色散媒質(zhì)。色散媒質(zhì)。k 2 uug uug 相速相速群速群速通常，稱通常，稱 為色散關(guān)系，由它可以求出群速度為色散關(guān)系，由它可以求出群速度)(k 所以，隨著時(shí)間的推移，波包

5、將會(huì)逐漸所以，隨著時(shí)間的推移，波包將會(huì)逐漸擴(kuò)散開去，即波包的寬度將逐漸增大。擴(kuò)散開去，即波包的寬度將逐漸增大。dkdukuug dduuug guuddu 0 群速小于相速，稱為正常色散；群速小于相速，稱為正常色散；guuddu 0 群速大于相速，稱為反常色散；群速大于相速，稱為反常色散；代入代入 得：得：uk dkdukuug 2 k 或或 二、非線性效應(yīng)對波動(dòng)的影響二、非線性效應(yīng)對波動(dòng)的影響* 恢復(fù)力與媒質(zhì)形變成正比，因此波動(dòng)方程為線性，恢復(fù)力與媒質(zhì)形變成正比，因此波動(dòng)方程為線性，且遵從疊加原理。同時(shí)，且遵從疊加原理。同時(shí)，波的傳播速度只與媒質(zhì)的波的傳播速度只與媒質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)有關(guān)，與振

6、動(dòng)狀態(tài)無關(guān)與振動(dòng)狀態(tài)無關(guān)。* 當(dāng)考慮非線性項(xiàng)，當(dāng)考慮非線性項(xiàng)，導(dǎo)致媒質(zhì)中各點(diǎn)的波速與質(zhì)元導(dǎo)致媒質(zhì)中各點(diǎn)的波速與質(zhì)元的位移大小和正負(fù)有關(guān)的位移大小和正負(fù)有關(guān)；波形隨著傳播距離的增大；波形隨著傳播距離的增大而發(fā)生越來越大的畸變。原來的簡諧波可以變成非而發(fā)生越來越大的畸變。原來的簡諧波可以變成非簡諧波，即高頻諧波將積累增強(qiáng)，形成沖擊波。簡諧波，即高頻諧波將積累增強(qiáng)，形成沖擊波。)cos()cos()cos(2xktAxktxktAyggg 如：如：* 非線性波的另一個(gè)性質(zhì)是疊加原理不成立。非線性波的另一個(gè)性質(zhì)是疊加原理不成立。* 非線性效應(yīng)使媒質(zhì)對低頻波的吸收也增大。非線性效應(yīng)使媒質(zhì)對低頻波的吸收也

7、增大。因?yàn)槊劫|(zhì)對波的吸收通常隨波的頻率增高而增因?yàn)槊劫|(zhì)對波的吸收通常隨波的頻率增高而增大，所以，通過媒質(zhì)后留下的主要是低頻波。大，所以，通過媒質(zhì)后留下的主要是低頻波。通常，稱通常，稱 為色散關(guān)系（為色散關(guān)系（色散效應(yīng)色散效應(yīng)）。）。)(k 非線性動(dòng)力學(xué)方程導(dǎo)致媒質(zhì)中各點(diǎn)的波速不非線性動(dòng)力學(xué)方程導(dǎo)致媒質(zhì)中各點(diǎn)的波速不同與質(zhì)元的位移大小和正負(fù)有關(guān)，稱之為媒質(zhì)同與質(zhì)元的位移大小和正負(fù)有關(guān)，稱之為媒質(zhì)對大振幅波對大振幅波非線性效應(yīng)非線性效應(yīng)。 孤子具有定域性、穩(wěn)定性、是完整性的孤波孤子具有定域性、穩(wěn)定性、是完整性的孤波。（所謂（所謂完整性完整性指當(dāng)兩個(gè)孤波發(fā)生碰撞后仍然指當(dāng)兩個(gè)孤波發(fā)生碰撞后仍然能保持

8、原來的形狀、速度各自傳播能保持原來的形狀、速度各自傳播)。近年來，。近年來，在各種不同的學(xué)科領(lǐng)域中，理論和實(shí)驗(yàn)中都在各種不同的學(xué)科領(lǐng)域中，理論和實(shí)驗(yàn)中都出現(xiàn)了孤子的這種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，例如流體中的出現(xiàn)了孤子的這種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，例如流體中的渦旋、超導(dǎo)體中的磁通量子、激光在媒質(zhì)中渦旋、超導(dǎo)體中的磁通量子、激光在媒質(zhì)中的自聚焦以及神經(jīng)系統(tǒng)中信號的傳遞等等。的自聚焦以及神經(jīng)系統(tǒng)中信號的傳遞等等。 是在媒質(zhì)中大振幅波的非線性效是在媒質(zhì)中大振幅波的非線性效應(yīng)以及媒質(zhì)的色散效應(yīng)的共同影響應(yīng)以及媒質(zhì)的色散效應(yīng)的共同影響下，所形成的一種特殊的波。下，所形成的一種特殊的波。即在即在一定的條件下，一定的條件下，色散效應(yīng)與非線

