有限元與數(shù)值方法講稿有限元的基本概念

1、1有限元與數(shù)值方法有限元與數(shù)值方法第五講第五講有限元法的一般原理與基本格式有限元法的一般原理與基本格式- 有限元的基本概念有限元的基本概念授課教師：劉書田授課教師：劉書田Tel：84706149； Email：教室：綜合教學樓教室：綜合教學樓 351 時間：時間：2013年年4月月12日：日：8：0010：202彈性力學問題的有限元法彈性力學問題的有限元法有限元法的基本思想有限元法的基本思想桿系結構的直接剛度法桿系結構的直接剛度法靜定桁架的內力可以通過節(jié)點的平衡方靜定桁架的內力可以通過節(jié)點的平衡方程求得，由內力和桿件斷面積可求得桿程求得，由內力和桿件斷面積可求得桿件應力、應變，再求得節(jié)點位移件

2、應力、應變，再求得節(jié)點位移PP靜不定桁架的內力無法簡單通過節(jié)點平衡方程靜不定桁架的內力無法簡單通過節(jié)點平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時，假定每個節(jié)點的位移為未采用位移法求解時，假定每個節(jié)點的位移為未知量，然而可以將桿件伸長、桿件應變、桿件知量，然而可以將桿件伸長、桿件應變、桿件應力，桿件內力用節(jié)點位移表示，根據(jù)節(jié)點的應力，桿件內力用節(jié)點位移表示，根據(jù)節(jié)點的平衡要求可以得到節(jié)點位移滿足的平衡方程。平衡要求可以得到節(jié)點位移滿足的平衡方程。3有限元法的基本思想有限元法的基本思想桿系結構的直接剛度法桿系結構的直接剛度法靜不定桁架的內力無法簡單通過

3、節(jié)點平衡方程靜不定桁架的內力無法簡單通過節(jié)點平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解時，假定每個節(jié)點的位移為未采用位移法求解時，假定每個節(jié)點的位移為未知量，然而可以將桿件伸長、桿件應變、桿件知量，然而可以將桿件伸長、桿件應變、桿件應力直至桿件內力用節(jié)點位移表示，根據(jù)節(jié)點應力直至桿件內力用節(jié)點位移表示，根據(jù)節(jié)點的平衡要求可以得到節(jié)點位移滿足的平衡方程。的平衡要求可以得到節(jié)點位移滿足的平衡方程。由節(jié)點的平衡方程就可求得節(jié)點位移；由節(jié)點的平衡方程就可求得節(jié)點位移；這一平衡方程的系數(shù)矩陣就是結構剛度矩陣；結構剛度矩陣是由每個桿件的這一平衡方程的系數(shù)矩陣就是

4、結構剛度矩陣；結構剛度矩陣是由每個桿件的單元剛度矩陣適當?shù)亟M裝得到。單元剛度矩陣適當?shù)亟M裝得到。2211221122222222cos ,sin , xxyyxxyyFuccsccsFucsscssEFFuLccsccsFucsscsscsFkUk或稱為單元剛度矩陣F2x,u2xF2y,u2yF1x,u1xF1y,u1y12P4桿系有限元方法桿系有限元方法o以桁架結構為例，介紹有限元的基本思想5桿單元的有限元分析桿單元的有限元分析一維線性桿單元一維線性桿單元基本假定：基本假定：只能承受拉壓內力（各桿兩端的約束條只能承受拉壓內力（各桿兩端的約束條件使得彎曲、扭轉、剪切不能傳遞）件使得彎曲、扭轉、

5、剪切不能傳遞）軸線為直線軸線為直線1. 材料滿足胡克定律材料滿足胡克定律自由轉動自由轉動121F2F21FF6位移插值位移插值)(xu)(2Luu )0(1uu 建立軸線方向的坐標系建立軸線方向的坐標系記任一點軸向位移為記任一點軸向位移為并將節(jié)點位移表示為并將節(jié)點位移表示為2211)()()(uxNuxNxu建立桿件位移與節(jié)點位移的插值關系建立桿件位移與節(jié)點位移的插值關系其中，形函數(shù)必須滿足其中，形函數(shù)必須滿足1)(, 0)0(, 0)(, 1)0(2211LNNLNN1N1122N1217xaaxN101)(xbbxN102)(可簡單地將形函數(shù)取為一次多項式的形式：可簡單地將形函數(shù)取為一次多

