二次函數(shù)動軸與動區(qū)間考點技巧分類總結(jié)

1、二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值一、知識要點：一元二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，核心是函數(shù)時稱軸與給定區(qū)間的相對位置關(guān)系的討論。一般分為：對稱軸在區(qū)間的左邊，中間，右邊三種情況.設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a工0),求f(x)在xcni,n上的最大值與最小值。分析：將f(x)配方，得頂點為(一色，4aCb'L對稱軸為x=-&-當(dāng)a>0時,它的圖象是開門向上的拋物線,數(shù)形結(jié)合可得在m,n上f(x)的最值:(1)當(dāng)一葛中1，n時，f(x)的最小值是f(一()=當(dāng)盧，f(x)的最大值是f(m)>f(n)中的較大者。(2)當(dāng)一b2a印1】，n時由f(x)在卜11,n上是增函數(shù)則f(x)

2、的最小值是f(m),最大值是f(11)若nc-2，由f(x)在卜11，n上是減函數(shù)則f(x)的最大值是f(m),最小值是f(n)當(dāng)avO時，可類比得結(jié)論。二、例題分析歸類：(一)、正向型是指已知二次函數(shù)和定義域區(qū)間，求其最值。對稱軸與定義域區(qū)間的相互位置關(guān)系的討論往往成為解決這類問題的關(guān)鍵,此類問題包括以卜泗種情形：(1)軸定，區(qū)間定(2)軸定，區(qū)間變；(3)軸變，區(qū)間定；(4)軸變，區(qū)間變.1 .軸定區(qū)間定二次函數(shù)是給定的，給出的定義域區(qū)間也是固定的.我們稱這種情況是“定二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值”。例L函數(shù)丫=-好+4乂一2在區(qū)間0,3上的最大值是,最小值是o解：函數(shù)丫=一(+4乂-2=-(

3、乂-2)2+2是定義在區(qū)間0,3上的二次函數(shù)，其對稱軸方程是x=2,頂點坐標為(2,2),且其圖象開口向下，顯然其頂點橫坐標在0,3上，如圖1所示。函數(shù)的最大值為f(2)=2,最小值為f(0)=-2。練習(xí).已知2x?«3x,求函數(shù)f(x)=x"+x+l的最值。第1頁(共9頁)解：由己知2x?K3x,可得0<xK±,即函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間0,221上的二次函數(shù)。2圖象開II向上。顯然其頂點橫坐標不在區(qū)間0,1內(nèi)，如圖2所示。函數(shù)f(x)的最小值為f(0)=l,最大值為f19將二次函數(shù)配方得f(x)=(x+；)其對稱軸方程x=-；,頂點坐標(-；，J,且2、

4、軸定區(qū)間變二次函數(shù)是確定的，但它的定義域區(qū)間是隨參數(shù)而變化的，我們稱這種情況是“定函數(shù)在動區(qū)間上的最值”。例2.如果函數(shù)f(X)=(X-»+l定義在區(qū)叫t,t+1上，求f(X)的最小值。解：函數(shù)f(X)=(X-l)2+l，其對稱軸方程為X=l，頂點坐標為(1,1),圖象開II向上。如圖1所示，若頂點橫坐標在區(qū)間卜，t+1左側(cè)時，有Ivt,此時，當(dāng)X=t時，函數(shù)取得最小值f(X)n1n=f(t)=(tl)2+l。如圖2所示，若頂點橫坐標在區(qū)間卜，t+1上時，<l<t+l,即OWtWL當(dāng)x=l時,函數(shù)取得最小值f(x)0=f(l)=1。如圖3所示，若頂點橫坐標在區(qū)間卜，t+1

5、右側(cè)時，有t+lvL即tV0。當(dāng)乂=1+1時,第2頁(共9頁)函數(shù)取得最小值f(x)1nm=f(t+l)=t?+l(t-l)3+l,t>l綜上討論，f(x)nun=«l,0<t<lt2+lt<0y/中tot+1x圖8例3.已知f(x)=£-2x+3,當(dāng)xet,t+l(t£R)時，求f(x)的最大值.解：由已知可求對稱軸為x=l.(1)當(dāng)t>l時，故焉=f(t+l)=t?+2當(dāng)tWlWt+1,即OWtWl時，.根據(jù)對稱性，若上*KL即°7、5時，f(X)nux=f(t)=t2-2t+322t+t+111若2>2即2<

