高等數(shù)學(xué)第二章-極限與連續(xù)課件

1、1第二章第二章 極限與連續(xù)極限與連續(xù) 2.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限 2.2 函數(shù)的極限函數(shù)的極限 2.3 變量的極限變量的極限 2.4 無(wú)窮大量與無(wú)窮小量無(wú)窮大量與無(wú)窮小量 2.5 極限的運(yùn)算法則極限的運(yùn)算法則 2.6 兩個(gè)重要的極限兩個(gè)重要的極限 2.7 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限 2.8 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 2 第二章 2.1 數(shù)列的極限定義定義：由無(wú)窮多個(gè)數(shù)，構(gòu)成的有序的一列數(shù)：由無(wú)窮多個(gè)數(shù)，構(gòu)成的有序的一列數(shù)： 123,na a aa稱(chēng)為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列，稱(chēng)為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列， 簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 na數(shù)列中的各個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)，數(shù)列中的各個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)

2、， na稱(chēng)為通項(xiàng)。稱(chēng)為通項(xiàng)。 數(shù)列數(shù)列 na可以看成以正整數(shù)可以看成以正整數(shù) n為自變量的函數(shù)。為自變量的函數(shù)。 ( (一一) )數(shù)列數(shù)列3例例1 11111, , , , , , ;248162n例例2 1325 40, , , , , 1+, ;234 5nn例例3 1, 1, 1, ,1, 1, ;這種數(shù)列稱(chēng)為常數(shù)數(shù)列。這種數(shù)列稱(chēng)為常數(shù)數(shù)列。 例例4 1, 1, 1, ,1 , ;n例例5 2, 4, 6, , 2 , n41.1.數(shù)列極限的定性描述數(shù)列極限的定性描述r引例引例1.設(shè)有半徑為設(shè)有半徑為 r 的圓的圓 ,nA逼近圓面積逼近圓面積 S .n如圖所示如圖所示 , 可知可知nAn

3、nnrcossin2),5,4,3(n當(dāng)當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), nA無(wú)限逼近無(wú)限逼近 S (劉徽割圓術(shù)劉徽割圓術(shù)) , 用其內(nèi)接正用其內(nèi)接正 n 邊形的面積邊形的面積r( (二二) ) 數(shù)列極限數(shù)列極限5“ 割之彌細(xì)割之彌細(xì) , 所失彌小，割之又割所失彌小，割之又割 , 以至于不可以至于不可割割 , 則與圓合體而無(wú)所失矣則與圓合體而無(wú)所失矣 ”它包含了它包含了“用已知逼近未知用已知逼近未知 , 用近似逼近精確用近似逼近精確”的重要極限思想的重要極限思想我國(guó)古代魏末晉初杰出數(shù)學(xué)家劉徽指出：我國(guó)古代魏末晉初杰出數(shù)學(xué)家劉徽指出：6引例引例 例例1中的數(shù)列來(lái)源于我國(guó)一篇古典名著中的數(shù)列來(lái)源于我

4、國(guó)一篇古典名著.公元公元前四世紀(jì)，我國(guó)春秋時(shí)期的哲學(xué)家莊子（約公元前前四世紀(jì)，我國(guó)春秋時(shí)期的哲學(xué)家莊子（約公元前369前前286）在）在莊子莊子天下篇天下篇一書(shū)中有一段一書(shū)中有一段富有哲理的名句：富有哲理的名句：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭竭”.我們把逐日取下的棰的長(zhǎng)度順次列出來(lái)我們把逐日取下的棰的長(zhǎng)度順次列出來(lái). 便得到數(shù)列便得到數(shù)列 12n當(dāng)當(dāng) n 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 12n無(wú)限逼近無(wú)限逼近0 7定義定義設(shè)設(shè) naa數(shù)列數(shù)列,實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)。 如果如果n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，na無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)a則稱(chēng)數(shù)列則稱(chēng)數(shù)列 na以以a為極限，記作為極限，記作

5、 limnnaa或或 ()naan 此時(shí)，稱(chēng)數(shù)列此時(shí)，稱(chēng)數(shù)列 na收斂收斂. . 否則（即否則（即n 時(shí)，時(shí)，na不以任何常數(shù)為極限）不以任何常數(shù)為極限）, ,稱(chēng)數(shù)列稱(chēng)數(shù)列 na發(fā)散。發(fā)散。 8說(shuō)明說(shuō)明：(1). 引例引例1中，圓的面積中，圓的面積 limnnSA(2). 引例引例2中，剩余棒頭的長(zhǎng)度中，剩余棒頭的長(zhǎng)度 10, ()2nn 9觀察上例中，數(shù)列的極限：觀察上例中，數(shù)列的極限： 例例2中中,1lim1+1 ;nnn例例3中中,lim11 ;n例例4中中,lim1nn不存在；不存在；n 時(shí)時(shí),數(shù)列數(shù)列1n沒(méi)有固定變化趨勢(shì)，發(fā)散。沒(méi)有固定變化趨勢(shì)，發(fā)散。當(dāng)當(dāng)例例5 5中，中，lim2