6、項式的形式：10a00b)/1(1LaLxb/11)0(1N0)0(2N0)(1LN1)(2LN考慮到邊界條件，考慮到邊界條件，可得到可得到LxxN/1)(1LxxN/)(2因此因此位移插值位移插值8位移及應變位移及應變21)/()/1 ()(uLxuLxxuNu2121)()()(uuxNxNxu小位移假設下，應變?yōu)樾∥灰萍僭O下，應變?yōu)槲灰颇Ｊ綖槲灰颇Ｊ綖長uuuuxNdxdxNdxddxddxdux122121)()(Nu1 1,xBL L Bu9單元剛度陣單元剛度陣LuuEExx12利用胡克定律，得到桿件應力和內力分別為利用胡克定律，得到桿件應力和內力分別為)(12uuLAEAPx則節(jié)點

7、力為則節(jié)點力為)(121uuLAEF)(122uuLAEF11221111uFAEuFLr其矩陣形式表示為其矩陣形式表示為1111eLAEK 單元剛度矩陣單元剛度矩陣,xE ESL L SuS 應力矩陣應力矩陣10XYxy X Y x yi 坐標變換矩陣坐標變換矩陣設設OXY為結構坐標，為結構坐標，oxy為單元坐標。為單元坐標。 為任意單元為任意單元 i 端的任一矢量。它在端的任一矢量。它在結構坐標系中的分量為結構坐標系中的分量為 X、 Y；在單；在單元坐標系中的分量為元坐標系中的分量為 x、 y。 X、 Y 在單元坐標在單元坐標x軸上投影的代數(shù)和給出軸上投影的代數(shù)和給出 x 。同理，。同理，

8、 X、 Y 在單元坐標在單元坐標 y 軸上軸上投影的代數(shù)和給出投影的代數(shù)和給出 y cossin)cossin()(sincos)sincos()(2121221211YXYXyYXYXxeeeeeeeeee11即即jjiivuvu,jjiiejjiivuvuvuvucossin00sincos0000cossin00sincos坐標變換矩陣坐標變換矩陣YXyxcossinsincos令令 表示兩個端點的位移矢量在單元局部坐表示兩個端點的位移矢量在單元局部坐標系的分量，標系的分量， 表示兩個端點的位移矢量在全局坐表示兩個端點的位移矢量在全局坐標系的分量，則標系的分量，則jjiivuvu,12上

9、式可寫成上式可寫成eeRdd 坐標變換矩陣坐標變換矩陣R的具體內容為：的具體內容為：用節(jié)點坐標描述方向余弦：用節(jié)點坐標描述方向余弦：cossin00sincos0000cossin00sincosRLYYLXXijijsin,cos坐標變換矩陣坐標變換矩陣（Xi，Yi）和和（Xj，Yj）分別為節(jié)點分別為節(jié)點 i 和節(jié)和節(jié)點點 j 在全局坐標系中的坐標值在全局坐標系中的坐標值13平面內任意方向的桿單元平面內任意方向的桿單元dTd111222cossin0000cossinuuvuuv xyx122u12uu d1uxyx122v1122uvuvd2u2v2u記為記為TrT r而節(jié)點力列陣滿足而節(jié)

10、點力列陣滿足 (或或 ) rTre K dr由單元局部坐標系下的關系由單元局部坐標系下的關系可得到可得到eTT K Tdr或寫成或寫成eK drTKTKeeT其中其中1111221222,(,;,)FFFFFF rr141. 整體節(jié)點位移整體節(jié)點位移11( ,)nnu vu vd 單元節(jié)點位移：單元節(jié)點位移：總體控制方程：總體控制方程：單元集成分析單元集成分析expexp;eedT ddTd擴充矩陣擴充矩陣expT2. 整體節(jié)點力整體節(jié)點力111212(,)nnFFFFFexpeeFTFeexpeexpexpexpeexp();eeeeeeK dFTKT dTFFKdFKTK T15邊界條件邊