6、;、時，f(x)1mx=f(t+l)=t+2(3)當(dāng)t+l<l即t<0時，(x)nwc=f(t)=t-2t+3t3+2,t>-綜上，f(x)a2、1t-2t+3,t<-2觀察前兩題的解法，為什么最值有時候分兩種情況討論，而有時候又分三種情況討論呢？這些問題其實仔細思考就很容易解決。不難觀察：二次函數(shù)在闈區(qū)間上的的最值總是在閉區(qū)間的端點或二次函數(shù)的頂點取到。第一個例題中，這個二次函數(shù)是開口向上的，在閉區(qū)間上，它的最小值在區(qū)間的兩個端點或二次函數(shù)的頂點都有可能取到，有三種可能，所以分三種情況討論：而它的最大值不可能是二次函數(shù)的頂點，只可能是閉區(qū)間的兩個端點，哪個端點距離對稱

7、軸遠就在哪個端點取到，當(dāng)然也就根據(jù)區(qū)間中點與左右端點的遠近分兩種情況討論。根據(jù)這個理解，不難解釋第二個例題為什么這樣討論。對二次函數(shù)的區(qū)間最值結(jié)合函數(shù)圖象總結(jié)如下：當(dāng)a>0時f(x)Nf>i(m+n)(如圖1)2a2f(n)»-<(m+n)(如圖2)2a2f(X)3f(n)»>n(如圖3)2af(-)»m<-<n(如圖4)2a2af(m),-<ni(如圖5)2a第3頁(共9頁)當(dāng)a<0時f(x)a如圖6)f()»ni«Kn(如圖7)f(x)1nm2a2a(如圖8)f(m)，f(n),2(m+n)(

8、如圖9)2a2-2<1(m+n)(如圖10)2a23、軸變區(qū)間定二次函數(shù)隨著參數(shù)的變化而變化，即其圖象是運動的，但定義域區(qū)間是固定的，我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值二例4.已知x?Kl,且a-220,求函數(shù)f(x)=好+2乂+3的最值。解：由已知有一IWxWLa>2,于是函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間卜1,1上的二次函數(shù)，將f(x)配方得：f(x)=(x+g+3一;/2、,圖象開口向上二次函數(shù)f(x)的對稱軸方程是x=-2頂點坐標為3-2<247由aN2可得x=-<-1>2顯然其頂點橫坐標在區(qū)間卜1,1的左側(cè)或左端點上。函數(shù)的最小值是f(1)=4一a,最大

9、值是f(1)=4+a。圖3例5(1)求f(x)=x?+2ax+l在區(qū)間12上的最大值。(2)求函數(shù)y=-x(x-a)在上的最大值。第4頁(共9頁)解：(1)二次函數(shù)的對稱軸方程為x=-a,當(dāng)-a<L即a>-L時，f(x)ax=f(2)=4a+5：2 2當(dāng)-a2即a4時，f(x、3=f(-l)=2a+2o3 212a+2,aW綜上所述：f(xK=':。4a+5,a>22（2）函數(shù)y=（x±）2+L圖象的對稱軸方程為x=L應(yīng)分一1-<-1,土>1即242222-2<a<2,a<-2和a>2這三種情形討論，下列三圖分別為（1）a

10、<-2：由圖可知f（x）m=f（-l）a(2)-2<a<2；由圖可知f(x)w=f(-)2(a+1),a<2即y-=,-2<a<24a-1,a>2(3)a>2時：由圖可知f(x)E=fQ)f(-l),a<-24.軸變區(qū)間變二次函數(shù)是含參數(shù)的函數(shù),一最大=<f(1),-2<a<2：f，a>2而定義域區(qū)間也是變化的，我們稱這種情況是“動二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值”。例6己知=43他_59>0）,求ii=（x_3>+y2的最小值。解：將=4a（x-a）代入中，得以二（及一？+40（大一）=了一（32以）Z+12a

11、8a"xa9+oo）（1）3-2a,>at即0<aM時，=12a8ai3-2<°,即。>1時，/（£）2二/（以）二（一3產(chǎn)第5頁（共9頁）所以-/(0<a<1)a>1)(二)、逆向型是指已知二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值，求函數(shù)或區(qū)間中參數(shù)的取值。例7.已知函數(shù)fAa+Zax+l在區(qū)間-3,2上的最大值為4,求實數(shù)a的值。解:f(x)=a(x+l)2+1-a,xe-3,2(1)若a=O,f(x)=l,不符合題意。(2)若a>0,則f(x)z=f(2)=8a+l由8a+1=4,得a=38(3)若a<0時，則f(x)z