6、nn不存在。當(dāng)不存在。當(dāng)n 時(shí)時(shí), ,數(shù)列數(shù)列2n的變化趨勢(shì)為無(wú)限增大，發(fā)散。記的變化趨勢(shì)為無(wú)限增大，發(fā)散。記lim2nn 102 2、數(shù)列極限的定量描述、數(shù)列極限的定量描述逐次加入定量成分，把極限定性描述轉(zhuǎn)為定量描述。逐次加入定量成分，把極限定性描述轉(zhuǎn)為定量描述。 (1) 如果如果n無(wú)限增大時(shí)，無(wú)限增大時(shí)，na無(wú)限趨近于常數(shù)無(wú)限趨近于常數(shù)a則稱(chēng)數(shù)列則稱(chēng)數(shù)列 na以以a為極限為極限. (2) 當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，naa任意小，則稱(chēng)數(shù)列任意小，則稱(chēng)數(shù)列 na以以a為極限為極限. (3) 0, ,當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)，充分大時(shí)，naa則稱(chēng)數(shù)列則稱(chēng)數(shù)列 na以以a為極限為極限. . (4) 0,N正

7、整數(shù)當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 總有總有 naa則稱(chēng)數(shù)列則稱(chēng)數(shù)列 na以以a為極限為極限.11定義定義: 若數(shù)列若數(shù)列nx及常數(shù)及常數(shù) a 有下列關(guān)系有下列關(guān)系 :,0,N正整數(shù)當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 總有總有記作記作此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列此時(shí)也稱(chēng)數(shù)列收斂收斂 , 否則稱(chēng)數(shù)列否則稱(chēng)數(shù)列發(fā)散發(fā)散 .幾何解釋幾何解釋(動(dòng)態(tài)地看定義動(dòng)態(tài)地看定義) :axan)(Nn 即即),(axn)(Nn axnnlim或或)(naxnaxn則稱(chēng)該數(shù)列則稱(chēng)該數(shù)列nx的極限為的極限為 a ,aaa)(1Nx2Nx,(),aaa的鄰域不論多么小,N總 正數(shù)當(dāng)當(dāng) n N 時(shí)時(shí), 所有的點(diǎn)所有的點(diǎn)nx都落在都落在(,)aa內(nèi)。內(nèi)。只有有限

8、個(gè)點(diǎn)只有有限個(gè)點(diǎn)nx(,)aaa落在落在的的鄰域鄰域之外。之外。12幾點(diǎn)注意幾點(diǎn)注意 1314例例6. 已知已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx的極限為的極限為1. 證證: ,0因此因此 , 取取1 1,N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 就有就有1nx故故1) 1(limlimnnxnnnn由定義來(lái)證，由定義來(lái)證，,N想要找到一自然數(shù)當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 就有就有1nx,N希望找到當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有1)1(nnn,N只要找到當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有1n,N希望找到當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有1n對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)的轉(zhuǎn)化價(jià)的轉(zhuǎn)化15例例6. 已知,) 1(nnxnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx的極限為的極

9、限為1. 證證2: 1nx1) 1(nnn1,n,0欲使欲使只要只要1n因此因此 , 取取, 1N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 就有就有1) 1(nnn故故1) 1(limlimnnxnnnn1 1,N取也可16“N”定義證明定義證明 的步驟，的步驟， limnnaa分三步：分三步： 第一步，給定任意正數(shù)第一步，給定任意正數(shù)；第二步，由第二步，由 naa尋找正整數(shù)尋找正整數(shù)N ，這是關(guān)鍵的一步；，這是關(guān)鍵的一步； 第三步，按照定義的模式寫(xiě)出結(jié)論第三步，按照定義的模式寫(xiě)出結(jié)論.17例例7. 已知已知,) 1() 1(2nxnn證明證明.0limnnx證證:0nx0) 1() 1(2nn2) 1(1n11

10、n0,欲使欲使只要只要n取取11 1,N則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 就有就有,0nx11.故故0) 1() 1(limlim2nxnnnn,0111nnnx故也可取故也可取1 1N也可由也可由2) 1(10nnxN 與與 有關(guān)有關(guān), 但不唯一但不唯一.不一定取最小的不一定取最小的 N .說(shuō)明說(shuō)明: 取取111N放大！放大！18例例8. 設(shè)設(shè),1q證明等比數(shù)列證明等比數(shù)列,112nqqq證證:0nx01nq0,欲使欲使只要只要,1nq即即,lnln) 1(qn亦即亦即因此因此 , 取取ln11lnNq則當(dāng)則當(dāng) n N 時(shí)時(shí),就有就有01nq故故0lim1nnq.lnln1qn的極限為的極限為 0 .

11、1nq為什么限制，為什么限制，可以限制嗎？可以限制嗎？, ) 1 ,0(19(三三) 收斂數(shù)列的性質(zhì)收斂數(shù)列的性質(zhì)(補(bǔ)充內(nèi)容補(bǔ)充內(nèi)容)證明思想證明思想: 用反證法用反證法.1. 收斂數(shù)列的極限唯一收斂數(shù)列的極限唯一.axnnlim及及,limbxnn且且. ba 假設(shè)假設(shè)()1N1,x2,x3,x4,x 5,x,11,Nx12,Nx,nx,a2ba()b2N21,Nx22,Nxnxnx2ab2ab選選,使使a的的鄰域與鄰域與b的的鄰域不相交鄰域不相交,當(dāng)當(dāng)n max(N1, N2)時(shí)時(shí),xn同同時(shí)在這兩鄰域內(nèi)時(shí)在這兩鄰域內(nèi),矛盾矛盾2023baab22abnabax證證: 用反證法用反證法.a

