初中-與角度有關(guān)的運算---尖子班

1、第 13 講 與角度有關(guān)的計算與角度有關(guān)的計算角的概念及度分秒的換算 角平分線的定義 余角和補角 對頂角及鄰補角知識點 1：角的概念以及度分秒的換算1有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點就是角的頂點，這兩條射線是 角的兩條邊。角通常用三個字母及符號“”來表示，在不引起混淆的情況下，角還可以用 它的頂點字母來表示2 用量角器測量角度時一定要做到兩對齊：量角器的中心和角的頂點對齊、 量角器的 0 刻度線和角的一條邊對齊3角的常用度量單位是度、分、秒11°的60 為 1分，記作 1，即1° =6011 的為 1 秒，記作 1 ，即1 =6060典例】1.下列四個圖中

2、，能用1，AOB ，O 三種方法表示同一個角的是(A.D.解析】解：A 、圖中以 O 為頂點的角不止 1 個，AOB 不能用 O 表示，故本選項錯誤；B、圖中以 O 為頂點的角有 3 個，AOB 不能用 O 表示，故本選項錯誤；C、圖中以 O 為頂點的角只有 1 個，1、AOB 、O 表示同一個角，故本選項正確；D、圖中以 O 為頂點的角不止 1 個，AOB 不能用 O 表示，故本選項錯誤；方法總結(jié)】所有的角都可以用頂點處的字母和表示兩條射線的另外兩個字母來表示； 只有個角（兩條射線）時，該角可以用“”和頂點字母來表示。隨堂練習(xí)】當(dāng)某個角的頂點處向左轉(zhuǎn) 50 °航行到BA北偏東 30

3、B北偏東 80 °C北偏西 30 °D北偏西50解答】1（ 2018? 河北）如圖，快艇從P處向正北航行到 A 處時， 處，再向右轉(zhuǎn) 80 °繼續(xù)航行，此時的航行方向為（APBC，2= 1=503= 4 2=8050=30 °，此時的航行方向為北偏東30故選： A 2（2017 秋?榆樹市期末）計算：90°（ 36 ° 31 52 +12 °2214）【解答】解： 90°（ 36°3152+12 °2214）=90 ° 48 °5366=90 ° 48 °

4、546=89 °59 6048° 54 6=41 °5 54 3（2017 秋 ? 興化市期末）鐘面角是指時鐘的時針與分針?biāo)傻慕侨鐖D，在 鐘面上，點 O 為鐘面的圓心，圖中的圓我們稱之為鐘面圓為便于研究，我們 規(guī)定：鐘面圓的半徑 OA 表示時針，半徑 OB 表示分針，它們所成的鐘面角為 AOB ；本題中所提到的角都不小于 0°，且不大于180 °；本題中所指的時刻都介 于 0 點整到 12 點整之間（ 1）時針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為 °，分針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為 °；（2）8 點整，鐘面角 AOB=°，鐘面角與此相等的

5、整點還有： 點；（3）如圖，設(shè)半徑 OC 指向12 點方向，在圖中畫出 6點15 分時半徑 OA、OB解答】解：（1 ）時針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為 0.5 °分，針每分鐘轉(zhuǎn)動的角度為 6°；故答案為：0.5，6；（ 2） 0.5× 60× 4=1204°點，時 0.5 × 60× 4=120 °，故答案為：120，4；3）如圖 AOB=6 × 30+15 × 0.5 15× 6=97.54（2017 秋 ? 孝感期末）計算：（1）48° 39+67° 31 21

6、6; 17 ；（2）23° 53×3 107° 43 ÷ 5 【解答】 解：（1）48° 39 +67 °31 21° 17=116° 10 21°17=94 °53 ；（2）23° 53×3 107° 43 ÷5=71 ° 39 21° 32 36=50 ° 6 24 這條射線叫做這個角的角平知識點 2：角平分線的定義1. 從一個角的頂點引出一條射線， 把這個角分成兩個相等的角，分線。2. 尺規(guī)作圖，作 AOB 的平分線的方

7、法：1）以點 O 為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交角 AOB 兩邊 于點 M ，N。2 ）分別以點 M ，N 為圓心，以大于 1/2MN 的長度為半徑畫弧， 兩弧交于點 P。3 ）作射線 OP。射線 OP 即為所求?！镜淅?.已知 AOB=20 °，AOC=4 AOB ， OD 平分AOB ， OM 平分AOC ，則MOD 的度數(shù)是 解：分為兩種情況：如圖 1 ，當(dāng)AOB 在AOC 內(nèi)部時， AOB=20 °，AOC=4 AOB ， AOC=80OD 平分AOB ， OM 平分AOC ， 如圖 2 ，當(dāng)AOB 在AOC 外部時，1AOD= BOD= AOB=1021，A

