第2章 變形幾何理論

1、第第2 2章章 變形幾何理論變形幾何理論2.1 2.1 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)2.2 2.2 應(yīng)變與位移關(guān)系方程應(yīng)變與位移關(guān)系方程2.3 2.3 應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽?.4 2.4 應(yīng)變速度張量應(yīng)變速度張量2.5 2.5 主應(yīng)變圖與變形程度表示主應(yīng)變圖與變形程度表示2.1 2.1 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)n基本概念基本概念n應(yīng)變張量應(yīng)變張量n點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)n主應(yīng)變、應(yīng)變不變量、體積應(yīng)變主應(yīng)變、應(yīng)變不變量、體積應(yīng)變n球應(yīng)變張量與偏差應(yīng)變張量球應(yīng)變張量與偏差應(yīng)變張量n八面體應(yīng)變八面體應(yīng)變n應(yīng)變分量與位移分量微分關(guān)系應(yīng)變分量與位移分量微分關(guān)系剪變形或角變形單元體發(fā)生畸變正變形或線變形線尺寸的

2、伸長(zhǎng)縮短單元體的變形剪變形正變形純變形1. 1. 基本概念基本概念n物體變形時(shí)，各點(diǎn)位置的改變量稱作物體變形時(shí)，各點(diǎn)位置的改變量稱作位移位移。 2.1 2.1 點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)n位移類別：位移類別：剛性位移剛性位移，如，如平移平移、轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)變形位移變形位移：變形體內(nèi)不同點(diǎn)的位移分量不同：變形體內(nèi)不同點(diǎn)的位移分量不同物體變形時(shí)，單元體將發(fā)生形）正變形和剪變形（純變）平移、轉(zhuǎn)動(dòng)（剛體位移n正應(yīng)變正應(yīng)變( (線應(yīng)變線應(yīng)變) ): : 線元尺寸長(zhǎng)度上的變化線元尺寸長(zhǎng)度上的變化rrrrrr1rr1=r+rrXrXxxxrrX X軸分量的線應(yīng)變軸分量的線應(yīng)變XYryryy y軸分量的線應(yīng)變軸分量的

3、線應(yīng)變YYYrr相對(duì)應(yīng)變相對(duì)應(yīng)變線元伸長(zhǎng)時(shí)為正縮短為負(fù)線元伸長(zhǎng)時(shí)為正縮短為負(fù)2.2.小應(yīng)變小應(yīng)變n切應(yīng)變切應(yīng)變: : 線元方位上的改變線元方位上的改變yrtanrrxy/2- XYXYrrry角度減小角度減小取正號(hào)，增大時(shí)取負(fù)號(hào)。取正號(hào)，增大時(shí)取負(fù)號(hào)。工程剪應(yīng)變工程剪應(yīng)變 xy/2- XYYXXY= YX= XY/2xyyxxy21剪應(yīng)變剪應(yīng)變(理論剪應(yīng)變理論剪應(yīng)變) 角標(biāo)意義？角標(biāo)意義？在實(shí)際變形中在實(shí)際變形中，線元PA及PC的偏轉(zhuǎn)角度不一定相同，現(xiàn)設(shè)其實(shí)際的偏轉(zhuǎn)角度為現(xiàn)設(shè)其實(shí)際的偏轉(zhuǎn)角度為 和和yxxyxyxyyxxyXYYX（工程剪應(yīng)變）剪應(yīng)變正應(yīng)變應(yīng)變tgrrdryry首先，來(lái)看一個(gè)極

4、小的單元體經(jīng)小變形后變成了一個(gè)偏斜的平行六面體。3. 3. 質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)可以設(shè)想為單元體先平移，再進(jìn)行正應(yīng)變和剪應(yīng)變可以設(shè)想為單元體先平移，再進(jìn)行正應(yīng)變和剪應(yīng)變r(jià)XrXryryrzrzxxxrrzzzrryyyrrxyyzxzxyx、ije等九個(gè)分量可構(gòu)成一個(gè)張量，叫做相對(duì)位移張量相對(duì)位移張量zzyzxyzyyxxzxyxijexzzxzyyzyxxy,jiijee 在一般情況下，在一般情況下，即（非對(duì)稱張量）。將它分解：將它分解： 000 xyxzyzzzyzxyzyyxxzxyxije后一項(xiàng)是反對(duì)稱張量，表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，叫做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量表示剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，叫做剛體轉(zhuǎn)動(dòng)張量；前前一項(xiàng)