12、xnnlim及及,limbxnn且且. ba 取取,2ab因因,limaxnn故存在故存在 N1 , ,2abnax從而從而2banx同理同理, 因因,limbxnn故存在故存在 N2 , 使當(dāng)使當(dāng) n N2 時(shí)時(shí), 有有2banx使當(dāng)使當(dāng) n N1 時(shí)時(shí), 2ba2ab2ab假設(shè)假設(shè)22abnabbxnbax223ab,2abnbx從而從而2banx矛盾矛盾.因此收斂數(shù)列的極限必唯一因此收斂數(shù)列的極限必唯一.則當(dāng)則當(dāng) n N 時(shí)時(shí), ,max21NNN 取故假設(shè)不真故假設(shè)不真 !nx滿(mǎn)足的不等式滿(mǎn)足的不等式21例例4. 證明數(shù)列證明數(shù)列),2, 1() 1(1nxnn是發(fā)散的是發(fā)散的. 證證

13、: 用反證法用反證法.假設(shè)數(shù)列假設(shè)數(shù)列nx收斂收斂 , 則有唯一極限則有唯一極限 a 存在存在 .取取,21則存在則存在 N ,2121axan但因但因nx交替取值交替取值 1 與與1 , ),(2121aa內(nèi)內(nèi),而此二數(shù)不可能同時(shí)落在而此二數(shù)不可能同時(shí)落在21a21aa長(zhǎng)度為 1 的開(kāi)區(qū)間 使當(dāng)使當(dāng) n N 時(shí)時(shí) , 有有因此該數(shù)列發(fā)散因此該數(shù)列發(fā)散 .222. 收斂數(shù)列一定有界收斂數(shù)列一定有界.lim,0,:nnxaMn N 有nxM即如果1x2xnx3x4x 5xaoMM直觀直觀nxoMM1x2x3x4x 5xa證明思想證明思想(1a )1a 鄰域內(nèi)有幾鄰域內(nèi)有幾乎所有的乎所有的xn鄰域

14、內(nèi)外只鄰域內(nèi)外只有有限個(gè)有有限個(gè)xn說(shuō)明說(shuō)明: 此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立 .23證證: lim,nnxa取取,1,N則則當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 從而有從而有nxmax1,1 ,aa取取 12max, NMxxx1,1aa則有則有. ),2,1(nMxn由此證明收斂數(shù)列必有界由此證明收斂數(shù)列必有界., 1axn有有l(wèi)im,0,:nnxaMn N 有nxM說(shuō)明說(shuō)明: 此性質(zhì)反過(guò)來(lái)不一定成立 . 例如,1)1(n雖有界但不收斂 .數(shù)列11,naxa 243. 收斂數(shù)列的保號(hào)性收斂數(shù)列的保號(hào)性.若若lim,nnxa且且0a,NN則Nn 當(dāng)時(shí)時(shí), 有有0nx, )0(. )0(直觀直觀:N1,x2,xnx3,x

15、4,x 5,xao1x2x3x4x5x,1,Nx2,Nx,nx,0 a 為例25(2a)32a證明思想證明思想:N1,x2,xnx3,x4,x 5,xao1x2x3x4x5x,1,Nx2,Nx,nx,0 a 為例若若lim,nnxa 且且0a,N N則Nn 當(dāng)時(shí)時(shí), 有有0nx證證: 對(duì)對(duì) a 0 , 取取,2a,NN則,時(shí)當(dāng)Nn axn2anx02aa問(wèn)問(wèn): ab時(shí)時(shí),會(huì)有什么結(jié)論會(huì)有什么結(jié)論?26推論推論2:若數(shù)列從某項(xiàng)起若數(shù)列從某項(xiàng)起0nx,limaxnn且0a則)0(. )0(推論推論1:若若,limaxnn且且ab,NN則Nn 當(dāng)時(shí)時(shí), 有有nxb(),b().b27 第二章 2.2

16、 函數(shù)的極限函數(shù)極限問(wèn)題是研究當(dāng)自變量函數(shù)極限問(wèn)題是研究當(dāng)自變量x趨向于趨向于0 x)x(f的變化趨勢(shì)的變化趨勢(shì)或趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù)或趨向于無(wú)窮大時(shí)，函數(shù), )(xfy 對(duì)自變量變化自變量變化過(guò)程有六種形式過(guò)程有六種形式: 趨向于一點(diǎn)趨向于一點(diǎn)xO x x0 x0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6( 趨向于無(wú)窮趨向于無(wú)窮xO x x28(一一) 自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限0 xx 時(shí)函數(shù)極限的定義時(shí)函數(shù)極限的定義仿數(shù)列極限定義仿數(shù)列極限定義0(不論多么小不論多么小)，( )f xA,有：有：描述描述( )f xA任意地接近任意地接近表示表

17、示x0 x接近接近00, 0 xxx適合:時(shí),的過(guò)程的過(guò)程x 0 x 0 x 0 xx.0程度程度接近接近體現(xiàn)體現(xiàn)xx 29定義定義 . 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)當(dāng)00 xx時(shí)時(shí), 有有 Axf)(則稱(chēng)常數(shù)則稱(chēng)常數(shù) A 為函數(shù)為函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)的極限時(shí)的極限,Axfxx)(lim0或或)()(0 xxAxf當(dāng)若若記作記作0 x0 xA0 xxy)(xfy Ax( )f xA30注意注意 31例例9. 證明證明)(lim0為常數(shù)CCCxx證證:Axf)(CC 0故故,0對(duì)任意的對(duì)任意的,0當(dāng)當(dāng)00 xx時(shí)時(shí) , 0CC因此