8、OM= COM= 2 AOC=40DOM= AOM AOD=4010=30 DOMAOM+ AOD=40 ° +10 ° =50 °；【方法總結(jié)】本題已知角的數(shù)量關(guān)系 AOC=4 AOB ，以及 OD 、 OM 是角平分線，但不知道角 AOC 與AOB 的位置關(guān)系，無法直接得出結(jié)論。所以作圖分兩種情況，即：AOB 在AOC 內(nèi)部和AOB 在AOC 外部，結(jié)合圖形根據(jù)已知條件求出未知角的度數(shù)。【隨堂練習(xí)】1（2017 秋 ?開江縣期末）如圖，BOE=2AOE，OF 平分AOB ， EOF=20 °【解答】 解：設(shè) AOE=x °，B則OE=2 A

9、OE=2x 所以AOB= BOE+ AOE=3x °，OF 平分AOB ，AOF= AOB=1.5x °， EOF=20 °，1.5x x=20 ，解得： x=40 ， AOB=3x ° =120 °2（2017 秋 ?定邊縣期末）如圖，O 為直線 AB 上一點，AOC=50O°D，平分AOC ， DOE=901）求出BOD 的度數(shù)；所以DOC= AOC=25 °， BOC=180 ° AOC=130所以BOD= DOC+ BOC=155 °； （2）OE 平分BOC理由如下： DOE=90 °

10、， DOC=25 °， COE=90 ° 25 ° =65 °， BOC=130 °，BOE= BOC COE=130 ° 65 ° =65COE= BOE，OE 平分BOC3（2017 秋 ?瀘縣期末）如圖，已知 AOB=90 °，EOF=60 °O，E 平分AOB，OF 平分BOC ，求COB 和AOC 的度數(shù)BOE= AOB=45 EOF=60BOF= EOF BOE=15 °OF 平分BOC ，BOC=2 BOF=30 °，AOC= AOB+ BOC=1204（2017 秋 ?

11、 杜爾伯特縣期末）如圖所示（1）已知 AOB=90 °， BOC=O30M°，平分AOC ，ON 平分BOC，求 MON 的度數(shù)；（2） AOB=， BOC=OM， 平分AOC ，ON 平分BOC ，求MON 的 大小【解答】 解：（1） AOB=90 °， BOC=30AOC= AOB+ BOC=90 ° +30 ° =120 °OM 平分AOC ，ON 平分BOC，MOC= AOC=60CON= BOC=152）同理可得， MOC= （則MON= MOC CON=MON= MOC CON=60 ° 15 ° =

12、45故答案為： 45 + ，）CON= + ）= 知識點 3：余角和補角1. 如果兩個角的和是一個直角 ,那么稱這兩個角互為余角 ,簡稱互余 ,也可以說其中一個角是另 一個角的余角 . A + C=90 ° , A= -90C °, A 與C 互余； 余角的性質(zhì)：同角的余角相等。比如： A+ B=90 °A,+ C=90 ° , 則：C=B 。 等角的余角相等。比如： A+ B=90 °D,+ C=90 °A,=D 則：C= B。 2.如果兩個角的和是一個平角，那么這兩個角互為補角其中一個角叫做另一個角的補角A + C=180

13、76; , A= 1-80C ,° A 與C 互補； 補角的性質(zhì)：同角的補角相等。比如： A+ B=180 °A,+ C=180 ° , 則：C=B。 等角的補角相等。比如： A+ B=180 °D,+ C=180 °A,=D ，則： C=B。 【典例】1.如圖，點 A 、B、O 在同一條直線上， COE 和BOE 互余，射線 OF 和 OD 分別平分【解析】解： AOF+ BOD=3 DOF 理由如下：設(shè)COF= EOF=x ，DOE= BOD=y ，2x+2y=90 ， DOF=x+y=45AOF+ BOD=90 +x+y=135 AOF+

14、 BOD=3 DOF ，【方法總結(jié)】題中給出了互余的兩個角， 隱含了一對互補的角。 通過一對互余角的角平分線求出平分后小 角組成的大角為 45 °，利用平角是180 °，求出剩余角度之和是 135 °，進而求出二者之間的 比例關(guān)系。【隨堂練習(xí)】1（2017 秋 ? ?？谄谀┮阎? 是1 的余角，3 是2 的補角，且1=38則3 等于（）A62° B 128 ° C 138 ° D142°【解答】 解：2 是1 的余角， 2=90 ° 1=90 ° 38°=52 °，3 是2 的補角，