9、性色散效應(yīng)與非線性效應(yīng)所產(chǎn)生的影響相互抵消時(shí)，波效應(yīng)所產(chǎn)生的影響相互抵消時(shí)，波峰的形狀在傳播過程中保持不變，峰的形狀在傳播過程中保持不變，便形成了孤波。便形成了孤波。孤波孤波孤子孤子三、孤波與孤子三、孤波與孤子6-9 非線性振動(dòng)非線性振動(dòng) 混沌混沌一、自激振動(dòng)一、自激振動(dòng)1. 定義：定義：用單向力來激勵(lì)的振動(dòng)用單向力來激勵(lì)的振動(dòng)。如：樹梢在狂風(fēng)中呼嘯，提琴奏出悠揚(yáng)的小夜曲，如：樹梢在狂風(fēng)中呼嘯，提琴奏出悠揚(yáng)的小夜曲，自來水管的振動(dòng)，掛鐘發(fā)出的嘀嗒嘀嗒的聲音自來水管的振動(dòng)，掛鐘發(fā)出的嘀嗒嘀嗒的聲音. 自激振動(dòng)把單方向運(yùn)動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化為周期性振自激振動(dòng)把單方向運(yùn)動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化為周期性振蕩的能量，這種轉(zhuǎn)

10、化需要靠非線性機(jī)制來實(shí)現(xiàn)。蕩的能量，這種轉(zhuǎn)化需要靠非線性機(jī)制來實(shí)現(xiàn)。2. 兩個(gè)典型的例子兩個(gè)典型的例子(1) 干摩擦引起的自激振動(dòng)：干摩擦引起的自激振動(dòng)：不加潤滑油的兩物體相不加潤滑油的兩物體相互摩擦?xí)r發(fā)出的尖叫聲，弦樂器奏出的悅耳琴聲?；ツΣ?xí)r發(fā)出的尖叫聲，弦樂器奏出的悅耳琴聲。0v傳送帶傳送帶干摩擦的自激振動(dòng)實(shí)例干摩擦的自激振動(dòng)實(shí)例kmsxt張馳振動(dòng)曲線張馳振動(dòng)曲線 傳送帶以恒定的速度前進(jìn)，計(jì)在另一端固定的彈傳送帶以恒定的速度前進(jìn)，計(jì)在另一端固定的彈簧上的物體受傳送帶摩擦力的作用而向前移動(dòng)，與簧上的物體受傳送帶摩擦力的作用而向前移動(dòng)，與此同時(shí)，彈簧被拉伸，當(dāng)彈簧的拉力超過最大靜摩此同時(shí)，彈

11、簧被拉伸，當(dāng)彈簧的拉力超過最大靜摩擦力時(shí)，該物體突然向后滑動(dòng)，于是彈簧縮短，向擦力時(shí)，該物體突然向后滑動(dòng)，于是彈簧縮短，向后拉物體的力減少，直到傳送帶又將它帶動(dòng)向前為后拉物體的力減少，直到傳送帶又將它帶動(dòng)向前為止，如此周而復(fù)始地形成振蕩。止，如此周而復(fù)始地形成振蕩。(2) 由機(jī)械控制的自由機(jī)械控制的自激振動(dòng)：激振動(dòng)：鐘表、蒸鐘表、蒸汽機(jī)或內(nèi)燃機(jī)的調(diào)汽機(jī)或內(nèi)燃機(jī)的調(diào)速器速器如：老式鐘表由三如：老式鐘表由三部分組成：部分組成：(1) 振動(dòng)系統(tǒng)振動(dòng)系統(tǒng)擺擺 自激振動(dòng)和受迫振動(dòng)不同，它是在非洲凄厲的激自激振動(dòng)和受迫振動(dòng)不同，它是在非洲凄厲的激勵(lì)下作具有確定振幅和頻率的持續(xù)振蕩，這只有在勵(lì)下作具有確定振