18、因此CCxx0lim總有總有32例例10. 證明證明1)12(lim1xx證證:( )f xA1) 12(x12x欲使欲使,0取取,2則當(dāng)則當(dāng)10 x時(shí)時(shí) , 必有必有1) 12()(xAxf因此因此,)( Axf只要只要,21x1)12(lim1xx33例例11. 證明證明211lim21xxx證證:Axf)(2112xx21 x故故,0取取,當(dāng)當(dāng)10 x時(shí)時(shí) , 必有必有2112xx因此因此211lim21xxx1 x欲使欲使,)( Axf34例例12. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)00 x證證:Axf)(0 xx 001xxx欲使欲使,0且且. 0 x而而0 x可用可用0 xx因此因此,)( Axf

19、只要只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時(shí)時(shí)00 xxxx故取故取,min00 xx則當(dāng)則當(dāng)00 xx時(shí)時(shí),00 xxx保證保證 .必有必有ox0 xx放大放大只要只要“大的大的”則則“小的小的”必必 0 ,),(0時(shí)使當(dāng)xx. 0)(xf) 0)(xf則存在則存在( A 0 時(shí)時(shí), 取正數(shù)取正數(shù),A則在對(duì)應(yīng)的鄰域則在對(duì)應(yīng)的鄰域上上. 0)(xf( 0 ,),(0時(shí)使當(dāng)xx. 0)(xf則存在則存在),(0 x),(0 xx),(0 x0 x0 xAAAx0 xy)(xfy )0(以以A 0為例為例51定理定理3 . 若在若在0 x的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)

20、0)(xf, 且且 ,)(lim0Axfxx則則. 0A)0(A證證: 用反證法用反證法.則由定理則由定理 2,0 x的某去心鄰域的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi)使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知與已知所以假設(shè)不真所以假設(shè)不真, .0A(同樣可證同樣可證0)(xf的情形的情形)存在存在假設(shè)假設(shè) A 0 ,000 xx當(dāng)時(shí),總有總有則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù))(xf當(dāng)當(dāng)0 xx 時(shí)為無(wú)窮大時(shí)為無(wú)窮大,.)(lim0 xfxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正數(shù)正數(shù) X ) ,記作記作總存在總存在( )f xx0 xxyM yM57又如又如 0lim( )xxf x 0( lim( )xxf x ( )f x

21、x0 xxyM( )f xx0 xxyM 0lim( )xxf x 0lim( )xxf x 鉛直漸近線(xiàn)。鉛直漸近線(xiàn)。 58比如，比如， 11lim1xx lim 2xx 11xy漸近線(xiàn)1xyo直線(xiàn)1x 為曲線(xiàn)11yx的鉛直漸近線(xiàn) .1. 無(wú)窮大是變量無(wú)窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆不能與很大的數(shù)混淆;注注 59(二二) 無(wú)窮小無(wú)窮小定義定義 . 若若0 xx 時(shí)時(shí) , 函數(shù)函數(shù),0)(xf則稱(chēng)函數(shù)則稱(chēng)函數(shù))(xf0 xx )x(或?yàn)闉闀r(shí)的時(shí)的無(wú)窮小無(wú)窮小 .)x(或極限為零的變量極限為零的變量, ,稱(chēng)為稱(chēng)為無(wú)窮小無(wú)窮小. .1、無(wú)窮小量的概念、無(wú)窮小量的概念 60當(dāng)當(dāng)例如例如 : :,0)1

22、(lim1xx函數(shù)函數(shù) 1x當(dāng)當(dāng)1x時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小; ;,01limxx函數(shù)函數(shù) x1x時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小; ;,011limxx函數(shù)函數(shù) x11當(dāng)當(dāng)x時(shí)為無(wú)窮小時(shí)為無(wú)窮小. .( 1)lim0,nnn( 1).nnn 數(shù)列是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小說(shuō)明說(shuō)明: : 2.2.零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)零是可以作為無(wú)窮小的唯一的數(shù)! ! 1.1.無(wú)窮小是變量無(wú)窮小是變量, ,不能與很小的數(shù)混淆不能與很小的數(shù)混淆; ;61其中其中 (x) 為為0 xx 時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量 . 定理定理 . ( 無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系無(wú)窮小與函數(shù)極限的關(guān)系 )Axfxx)(lim0 Axf)( ) ,x意義意義

23、1.1.將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題將一般極限問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊極限問(wèn)題 ( (無(wú)窮小無(wú)窮小););02. ( ) ( ), ( ).f xxf xAx給出了函數(shù)在 附近的近似表達(dá)式誤差為0 xx為例62證證: :Axfxx)(lim0,0,0當(dāng)當(dāng)00 xx時(shí)時(shí), ,有有 Axf)(Axf)(0lim0 xx對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類(lèi)似可證對(duì)自變量的其它變化過(guò)程類(lèi)似可證 .其中其中 為為0 xx 時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量 . 定理定理 1Axfxx)(lim0 Axf)( ) ,x632 2、無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和還是無(wú)窮