15、 3=180 ° 2=180 ° 52 ° =128 °故選： B2（2017 秋 ?溧水區(qū)期末）如果和互補，且<下，列表達式： 90 ；90（°； + ；） （）中，等于的余角的式子有（ ）A1 個B2 個 C3 個D4 個【解答】 解：和互補， =180 °，的余角是 90 °， 90 ° =180 °90 ° =90 °，( +=) ( 180 ° +) =90 °)=( 180 °) =90 °，即， 3 個， 故選：C3（2017

16、 秋?阜寧縣期末）如圖 1，點O 為直線 AB 上一點，過點 O作射線 OC， 使 BOC=112 °將一直角三角板的直角頂點放在點 O 處，一邊 OM 在射線 OB 上，另一邊 ON 在直線 AB 的下方（1）將圖 1 中的三角板繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)至圖 2，使一邊 OM 在BOC 的內(nèi) 部，且恰好平分 BOC ，問：直線 ON 是否平分AOC？請說明理由；（2）將圖 1 中的三角板繞點 O 按每秒 4°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋 轉(zhuǎn)的過程中，第 t 秒時，直線 ON 恰好平分銳角 AOC ，則 t 的值為多少？ （3）將圖 1 中的三角板繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)至圖

17、3，使ON 在AOC 的內(nèi)部，請 探究：AOM 與NOC 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由解答】解：（1）平分，理由：延長 NO 到 D， MON=90° MOD=90°MOB+ NOB=90MOC+ COD=90 °MOB= MOC ，NOB= COD ，NOB= AOD ，COD= AOD ，直線 NO 平分AOC ；（2）分兩種情況：如圖 2， BOC=112 ° AOC=68 °，當(dāng)直線 ON 恰好平分銳角 AOC時，AOD= COD=34 °， BON=34 °， BOM=56 °， 即逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為 56

18、 °， 由題意得， 4t=56 °解得 t=14 （ s）；如圖 3，當(dāng) NO 平分AOC 時， NOA=34 °， AOM=56 °，即逆時針旋轉(zhuǎn)的角度為： 180 ° +56 ° =236 °， 由題意得， 4t=236 °，解得 t=59 （ s），綜上所述， t=14s 或 59s 時，直線 ON 恰好平分銳角 AOC；（3）AOM N OC=22 °，理由： AOM=90 °AON NOC=68 °AON ，AOM NOC90AON )68AON )=224（2017 秋 ?

19、襄城區(qū)期末）如圖 1，點O 為直線 AB 上一點，過點 O 作射線 OC， 使 BOC=120 °將，一直角三角板的直角頂點放在點 O 處，一邊 OM 在射線 OB 上，另一邊 ON 在直線 AB 的下方（ 1）如圖 2，將圖 1 中的三角板繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)，使邊 OM 在BOC 的內(nèi) 部，且 OM 恰好平分BOC此時AOM= 度；（ 2）如圖 3，繼續(xù)將圖 2 中的三角板繞點 O 按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使得 ON 在 AOC 的內(nèi)部探究 AOM 與NOC 之間數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；（3）將圖 1 中的三角板繞點 O 以每秒 10 °的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋 轉(zhuǎn)

20、的過程中，若直線 ON 恰好平分AOC ，則此時三角板繞點 O 旋轉(zhuǎn)的時間是 多少秒？（直接寫出答案即可，不必說明理由）【解答】 解：（1）OM 恰好平分BOC， BOM=1202=60 AOM=18060° =1202）如圖 3，AOM NOC=30 °， BOC=120 °， A0C=60 °， AON=90 ° AOM=60 °NOC，AOM NOC=30 °（ 3）設(shè)三角板繞點 O 旋轉(zhuǎn)的時間是 x 秒， BOC=120 °， AOC=60 °， BON=30 °，旋轉(zhuǎn)60 °

21、時ON 平分AOC ，10x=60 或 10x=240 ，x=6 或 x=24 ，即此時三角板繞點 O 旋轉(zhuǎn)的時間是 6 或 24 秒故答案為： 120 5（2017 秋 ?大余縣期末）如圖 1，點 O 為直線 AB 上一點，過點 O 作射線 OC，使 BOC=120 °將，一直角三角板的直角頂點放在點 O 處，一邊 OM 在射線 OB 上，另一邊 ON 在直線 AB 的下方（ 1）將圖 1 中的三角板繞點 O 逆時針旋轉(zhuǎn)至圖 2，使一邊 OM 在BOC 的內(nèi) 部，且恰好平分 BOC，設(shè) ON 的反向延長線為 OD ，則COD=°，AOD= °（2）將圖 1 中的

