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文檔簡介

1、不等式的證明（二）綜合法不等式證明（1） ab bb , bc = ac ab a+cb+c a+bc ac-b ab , cd = a+cb+d ab , c0 = acbc ab , c acb0 , cd0 = acbd ab0 =an bn (nN , n1） 對稱性 傳遞性 可加性 移項法則 加法法則 可乘性 乘法法則 乘方法則 開方法則 倒數(shù)不等式倒數(shù)法則： 若ab 0 , 則 a b a b a x b 簡記： 1/a 1/b 1/b 1/x 0 , 則 a b b x a 若 a , b b b x 0 , b 0, 則 b x b2 b2 x2 a2 a2 b2 a2 x2

2、b2 min(a2,b2)x2 b , c=d =acn bdn (nN) （ ） a/c b/c = ac bc （ ） ab0 , cd acbd （ ） ab , ab 1/a1/b （ ） a+cab , cd （ ） （ ）(2) 若a1 (B) a2 1 (C) a 31 (D) |a |d =a+c_b+d2. ab,cd =a+c_b+d3. a2_04. a2+b2_2ab6.b/a+a/b_2 (a,bR+) ),(_2. 5Rbaabba(當且僅當a=0時等號成立)(當且僅當a=b時等號成立)(當且僅當a=b時等號成立)(當且僅當a=b時等號成立)(當且僅當a=b且c=d

3、時等號成立)常用的定理和推論：定理1.如果a,bR ,那么 a2+b22ab(當且僅當 a=b 時等號成立)abbaRba2,:那么如果推論(當且僅當 a=b 時等號成立)nnnnaaanaaaNnnRaaa., 1,. ,:212121則若結論即 n 個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它的幾何平均數(shù).結論: b/a+a/b2 (a,bR+) (當且僅當 a=b 時等號成立)例1.設a ,b ,c是不全相等的實數(shù).求證:a2+b2+c2ab+bc+ca 證明: a2+b22ab b2 +c22bc a2+c22ac 又a,b,c是不全相等的實數(shù) 上面三式中總有一個不能取等號 三式相加得 2(a2+b2+c2 )2ab+2bc+2ca 即: a2+b2+c2ab+bc+ca 另證: a2+b2+c2-ab-bc-ca=1/2(a2+b2-2ab)+( b2 +c2-2bc)+( a2+c2-2ac) 又a,b,c是不全相等的實數(shù) (a-c)2 +(b-c)2 +(c-a)20 a2+b2+c2ab+bc+ca6:,:2bacacbcbaRcba求證設例222bccbaccabaab證明6bccbaccabaab6bacacbcba例3.設a,b,c是不全相等的正實數(shù).求證

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