24、小 .由此可證由此可證: 有限個(gè)有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小 . 以三個(gè)無(wú)窮小的和為例！以三個(gè)無(wú)窮小的和為例！設(shè)設(shè),0lim0 xx,0lim0 xx0lim0,xx0limxx0lim xx0無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小無(wú)窮小只需只需證明，兩個(gè)無(wú)窮小的和證明，兩個(gè)無(wú)窮小的和 ，仍為無(wú)窮小。，仍為無(wú)窮小。分析：分析：64時(shí)時(shí), 有有,min21證證:0 lim0 ,xx,0lim0 xx,0,01當(dāng)當(dāng)100 xx時(shí)時(shí) , 有有2, 02當(dāng)當(dāng)200 xx時(shí)時(shí) , 有有2取取則當(dāng)則當(dāng)00 xx22因此因此.0)(lim0 xx000lim0, lim0 lim0.xxxxxx來(lái)證來(lái)證65說(shuō)

25、明說(shuō)明: 無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小 !例如，例如，1,nn 當(dāng)時(shí)是無(wú)窮小，1 1 .nn但 個(gè)之和為不是無(wú)窮小性質(zhì)性質(zhì)2 . 有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 . 即即001lim ( )0, (,),( )xxxxxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx66證證:0 lim( )0,xxx,02 0, 當(dāng)當(dāng)),(20 xx時(shí)時(shí), 有有( )Mx取取,min21則當(dāng)則當(dāng)),(0 xx時(shí)時(shí) , 就有就有( ) ( )u xxuMM故故0lim ( ) ( )0 xxu xx001lim( )0, (,),( )xxx

26、xxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx67推論推論 2 . 常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .推論推論 2 . 有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小 .001lim( )0, (,),( )xxxxxu xM 且0 lim ( ) ( )0,xxu xx推論推論 1. 有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.xxxxx1arctan,1sin,0,2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小68oyx例例14. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用利用性質(zhì)性質(zhì) 2 可知可知.0sinlim

27、xxxxxysin說(shuō)明說(shuō)明 : y = 0 是是xxysin的漸近線(xiàn)的漸近線(xiàn) .0sinlim1xxx注意，有重要公式：注意，有重要公式：函數(shù)極限與自函數(shù)極限與自變量的變化過(guò)變量的變化過(guò)程有關(guān)。程有關(guān)。69(三三)無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系 若)(xf為無(wú)窮大,)(1xf為無(wú)窮小 ;若)(xf為無(wú)窮小, 且,0)(xf則)(1xf為無(wú)窮大.則據(jù)此定理 , 關(guān)于無(wú)窮大的問(wèn)題都可轉(zhuǎn)化為 無(wú)窮小來(lái)討論.性質(zhì)性質(zhì)3. 說(shuō)明說(shuō)明:70( (四四) ) 無(wú)窮小量階的比較無(wú)窮小量階的比較 ,0時(shí)xxxxsin,32都是無(wú)窮小都是無(wú)窮小,引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,

28、xxx3sinlim0,31但但 可見(jiàn)無(wú)窮小趨于可見(jiàn)無(wú)窮小趨于 0 的速度是多樣的的速度是多樣的 . 觀察各極限觀察各極限2 3 ;xx比要快得多sin 3 ;xx與大致相同2sin ;xx比要慢得多71定義定義.,0lim若若則稱(chēng)則稱(chēng) 是比是比 高階高階的無(wú)窮小的無(wú)窮小,)(o,lim若若若若, 1lim若若,0limC或或,設(shè)設(shè)是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小是自變量同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小,記作記作則稱(chēng)則稱(chēng) 是比是比 低階低階的無(wú)窮小的無(wú)窮小;則稱(chēng)則稱(chēng) 是是 的的同階同階無(wú)窮小無(wú)窮小;則稱(chēng)則稱(chēng) 是是 的的等價(jià)等價(jià)無(wú)窮小無(wú)窮小, 記作記作例如例如 , 當(dāng)當(dāng))(o0 x時(shí)時(shí)3x26xxsin;x

29、72例例15. 證明證明: 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí),11nxxn1證證: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21nnx11,0時(shí)當(dāng) x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb73 第二章 2.5 極限的運(yùn)算法則,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因因,)(lim,)(limBxgAxf則有則有BxgAxf)(,)(其中其中,為無(wú)窮小為無(wú)窮小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由性質(zhì)由性質(zhì) 1 可知可知也是無(wú)窮小也是無(wú)窮小, 再利用極限與無(wú)窮小再利用極限與無(wú)窮小BA的關(guān)系定理的關(guān)

30、系定理 , 知定理結(jié)論成立知定理結(jié)論成立 .定理定理. 若若74說(shuō)明說(shuō)明: 此定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形此定理可推廣到有限個(gè)函數(shù)相加、減的情形 .定理定理 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證明略證明略 .說(shuō)明說(shuō)明: 此定理此定理 可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形可推廣到有限個(gè)函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù)為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )BA75例例16. 設(shè)設(shè) n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式,)(10nnnxaxaaxP試證

31、試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:0lim( )nxxP x0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPn001limnnxxaa xa x76定理定理. 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 則有則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證明略證明略BA例例17. 設(shè)有分式函數(shù)設(shè)有分式函數(shù),)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ,0)(0 xQ試證試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說(shuō)明說(shuō)明