11、界條件全局平衡方程全局平衡方程654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk如不考慮約束條件，如不考慮約束條件，總剛度陣是奇異的總剛度陣是奇異的04321UUUU零位移約束條件零位移約束條件16邊界條件處理邊界條件處理6543216566656463626156555453525146454443424136353433323126252423222116151413121100

12、00FFFFFFUUkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk零位移約束條件代人平衡方程，得到零位移約束條件代人平衡方程，得到約束反力約束反力外載荷外載荷未知位移未知位移17對于一般的指定位移約束，可將方程分塊為對于一般的指定位移約束，可將方程分塊為acacaaaccaccFFUUKKKK其中，其中， 是指定位移，是指定位移， 是主動位移是主動位移cU654321654321666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211FFFFFFUUUUUUkkkkkkkkkkkk

13、kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk邊界條件邊界條件即即aU18在單元局部坐標系中的單元節(jié)點位移分量為在單元局部坐標系中的單元節(jié)點位移分量為sincossincos)(4)(3)(2)(2)(1)(1eeeeeeUUuUUu根據(jù)位移插值關系根據(jù)位移插值關系2211)()()(uxNuxNxu單元應變和應力單元應變和應力可給出單元軸向應變?yōu)榭山o出單元軸向應變?yōu)?()(1)(2)(2)(1)()()(2)(121)()()(11)()(ddd)(deeeeeeeeeeeeLuuuuLLuuxNxNxxxu )()(eeE由胡克定律可進一步給出單元軸向應力為由胡克定律可進一步給出單元軸向

14、應力為19)(4)(3)(2)(1)(4)(3)(2)(1)(2)(1sincos0000sincoseeeeeeeeeeUUUUUUUUuuT單元應變和應力單元應變和應力而由而由)(4)(3)(2)(121)()()()()(ddd)(deeeeeeeUUUUxNxNxxxuT)(4)(3)(2)(121)()()()()()(ddd)(deeeeeeeeUUUUxNxNxExxuEET可得到由總體坐標系位移分量表示的單元應變和單元應力可得到由總體坐標系位移分量表示的單元應變和單元應力2021有限元法有限元法(FEM)是求解是求解偏微分方程邊值問題偏微分方程邊值問題近似解的數(shù)值方法近似解的數(shù)

15、值方法uuv邊值問題邊值問題未知量未知量是由控制方程（橢圓、雙曲、拋物型）描述的場變量是由控制方程（橢圓、雙曲、拋物型）描述的場變量（如位移、溫度、流體速度等）（如位移、溫度、流體速度等）邊界條件邊界條件是給定的是給定的場變量值場變量值或者其或者其偏導數(shù)偏導數(shù)有限元法的基本概念有限元法的基本概念22有限元法的基本概念有限元法的基本概念o有限元分析的基本思想是將求解域場分成小的子區(qū)域，有限元分析的基本思想是將求解域場分成小的子區(qū)域，通常稱為通常稱為“單元單元”或或“有限元有限元”。 對每一單元假定一個對每一單元假定一個分片近似解，然后推導求解這個域總的滿足條件分片近似解，然后推導求解這個域總的滿

16、足條件(如結構如結構的平衡條件），從而得到問題的解。的平衡條件），從而得到問題的解。o有限元法方程的系數(shù)矩陣通常是有限元法方程的系數(shù)矩陣通常是稀疏稀疏的，便于求解。的，便于求解。o有限元法不僅計算精度高，而且能適應有限元法不僅計算精度高，而且能適應各種復雜形狀，各種復雜形狀，不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況不同物理特性、多變的邊界條件和任何承載情況的工程的工程結構分析問題。結構分析問題。o有限元法有限元法應用于場（力場、電場、磁場、溫度場、流體應用于場（力場、電場、磁場、溫度場、流體場等）分析、熱傳導、非線形材料的彈塑性蠕變分析等場等）分析、熱傳導、非線形材料的彈塑性蠕變分析等23(