12、=f(-1)=1一由l-a=4,得a=-3綜上知a=?或a=-38例8.己知函數(shù)f(x)=+x在區(qū)間nin上的最小值是3nl最大值是3n,求n】，n的值。2解法1:討論對稱軸工=1中1與*吧上,1】的位置關(guān)系。f(x)g=f(n)=3nf(x)g=f(m)=3mcin+n若<1<n,2f(x)a=fQ)=3iif(x)=f(m)=3mm+n若in<1<2f(x)a=f(l)=3n2，無解f(x)g=f(n)=3m第6頁(共9頁)若1山Jf(x)z="m)=3n、f(x)m=f(n)=3m無解綜上，m=-4,n=0f(x)a=f(n)=3nf(x)mm=f(m)

13、=3m解析2：由f(x)=-L(x-l>+9,知3n<L,n«L,則(-叫1,2226又在mu1上當(dāng)x增大時f(x)也增大所以解得m=-4,11=0評注：解法2利用閉區(qū)間上的最值不超過整個定義域上的最值，縮小了m,n的取值范圍，避開了繁難的分類討論，解題過程簡潔、明了。例9.已知二次函數(shù)*乂)=胃+(2-1)乂+1在區(qū)間一|,2上的最大值為3,求實數(shù)a的值。這是一個逆向最值問題，若從求最值入手，需分a>0與a<0兩大類五種情形討論，過程繁瑣不堪。若注意到最大值總是在閉區(qū)間的端點或拋物線的頂點處取到，因此先計算這些點的函數(shù)值，再檢驗其真假，過程就簡明多了。具體解

14、法為：2a1(1)令f(-)=3,得a2a此時拋物線開11向下，對稱軸方程為x=-2,且-2任故-;不合題意:(2)令f(2)=3,得a=；此時拋物線開口向上，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸較遠，故a=g符合題意：(3)若f(?)=3,得a=423此時拋物線開H向下，閉區(qū)間的右端點距離對稱軸較遠，故a=-4符合題意。3綜上，a=9或a=-223解后反思：若函數(shù)圖象的開II方向、對稱軸均不確定，且動區(qū)間所含參數(shù)與確定函數(shù)的參數(shù)一致，可采用先斬后奏的方法，利用二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只可能在區(qū)間端點、頂點處取得，不妨令之為最值，驗證參數(shù)的資格，進行取舍，從而避開繁難的分類討論，使解題過程簡潔、明了。三、

15、鞏固訓(xùn)練1 .曲數(shù)y=x?+x+1在-口上的最小值和最大值分別是第7頁(共9頁)(均1,3(B)-,3(C)-,3(D)-,34242 .函數(shù)y=-x2+4x-2在區(qū)間1,4上的最小值是()(A)-7(B)-4(C)-2(D)283 .函數(shù)y=-的最值為()x-4x+5(A)最大值為8,最小值為0(B)不存在最小值，最大值為8(C)最小值為0,不存在最大值(D)不存在最小值，也不存在最大值4 .若函數(shù)y=2-V-x3+4x,xW0,4的取值范圍是5 .已知函數(shù)f(x)=ax2+(2a-l)x-3(a#0)在區(qū)間-9,2上的最大值是1,則實數(shù)a的值為6 .如果實數(shù)x,y滿足x?+y?=1,那么Q

16、-xy)(L+xy)有()(A)最大值為1,最小值為1CB)無最大值，最小值為三24(C)最大值為1,無最小值。)最大值為1,最小值為m47 .已知函數(shù)y=x?-2x+3在閉區(qū)間O,n上行最大值3,最小值2,則n】的取值范圍是()(A)1,+s)0,2(C)1,2)(一卬8 .若xN0,yN0,x+2y=1,那么2x+3y?的最小值為9 .設(shè)n】£RXpX?是方程X?-2nix+lnf=0的兩個實根，則x+x：的最小值10 .設(shè)f(x)=乂2-4*-4/6K4+1。£&,求函數(shù)f(x)的最小值g(t)的解析式。11 .已知f(x)-x2-ax十士，在區(qū)間0刀上的最大

17、值為g(a),求居(a)的最小值。212(2009江蘇卷)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)£儀)=2幺+3-2)|乂-8.(1)若f(o)Ni，求a的取值范圍：C)求f(x)的最小值：(3)設(shè)函數(shù)h(x)=f(x),xe(a,+s),辛倭耳中(不需給出演算步驟)不等式h(x)Nl的解集【解析】本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識，考查靈活運用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進行探索、分析與解決問即的綜合能力。(1)Zif(0)>1*貝U-a|a|21=>3,=>a<-1a>1(2)當(dāng)X2a時,f(x)=3x2-2ax+a2,1f(a).a>0j2aa>0W«=|fca)a<Q»2aa<0第8頁(共9頁)當(dāng)xKa時,f(x)=x3+2ax-af(x)f