32、: 若若,0)(0 xQ不能直接用商的運(yùn)算法則不能直接用商的運(yùn)算法則 . 若若77 x = 3 時(shí)分母為時(shí)分母為 0 !31lim3xxx例例18.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231練習(xí)求練習(xí)求 211lim2xxx78例例19 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 時(shí)時(shí)3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因79例例20 . 求求.125934lim22xxxxx解解: x時(shí)時(shí),分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2

33、x則則54分母分母“ 抓大頭抓大頭”原式原式80一般有如下結(jié)果：一般有如下結(jié)果：為非負(fù)常數(shù)為非負(fù)常數(shù) )nmba,0(00mn 當(dāng)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當(dāng)mn 當(dāng)81例例21求求 lim2xxx解解 lim2xxx22lim2xxxxxxx2lim2xxx0注意兩個(gè)同號(hào)的無(wú)窮大量之和是無(wú)窮大量，注意兩個(gè)同號(hào)的無(wú)窮大量之和是無(wú)窮大量，兩個(gè)異號(hào)的無(wú)窮大量之和是兩個(gè)異號(hào)的無(wú)窮大量之和是“”型不定式型不定式.本例求極限的方法稱(chēng)為有理化法本例求極限的方法稱(chēng)為有理化法.82 第二章 2.6 兩個(gè)重要的極限(一一) 極限存在準(zhǔn)則極限存在準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則

34、; 單調(diào)有界準(zhǔn)則單調(diào)有界準(zhǔn)則; 柯西審斂準(zhǔn)則柯西審斂準(zhǔn)則(略略) .v1. 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則準(zhǔn)則1-數(shù)列數(shù)列)azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlimnzanynx直觀直觀:83azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim,0,N當(dāng)當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有 naxa即,axn想想證證nzanynx證明直觀證明直觀:()nznynxnN2時(shí)時(shí)nN1時(shí)時(shí)nmax(N1,N2)時(shí)時(shí)84azynnnnlimlim)2(),2, 1() 1 (nzxynnnaxnnlim證證: 由條件由條件 (2) ,0,1N當(dāng)當(dāng)1

35、Nn 時(shí)時(shí),ayn當(dāng)當(dāng)2Nn 時(shí)時(shí),azn取取,max21NNN 則當(dāng)則當(dāng)Nn 時(shí)時(shí), 有有,ayan,azan由條件由條件 (1)nnnzxya a即即,axn故故 .limaxnn,2N85v 夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則 (準(zhǔn)則準(zhǔn)則1-變量變量)(2) limlimyza(1)()yxz在某個(gè)變化過(guò)程中l(wèi)imxazayx直觀直觀:0limsin0 xx例例1. 證明證明證明：證明：0,2x當(dāng)時(shí)0sin,xx00limlim00 xxx而 0limsin0 xx860limcos1xx例例2. 證明證明證明：證明：0,2x當(dāng)時(shí)222101cos2sin2,222xxxx 2001limlim002xx

36、x而 0lim(1cos )0 xx0 limcos1xx87例例3. 證明證明11211lim222nnnnnn證證: 利用夾逼準(zhǔn)則利用夾逼準(zhǔn)則 .nnnnn2221211nnn2222nn且且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由由882. 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限 ( 準(zhǔn)則準(zhǔn)則2 ) Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xx( 證明略證明略 )ab89例例. 設(shè)設(shè), ),2, 1()1 (1nxnnn證明數(shù)列證明數(shù)列nx極限

37、存在極限存在 . 證證: 利用二項(xiàng)式公式利用二項(xiàng)式公式 , 有有nnnx)1 (11nn 1! 121!2) 1(nnn31!3)2)(1(nnnnnnnnnnn1!) 1() 1(11) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n9011nx) 1(1!1nn) 1(2n) 1(1nn)1(1!21n)1(1!31n)1(2n111nx)1(11!21n)1)(1(1211!31nn)1()1)(1(11211! ) 1(1nnnnn大大 大大 正正),2, 1(1nxxnn11)1 (1nnnx!21!31!1n又又比較可知比較可知91根據(jù)準(zhǔn)則根據(jù)準(zhǔn)

38、則 2 可知數(shù)列可知數(shù)列nx記此極限為記此極限為 e ,ennn)1 (lim1 e 為無(wú)理數(shù)為無(wú)理數(shù) , 其值為其值為2.718281828459045e 即即有極限有極限 .11)1 (1nnnx!21!31!1n1121221121n又又32121111n1213n921sincosxxx圓扇形圓扇形AOB的面積的面積(二二) 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限 1sinlim. 10 xxx證證: 當(dāng)當(dāng)即即xsin21x21xtan21亦即亦即)0(tansin2xxxx),0(2x時(shí)，時(shí)，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx顯然有顯然有AOB 的面積的面積AOD的面積

39、的面積DCBAx1oxxxcos1sin1故有故有93例例4. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例5. 求求0sinlim.xkxx解解: 令令,tkx則則,xt k因此因此原式原式0sinlimttt k0limtkttsink00sinsinlimlim.orxkxkxkxkkkkxkx94nnnRcossinlim2Rn例例6. 求求.cos1lim20 xxx解解: 原式原式 =2220sin2limxxx212121例例. 已知圓內(nèi)接正已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為邊形面積為證明證明

40、: .lim2RAnn證證: nnAlimnnnnRnAcossin22R說(shuō)明說(shuō)明: 計(jì)算中注意利用計(jì)算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx20sinlimx2x2x21952.exxx)1(lim1證證: 當(dāng)當(dāng)0 x時(shí)時(shí), 設(shè)設(shè), 1nxn則則xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim11 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim196當(dāng)當(dāng)x, ) 1( tx則則,t從而有從而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1

41、()1(lim11tttte故故exxx)1 (lim1說(shuō)明說(shuō)明: 此極限也可寫(xiě)為此極限也可寫(xiě)為ezzz1)1 (lim0時(shí)時(shí), 令令97例例. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt則則xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1說(shuō)明說(shuō)明 ：若利用若利用,)1 (lim)()(1)(exxx則則 原式原式111)1 (limexxx98例例7. 求求2lim 1.xxx解解:2lim 1xxx221lim12xxx2e例例8. 求求22lim.1xxxx解解:22lim1xxxxlim11xxxxxx11e e11lim 1111xxxxx 99例例.