12、幅和頻率的持續(xù)振蕩，這只有在非保守的、非線性的系統(tǒng)中才能發(fā)生。非保守的、非線性的系統(tǒng)中才能發(fā)生。自激振動(dòng)可分為硬激勵(lì)和軟激勵(lì)兩種自激振動(dòng)可分為硬激勵(lì)和軟激勵(lì)兩種表面上看起來，與受迫振動(dòng)情況類似，鐘擺受到的表面上看起來，與受迫振動(dòng)情況類似，鐘擺受到的沖擊力也是周期性的。其實(shí)，這個(gè)周期是由擺本身沖擊力也是周期性的。其實(shí)，這個(gè)周期是由擺本身決定的，是一種自激振動(dòng)。決定的，是一種自激振動(dòng)。(3) 擒縱機(jī)構(gòu)擒縱機(jī)構(gòu)(2) 恒定能源恒定能源降落的重錘降落的重錘(或發(fā)條或發(fā)條)和與之相連的和與之相連的棘輪棘輪 A二、混沌二、混沌 Chaos物理學(xué)物理學(xué)經(jīng)典物理經(jīng)典物理現(xiàn)代物理現(xiàn)代物理力學(xué)力學(xué)熱學(xué)熱學(xué)電磁學(xué)電

13、磁學(xué)光學(xué)光學(xué)相對論相對論量子論量子論非線性非線性時(shí)間時(shí)間 t關(guān)關(guān)鍵鍵概概念念的的發(fā)發(fā)展展力學(xué)力學(xué)電磁學(xué)電磁學(xué)熱學(xué)熱學(xué)相對論相對論量子論量子論1600 1700 1800 19001. 人類對自然界的認(rèn)識人類對自然界的認(rèn)識 實(shí)際上力學(xué)所給出的完全可逆的和有確定解的世實(shí)際上力學(xué)所給出的完全可逆的和有確定解的世界圖像，只是一種極為罕見的世界圖像。界圖像，只是一種極為罕見的世界圖像。 20世紀(jì)初，彭加勒就發(fā)現(xiàn)力學(xué)無法精確處理世紀(jì)初，彭加勒就發(fā)現(xiàn)力學(xué)無法精確處理“三體問題三體問題”。1963年美國氣象學(xué)家發(fā)現(xiàn)，天氣從年美國氣象學(xué)家發(fā)現(xiàn)，天氣從原則上講不可能做出精確的預(yù)報(bào)。此后就開始了對原則上講不可能做出

14、精確的預(yù)報(bào)。此后就開始了對混沌的研究?；煦绲难芯?。2. 混沌：混沌：通常指錯(cuò)綜復(fù)雜、雜亂無章的狀態(tài)通常指錯(cuò)綜復(fù)雜、雜亂無章的狀態(tài) 20世紀(jì)八十年代以來，人們著重研究系統(tǒng)怎樣世紀(jì)八十年代以來，人們著重研究系統(tǒng)怎樣從有序進(jìn)入混沌以及混沌的性質(zhì)和特點(diǎn)，得出了從有序進(jìn)入混沌以及混沌的性質(zhì)和特點(diǎn)，得出了一些有重要意義的結(jié)果。一些有重要意義的結(jié)果。 對由非平衡態(tài)進(jìn)入混沌的道路和機(jī)制，研究比對由非平衡態(tài)進(jìn)入混沌的道路和機(jī)制，研究比較透徹的有以下三種：較透徹的有以下三種：(1) 倍周期分岔進(jìn)入混沌倍周期分岔進(jìn)入混沌 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變化的周期行為是一種有序狀態(tài)。一個(gè)系系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)變化的周期行為是一種有序狀態(tài)。一個(gè)系統(tǒng)，在一定的條件下，經(jīng)過周期加倍會(huì)逐步喪失周期統(tǒng)，在一定的條件下，經(jīng)過周期加倍會(huì)逐步喪失周期行為而進(jìn)入混沌。行為而進(jìn)入混沌。(2) 陣發(fā)混沌陣發(fā)混沌 系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時(shí)，在非平衡非線性的系統(tǒng)從有序向混沌轉(zhuǎn)化時(shí)，在非平衡非線性的條件下，某些參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界閾值時(shí)，系條件下，某些參數(shù)的變化達(dá)到某一臨界閾值時(shí)，系統(tǒng)會(huì)時(shí)而有序，時(shí)而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)統(tǒng)會(huì)時(shí)而有序，時(shí)而混沌，在兩者之間振蕩。有關(guān)參數(shù)繼續(xù)變化，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)由陣發(fā)性混沌發(fā)展為混參