17、a) 二維問題的幾何域二維問題的幾何域(b) 三角形單元三角形單元(c) 有限元網(wǎng)格的一部分有限元網(wǎng)格的一部分單元單元有限元網(wǎng)格有限元網(wǎng)格有限元法中的離散有限元法中的離散各種幾何形狀各種幾何形狀的有限元單元的有限元單元24三角形的頂點稱為節(jié)點（三角形的頂點稱為節(jié)點（node） 節(jié)點處的場變量（這里是溫度）將作為自變量被直接求解節(jié)點處的場變量（這里是溫度）將作為自變量被直接求解node熱傳導問題的三角形單元熱傳導問題的三角形單元1T3T2Tnode有限元法中的場變量表示有限元法中的場變量表示以平面熱傳導問題的三角形單元為例以平面熱傳導問題的三角形單元為例25除了節(jié)點外的其他各位置的點對應的場變量

18、如何確定？除了節(jié)點外的其他各位置的點對應的場變量如何確定？ 單元內部點的場變量值由單元節(jié)點的單元內部點的場變量值由單元節(jié)點的插值插值(interpolation )給出給出:iTkTjTT = ?有限元法中的場變量表示有限元法中的場變量表示kkjjiiTyxNTyxNTyxNyxT),(),(),(),( , , 和和 是插值函數(shù)，稱為是插值函數(shù)，稱為位移函數(shù)位移函數(shù)或或形函數(shù)。形函數(shù)。插值函數(shù)插值函數(shù)所包括的多項式階數(shù)越高，越能精確表示位移分布。所包括的多項式階數(shù)越高，越能精確表示位移分布。iNjNkN26常見平面單元形狀與節(jié)點數(shù)常見平面單元形狀與節(jié)點數(shù)三節(jié)點三角形單元三節(jié)點三角形單元CST

19、(CST(常應變單元常應變單元) )六節(jié)點三角形單元六節(jié)點三角形單元二次插值二次插值八節(jié)點四邊形單元八節(jié)點四邊形單元二次插值二次插值CSTCST三角形單元網(wǎng)格劃分簡單，但對于彎曲過剛；線性應變三角形元描三角形單元網(wǎng)格劃分簡單，但對于彎曲過剛；線性應變三角形元描寫彎曲性能遠優(yōu)于寫彎曲性能遠優(yōu)于CSTCST單元單元四邊形單元剖分有時比較困難，但性能較好四邊形單元剖分有時比較困難，但性能較好四節(jié)點四邊形單元四節(jié)點四邊形單元雙線性插值雙線性插值xyayaxaavxyayaxaau8765432127四節(jié)點四面體單元四節(jié)點四面體單元線性插值（常應變）線性插值（常應變）十節(jié)點四面體單元十節(jié)點四面體單元二次

20、插值（線性應變）二次插值（線性應變）八節(jié)點四面體單元八節(jié)點四面體單元LagrangeLagrange單元單元非完全三次插值非完全三次插值二十節(jié)點二十節(jié)點SerendipitySerendipity單元單元四面體單元網(wǎng)格剖分簡單，但四節(jié)點四面體精度較差四面體單元網(wǎng)格剖分簡單，但四節(jié)點四面體精度較差八面體單元精度較好，但網(wǎng)格剖分比較困難八面體單元精度較好，但網(wǎng)格剖分比較困難常見三維單元形狀與節(jié)點數(shù)常見三維單元形狀與節(jié)點數(shù)28一維單元一維單元(x)(x)(x)不同形式的單元插值不同形式的單元插值29二維單元二維單元不同形式的單元插值不同形式的單元插值30三維單元三維單元不同形式的單元插值不同形式的單元插值(x,y,z)(x,y,z)31有限元法總體思路有限元法總體思路有限元法通過加權余量法（或變分法、最小勢能原理、虛有限元法通過加權余量法（或變分法、最小勢能原理、虛功原理等）將偏微分方程轉變?yōu)榇鷶?shù)方程，便于計算機處功原理等）將偏微分方程轉變?yōu)榇鷶?shù)方程，便于