42、 計(jì)算復(fù)利息問(wèn)題：計(jì)算復(fù)利息問(wèn)題：每期結(jié)算一次，本利和為每期結(jié)算一次，本利和為 設(shè)本金為設(shè)本金為 ，利率為利率為 ，期數(shù)為期數(shù)為 。0Art01tAAr每期結(jié)算每期結(jié)算 次，次， 期本利和為期本利和為tm01mtmrAAm如果立即產(chǎn)生，立即結(jié)算，即如果立即產(chǎn)生，立即結(jié)算，即m t期本利和為期本利和為0lim1mtmrAm0lim1rtmrmrAm0rtA e100 第二章 2.7 利用等價(jià)無(wú)窮小量代換求極限定理定理1.)(o證證:1lim, 0)1lim(0lim即即, )(o即即)(o101定理定理2 2 . . 設(shè)設(shè),且且lim存在存在 , 則則lim lim證證:limlim limli

43、mlim lim等價(jià)無(wú)窮小替換定理等價(jià)無(wú)窮小替換定理例如例如,xxx5sin2tanlim0 xxx52lim052在極限的在極限的乘除乘除運(yùn)算中，等價(jià)運(yùn)算中，等價(jià)無(wú)窮小可以相無(wú)窮小可以相互替換！互替換！102設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程設(shè)對(duì)同一變化過(guò)程 , , 為無(wú)窮小為無(wú)窮小 ,說(shuō)明說(shuō)明:無(wú)無(wú)窮小性質(zhì)窮小性質(zhì)Th12, (1) 和差取大規(guī)則和差取大規(guī)則: 由等價(jià)由等價(jià)得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則得簡(jiǎn)化某些極限運(yùn)算的下述規(guī)則. 若若 = o( ) , 例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031則(2) 因式代替規(guī)則因式代替規(guī)則:極限存在或有且若)(,x界界, 則則)(limx)(limx

44、例如例如, 01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx10320tan ln(1)lim.sinxxxx例例1. 求求解解: tan (0),xxx 又ln(1) (0),xxxsin (0),xxx 22sin (0),xxx20limxx xx1原式原式 1043201sin1lim.arctanxxxx例例2. 求求解解: 3 11 (0),3xxx又3sin1sin1 (0),3xxxxxarctan (0),xxx 22arctan (0),xxx20sin3limxxxx13原式原式 0sinlim3xxx10530tansinlim.sinxxxx30limxx

45、xx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例3. 求求解解: 原式原式 不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換不能濫用等價(jià)無(wú)窮小代換. .對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換對(duì)于代數(shù)和中各無(wú)窮小不能分別替換. .注意注意106例例4. 證明證明證明證明:,0時(shí)當(dāng)xsinsinxln(1) xsin (0),xxx sinsinsin (0),xxx ln(1) (0),xxx又sinsin xln(1) x0limx10sinlimxxxsinsinxln(1) x107 第二章 2.8 函數(shù)的連續(xù)性可見(jiàn) , 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x（一）、（一）、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定

46、義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱(chēng)函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;108continue)()(lim, ),(000 xPxPxxx若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱(chēng)它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱(chēng)它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,baC例例1nnxaxaaxP10)(在),(上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )例例2 有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內(nèi)連續(xù)在

47、閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線(xiàn).109對(duì)自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù),0,0當(dāng)xxx0時(shí), 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:110例例3. 證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos

48、(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說(shuō)明xysin在),(內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)連續(xù) .0111例例4. 證明函數(shù)xye在),(內(nèi)連續(xù) .證證: ),(x00limlimxxxxxyee 0lim1xxxee 即0lim0yx這說(shuō)明xye在),(內(nèi)連續(xù) .00lim1tte0,來(lái)證來(lái)證01, 要使要使1,te只要只要11,te 即即ln 1ln 1,t 取取minln 1,ln 1,即可即可112例例5.0, 0, 0, 0,1sin)(處連續(xù)處連續(xù)在在試證函數(shù)試證函數(shù) xxxxxxf證證, 01sinlim0 xxx,

49、 0)0( f又又由定義知由定義知.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx 113例例6.0, 0, 2, 0, 2)(連續(xù)性連續(xù)性處的處的在在討論函數(shù)討論函數(shù) xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右連續(xù)但不左連續(xù)右連續(xù)但不左連續(xù) ,.0)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf114在在（二）、（二）、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 ,但)(

50、)(lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱(chēng)為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在無(wú)定義 ;115間斷點(diǎn)分類(lèi)間斷點(diǎn)分類(lèi): :第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱(chēng)0 x, )()(00 xfxf若稱(chēng)0 x第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個(gè)不存在 ,稱(chēng)0 x若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱(chēng)0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .116xytan)