5、是對(duì)稱張量，表示純變形一項(xiàng)是對(duì)稱張量，表示純變形，應(yīng)變張量一般用，應(yīng)變張量一般用ij表示表示，即：zzyzxyzyyxxzxyxij便于記憶，下標(biāo)可以理解為：第一個(gè)下標(biāo)表示通過第一個(gè)下標(biāo)表示通過P P點(diǎn)單元點(diǎn)單元體的棱邊（線元）的方向，第二個(gè)下標(biāo)表示該線元的變形方體的棱邊（線元）的方向，第二個(gè)下標(biāo)表示該線元的變形方向。向。應(yīng)變張量應(yīng)變張量 正應(yīng)變或線應(yīng)變正應(yīng)變或線應(yīng)變 伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)；伸長(zhǎng)為正，縮短為負(fù)； 剪應(yīng)變或切應(yīng)變剪應(yīng)變或切應(yīng)變 夾角減小為正，增大為負(fù)。夾角減小為正，增大為負(fù)。思考n物體變形單元體發(fā)生哪些位移？n工程剪應(yīng)變、理論剪應(yīng)變區(qū)別？n應(yīng)變張量下標(biāo)意義？與應(yīng)力張量下標(biāo)意義有何不

6、同？3-3 3-3 位移分量和小變形幾何方程位移分量和小變形幾何方程物體內(nèi)任意一點(diǎn)的位移矢量為u u，在三個(gè)坐標(biāo)軸方向的位移分量u u、v v、w w。)()()()(zyxuuzyxwwzyxvvzyxuuii、或、jiijxueije上式即可定義一物體內(nèi)的位移場(chǎng)。上式即可定義一物體內(nèi)的位移場(chǎng)。位移分量的偏導(dǎo)數(shù)就是相對(duì)位移張量位移分量的偏導(dǎo)數(shù)就是相對(duì)位移張量的分量，也即的分量，也即 zwzvzuywyvyuxwxvxuzzyzxyzyyxxzxyx)(2121jiijijjiijrr可知：ji ( )剪應(yīng)變(理論剪應(yīng)變) 得到小應(yīng)變分量和位移分量的關(guān)系：得到小應(yīng)變分量和位移分量的關(guān)系：)(2

7、1;)(21;)(21;xvyuzwzuxwyvywzvxuyxxyzxzzxyzyyzx簡(jiǎn)記為：簡(jiǎn)記為：)(21ijjiijxuxu小應(yīng)變分量也是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，它可以確定物體中的應(yīng)變張量場(chǎng)。上式叫做小應(yīng)變幾何方程上式叫做小應(yīng)變幾何方程，坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，確定應(yīng)變張量場(chǎng)。如物體中的位移場(chǎng)為已知，則可由幾何方程求得小應(yīng)變分量。ij3-4 3-4 變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。什么叫變形連續(xù)方程或協(xié)調(diào)方程。六個(gè)應(yīng)變分量有六個(gè)應(yīng)變分量有（取決于三個(gè)位移分量對(duì)（取決于三個(gè)位移分量對(duì)x x、y y、z z的偏導(dǎo)）的偏導(dǎo)）有有一定的關(guān)系一定的關(guān)系，才能保證物體中的所有單元體在變形之后才能保

8、證物體中的所有單元體在變形之后仍然可以連續(xù)地組合起來(lái)。仍然可以連續(xù)地組合起來(lái)。)(21)(21)(21222222222222222zxxzyzzyxyyxxzzxzyyzyxxy 上式表示了在每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量的關(guān)系。上式表示了在每個(gè)坐標(biāo)平面內(nèi)應(yīng)變分量的關(guān)系。同理得：yxzyxzxzyxzyzyxzyxzxyzxyzyzxyzxyxyzxyzx222)()()(表示了表示了不同平面中應(yīng)變分量之間的關(guān)系。不同平面中應(yīng)變分量之間的關(guān)系。 1.1.物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系物理意義：表示各應(yīng)變分量之間的相互關(guān)系“連續(xù)連續(xù)協(xié)調(diào)協(xié)調(diào)”即變形體在變形過程中不開裂，不堆積；即變形體在變形過

