2012年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅱ解析幾何解題分析與思考

1、.2012 年高考數(shù)學(xué)全國卷H解析幾何解題分析與思考 問題提出 題目：已知拋物線 C：y=(x+1) 2與圓 M：(x-1) 2+(y- ?) 2=r 2(r0) 有一個公共點(diǎn) A， 且在點(diǎn) A 處兩曲線 的切線為同一直線 L (1) 求 r (2)設(shè) m,n 是異于 L 且與 C 及 M 都相切的兩條直線， m,n 的交點(diǎn)為 D, 求 D 到直線 L 的距離。 2. 命題意圖 本題著重考查直線、拋物線與圓的方程，以及兩個曲線的公共點(diǎn)處 的切線的運(yùn)用，并在此基礎(chǔ)上求解點(diǎn) D 到直線的距離等基礎(chǔ)知識?？疾閿?shù)學(xué)運(yùn) 算的求解能力、綜合分析能力和選擇判斷解法的機(jī)智果敢的決策能力。 3. 問題解答遇到的

2、種種困難 本題失分較多，很多同學(xué)答題不完整或解答過程繁瑣，費(fèi)時(shí)較多，反映 出學(xué)生平時(shí)雖然做了大量的練習(xí)題， 但缺少對基本方法分析比較， 缺少對一題 多解探究，缺少對題目解答思路不順暢多問幾個為什么的研究，致使在題設(shè)條 件變化情況下，思路狹窄，解答出現(xiàn)“卡克”時(shí)，不能另辟途徑，不能簡潔而 流暢地給出完整地解答。 3.1 解題途徑的選擇，陷入繁復(fù)運(yùn)算中 此題在審題后，絕大多數(shù)同學(xué)會采用聯(lián)立拋物線與圓的方 程，試圖求出兩曲線的交點(diǎn) A，然后分別求出拋物線與圓在該點(diǎn)處的切 線，應(yīng)該是同一切線，由此求出半徑 r 。這樣做的結(jié)果，消去 y 后遇到 4 次方程，陷入困境，不了了之。 3.2 設(shè)而后求”的技巧

3、 此題一幵始設(shè)出兩曲線的交點(diǎn) A后，問題大為簡化，其實(shí)這是解題 的“切入點(diǎn)”，也是遇到第一個困難。解法選擇，迷失方向途徑，一切化 為烏有。 3.3 運(yùn)算能力差，遇到兩次較大的困難 筆一次是由已知J丄胚上= -lu瓦口+ 1） - 土 卯-1 心的方程I務(wù)數(shù)同學(xué)齊知道心卻郎理由，而且化簡該方程出措口 第二次是第II問中我出花運(yùn)點(diǎn)（爲(wèi)廳）址的切線方Ji后，由園心H到切 師十1）只1 -+-廠+11 E 半徑布戀r程 - 丄 =止后，求解此方程是同學(xué)遅卻酌第二 恥亠1” +1 2 難，方程的同塀萸形優(yōu)為嚴(yán)e -4r-6）=0tl.導(dǎo)致在拋物統(tǒng)上的點(diǎn)的勺 潔再話，全由不能正確運(yùn)篦惹的豚 4、解題分析與

4、教學(xué)反思 4.1 重視通性通法的教學(xué) 所謂通性通法是指具有某種規(guī)律性和普遍意義的常規(guī)解題模 式和常用的數(shù)學(xué)解題方法。解決任何一個數(shù)學(xué)問題都要運(yùn)用一定的方 法，方法正確、恰當(dāng)、巧妙，就容易使問題得到圓滿有效地解決；方法 正確、失當(dāng)或笨拙，就會影響解題的效果。 4.2 重視運(yùn)算技能的訓(xùn)練 我們在教學(xué)中?？吹?，有時(shí)學(xué)生做練習(xí)時(shí)，只滿足于有解題 思路，只列式不運(yùn)算或者不想運(yùn)算， 錯誤的認(rèn)為， 思路清了， 方法會了， 題就做對了， 把培養(yǎng)運(yùn)算能力的訓(xùn)練看成是浪費(fèi)時(shí)間， 把運(yùn)算中出現(xiàn)的 錯誤歸結(jié)為“粗心大意”。事實(shí)上， 培養(yǎng)運(yùn)算能力不是短時(shí)間就能奏效 的事情，是需要經(jīng)過長期的反復(fù)的訓(xùn)練而逐漸形成。因此在課

5、堂訓(xùn)練中 就要嚴(yán)格要求學(xué)生，每做一道題就應(yīng)該完完整整的做完、做對。每次測 試后要求學(xué)生統(tǒng)計(jì)由于運(yùn)算不準(zhǔn)確失分多少， 使學(xué)生感到心痛，從思想 上重視運(yùn)算。如何避免繁雜的運(yùn)算、如何尋求更加簡潔的運(yùn)算途徑，是 在教學(xué)中值得探究的問題。 4.3 重視數(shù)形結(jié)合的思想方法 我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí) 難入微?！彼^數(shù)形結(jié)合，是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法。它既具有數(shù)學(xué) 學(xué)科的鮮明特點(diǎn)，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。此題如果畫出一個草圖， 將抽象的解析幾何中數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來， 在“數(shù)”“形” 之間互相轉(zhuǎn)化，使數(shù)量關(guān)系和圖形巧妙、和諧地結(jié)合起來，并充分利用 這種“結(jié)合”尋找解題思路，

6、從而巧妙地解決貌似困難、復(fù)雜的問題。 平面解析幾何強(qiáng)調(diào)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合， 這是培養(yǎng)學(xué)生形象思 維能力的一個有效過程， 用代數(shù)的方法解幾何問題與從幾何直觀分析問 題同等重要。數(shù)形結(jié)合解題，實(shí)際上是一個“數(shù)”與“形”互譯的過程， 即把題目中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)譯成圖形，把抽象的數(shù)量關(guān)系形象化，再根據(jù) 對圖形的觀察、分析、聯(lián)想，逐步譯成算式，以達(dá)到問題的解決。 5. 結(jié)束語： 1 、該題是第 21 題，處于壓軸題位置，出題的角度一改以 往直線與圓錐曲線的位置關(guān)系為背景，求弦長、焦點(diǎn)三角形的面積、定 值、范圍等問題。我們覺得不同于平常，還在于解題方法的“切入”方 面，雖然涉及的是兩個二次曲線的交點(diǎn)問題，但并不去求直接去求，而 是曲徑幽通。 當(dāng)我們解決問題出現(xiàn)繁雜、 導(dǎo)致解題效率低下甚至失敗時(shí)， 不妨回過頭來對解題策略重新審視，選擇新的“切入點(diǎn)”， 達(dá)到解題目 的，今后要加強(qiáng)對學(xué)生解題的挫折教育。 2、研究兩曲線在公共點(diǎn)出的切線， 把解析幾何和導(dǎo)數(shù)的工具 性結(jié)合起來，是該試題的創(chuàng)新處。 另外對于在第二問中更是難度加大了， 出現(xiàn)了另外的兩條公共的切