51、 1 (2x為其無(wú)窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01171) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .118例例7 7.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(a

52、f ),0()00()00(fff 要使要使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a119小結(jié)小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類(lèi)間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類(lèi)間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類(lèi)型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式120可去型可去型第一類(lèi)間斷點(diǎn)第一類(lèi)間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無(wú)窮型無(wú)窮型振蕩型振蕩型第二類(lèi)間斷點(diǎn)第二類(lèi)間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x121（三）、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算

53、法則（三）、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則0( ),( ),f xg xx在點(diǎn)處連續(xù)0( )( ).f xg xx在點(diǎn)處也連續(xù)0000lim( )(), lim( )()xxxxf xf xg xg x轉(zhuǎn)化000 lim( )( )()()xxf xg xf xg x轉(zhuǎn)化極限性質(zhì)極限性質(zhì)容易把極限性質(zhì)轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)性質(zhì)容易把極限性質(zhì)轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù)性質(zhì), 如如122定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)有限個(gè)函數(shù)經(jīng)函數(shù)經(jīng)有限次有限次和和 , 差差 , 積積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明利用極限的四則運(yùn)算法則證明)商商(分母不為分母不為 0) 運(yùn)算運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)結(jié)果仍是一個(gè)在該

54、點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .tan , cot , sec , cscxxxx在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)xx cos,sin例如例如,123定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)函數(shù)的反函數(shù)例如例如,xysin在在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)其反函數(shù)xyarcsin(遞減遞減).(證明略證明略)在在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增遞增(遞減遞減)也連續(xù)單調(diào)也連續(xù)單調(diào);1 , 1arccos上單調(diào)減少且連續(xù)上單調(diào)減少且連續(xù)在在同理同理 xyoxysinyxarcsinyx2211arctan ,cot(,).yx yarcx 在上單調(diào)且連續(xù)反三角

55、函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).124xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, 125定理定理3000lim ( ),( ), lim ( )( )lim ( ).xxxxxxxaf uafxf afx若函數(shù)在點(diǎn) 連續(xù)則有定理定理4. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.即即: 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00ux,)(0連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x且且即即加強(qiáng)條件有加強(qiáng)條件有:注

56、意定理注意定理4是定理是定理3的特殊情況的特殊情況.(證明略證明略)126意義意義 極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換;例例8. 求求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式原式xxax1)1 (loglim0ealogaln110log lim(1)xaxx127例例9.xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈?zhǔn)怯蛇B續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此因此xy1sin在在*Rx上連續(xù)上連續(xù) .復(fù)合而成復(fù)合而成 ,xyoxy1sin128三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.)1, 0( aaayx指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù);),

57、(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在)1, 0(log aaxya對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù);), 0(內(nèi)單調(diào)且連續(xù)內(nèi)單調(diào)且連續(xù)在在基本初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)的連續(xù)性 xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 ,不同值不同值討論討論 (均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù) )（四）、初等函數(shù)的連續(xù)性（四）、初等函數(shù)的連續(xù)性Ex129基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間

58、為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閆nnx,2因此它無(wú)連續(xù)點(diǎn)因此它無(wú)連續(xù)點(diǎn)而而定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.130例例10. 討論討論 221 , 10( )4, 122xxxf xxxxx且且的連續(xù)性。的連續(xù)性。解解:10,xx當(dāng)且時(shí)21( )f xx,初等函數(shù) 連續(xù).12,xx當(dāng)且時(shí)24( )2xf xx,初等函數(shù) 連續(xù).0,x 當(dāng)時(shí)(0),f無(wú)定義0lim( )xf x201limxx 0( ),xf x點(diǎn)是的第二類(lèi)間斷點(diǎn).且為無(wú)窮間斷點(diǎn)1312

59、21 , 10( )4, 122xxxf xxxxx且且的連續(xù)性。的連續(xù)性。例例10. 討論討論1,x 當(dāng)時(shí)(1)1,f1lim( )xf x211lim1,xx1lim( )xf x214lim2xxx3,11lim( )lim( ),xxf xf x1( ),.xf x點(diǎn)是的第一類(lèi)間斷點(diǎn) 且為跳躍間斷點(diǎn)2,(2),xf當(dāng)時(shí)無(wú)定義22224lim( )lim( )lim4,2xxxxf xf xx2( ),.xf x點(diǎn)是的第一類(lèi)間斷點(diǎn) 且為可去間斷點(diǎn)132(五五) 利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限利用函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限 1.利用初等函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限利用初等函數(shù)連續(xù)性求函數(shù)極限lim( )( )

60、xaf xf a例例11. 求求22lim sin(4)lg(8) .xxx解解: 初等函數(shù)初等函數(shù)2sin(4)lg(8),xx在在2,x 連續(xù)22lim sin(4)lg(8)xxx2sin(24)lg(28)1.例例12 求求20coslim.arcsin(1)xxexx解解:20coslimarcsin(1)xxexx20cos0arcsin(10)e122133例例13. 求求.1lim0 xaxx解解: 令令, 1xat則則, )1 (logtxa原式原式)1 (loglim0ttataln說(shuō)明說(shuō)明: 當(dāng)當(dāng), ea 時(shí)時(shí), 有有0 x)1ln(x1xexx101log lim(1)