22、三角板繞點 O 順時針旋轉(zhuǎn)至圖 3，使 ON 在AOC 的內(nèi)部，求 AOC=180 ° 120 ° =60 °，OM 恰好平分BOC ， COD=30 °， AOD=30 °( 2)AOM NOC= (AOM+ AON )( NOC+ AON )=90 ° 60 °故答案為： 30 ， 30 知識點 4：對頂角和鄰補角1. 如果一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線， 且這兩個角有公共頂點， 那么這兩 個角是對頂角。對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。2. 兩個角有一條公共邊，它們的另一條邊互為反向延長線，具有這種關(guān)系的兩個角，叫

23、做鄰 補角。鄰補角的性質(zhì)：（ 1）一個角與它的鄰補角的和等于180 °（；2）如果兩個角互為鄰補角，那么它們的角平分線互相垂直。典例】1.如圖所示，直線 AB交CD 于點O，OE平分BOD ，OF平分COB ，AOD ：BOE=4 ：方法總結(jié)】解角度問題常設(shè)某一角度為未知數(shù)， 把其他關(guān)聯(lián)角用未知數(shù)表示出來， 根據(jù)已知條件間建立 關(guān)于該未知數(shù)的方程， 解方程即可求得未知數(shù)的值， 從而得到所求角的度數(shù)。 用代數(shù)方法解 幾何問題是常用方法之一?！倦S堂練習(xí)】1（2016 秋?玄武區(qū)校級期末）如圖，直線 AB與CD相交于點 O，AOC：AOD=4 ：5 ，OE 平BOD 分，請在圖中畫出 OF

24、 AB 并求出BOF 的度數(shù)AOC+ AOD=180 4x+5x=180 °，解x得=20 AOC=4x=80 BOD=80 °， OFAB， BOF=902（2017 秋 ? 天河區(qū)期末）如圖，已知直線 AB 和 CD 相交于點 O，在COB 的 內(nèi)部作射線 OE1)若 AOC=36 °， COE=90 °B，O求E 的度數(shù)；AOC=144 BOC=180 °， COE=90 °，3： 2，求AOE 的度數(shù)COE+ EOB+ BOD=1802)COE：EOB：BOD=4 ：3 ：2 ，設(shè) COE=4 ，EOB=3 ， BOD=2 4

25、 +3 +2 =180 =20 ° COE=4 =80 ° AOE=180 ° EOB=3 =60EOB=180 ° 60， BOD=2 =40=120 °上，表示 138 °的點在直線 b 上，則 1=3（2017 秋 ? 平邑縣期末）如圖，直線 AB ，CD 相交于點 O， BOE=90 °O，F(xiàn) 平分AOD ， COE=20 °，求BOD 與DOF 的度數(shù)解答】 解： COE=20 °， BOE=90 BOD=180 ° 20° 90° =70 AOD 180 

26、6; 70° =110OF 平分AOD ，DOF=AOD=55 BOD=70 °， DOF=55綜合集訓(xùn)1.如圖，直線 a、b 相交于點 O，將量角器的中心與點 O 重合，發(fā)現(xiàn)表示 60 °的點在直線 a解析】解：根據(jù)題意得：1=13860 ° =78故答案為： 782.如圖，直線 AB 、CD 相交于點 O， AOD=140 °， COE=20 °，BO則E= °【解析】解：直線 AB、CD 相交于點 O ， AOD=140 °， COB=140 °， COE=20 °， BOE=140 &#

27、176; 20 ° =120 °故答案為： 120 3. 一個角的補角為 158 ° 12 ，那么這個角的余角等于_【解析】解：設(shè)原角為，所求角為，則 =180 ° 158 ° 12 =21 ° 48 ， =90 ° =68 ° 12 故答案為： 68 ° 12 4. 如圖， AOB=90 °O，C 平分AOB，OE平分AOD，若 EOC=60 °則，BOD=【解析】解： OC 平分AOB ，1AOC= AOB=45 °，2 EOC=60 °， AOE=15

28、76;，OE 平分AOD ， AOD=30 °， BOD=30 ° +90 ° =120 °，故答案為： 120 °5. 一個角的補角加上 14 °，等于這個角的余角的 5 倍，這個角的度數(shù)是 【解析】解：設(shè)這個角為 x ，則補角為 180 °x ，余角為 90 °x， 由題意得： 180 ° x+14 ° =5 （x）9，0 °解得： x=64 °故填： 64 °6 如圖，直線 AB、CD 相交于點 O ，BOF= DOE=90 °， DOF=58 &#

29、176;則，BOE=AOC=解析】解：BOF=90 °， DOF=58DOB=90 ° 58 °=32 °，DOE=90 °BOE=90 ° 32 °=58 °，DOB=32 °AOC=32 °7.計算：（1）48 ° 39 +67 °31 21° 17（2）23 ° 53 × 3 107 ° 43 ÷5解析】解： （1） 48 ° 39 +67 °31 21°17=116° 1021&#