9、程中不開裂，不堆積； 2.2.應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中應(yīng)變協(xié)調(diào)方程說明：同一平面上的三個(gè)應(yīng)變分量中有兩個(gè)確定，則第三個(gè)也就能確定；在三維空間內(nèi)有兩個(gè)確定，則第三個(gè)也就能確定；在三維空間內(nèi) 三個(gè)切應(yīng)變分量如果確三個(gè)切應(yīng)變分量如果確 定，則正應(yīng)變分量也就可以定，則正應(yīng)變分量也就可以確定；確定； 3.3.如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量如果已知位移分量，則按幾何方程求得的應(yīng)變分量自然滿足協(xié)調(diào)方程自然滿足協(xié)調(diào)方程；若是按其它方法求得的應(yīng)變分；若是按其它方法求得的應(yīng)變分量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。量，則必須校驗(yàn)其是否滿足連續(xù)性條件。 思考n變形協(xié)調(diào)方程的物理意義是

10、什么？變形協(xié)調(diào)方程的物理意義是什么？n如何判斷應(yīng)變場(chǎng)是否存在？如何判斷應(yīng)變場(chǎng)是否存在？例例 設(shè)設(shè)其中其中a a，b b為常數(shù)，試問上述應(yīng)變場(chǎng)在什么情況下成立？為常數(shù)，試問上述應(yīng)變場(chǎng)在什么情況下成立？解：解：)(22yxaxaxyybyzxy2ayx222022xybyxxy22babayxxyxyyx22)02(21)(2122222當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，a=-2b，上式成立，應(yīng)變場(chǎng)成立。，上式成立，應(yīng)變場(chǎng)成立。3-5 3-5 塑性變形時(shí)的體積不變條件塑性變形時(shí)的體積不變條件設(shè)單元體初始邊長(zhǎng)為設(shè)單元體初始邊長(zhǎng)為dxdx、dydy、dzdz，則變形前的體，則變形前的體積為積為變形后的體積為變形后的體積為

11、dxdydzV 0dxdydzdzdydxvzyxzyx)1 ()1 ()1 ()1 (1)(0001忽略彈性變形zyxvvv0zyx當(dāng)塑性變形時(shí)，變形物體變形前后的當(dāng)塑性變形時(shí)，變形物體變形前后的體積保持不變，即體積保持不變，即3-6 3-6 主應(yīng)變、應(yīng)變張量的不變量，主剪應(yīng)變和最主應(yīng)變、應(yīng)變張量的不變量，主剪應(yīng)變和最大剪應(yīng)變大剪應(yīng)變通過一點(diǎn)，存在三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主方向（主軸），在主方通過一點(diǎn)，存在三個(gè)相互垂直的應(yīng)變主方向（主軸），在主方向上的線元沒有角度偏轉(zhuǎn)，只有正應(yīng)變。向上的線元沒有角度偏轉(zhuǎn)，只有正應(yīng)變。如果取正應(yīng)變主軸為如果取正應(yīng)變主軸為坐標(biāo)軸，則應(yīng)變張量就簡(jiǎn)化為：坐標(biāo)軸，則應(yīng)變張量

12、就簡(jiǎn)化為：321000000ij主應(yīng)變圖主應(yīng)變圖032213III03211zyxI應(yīng)變張量的特征方程：應(yīng)變張量的特征方程：應(yīng)變張量的第一不變量：應(yīng)變張量的第二不變量：)()(1332212222zxyzxyxzzyyxI）（應(yīng)變張量的第三不變量：3212223)(2xyzzxyyzxzxyzxyzyxI)(21)(21)(21133132232112在與應(yīng)變主方向成在與應(yīng)變主方向成4545角的方向上，存在三對(duì)各面相互垂直角的方向上，存在三對(duì)各面相互垂直的線元的線元。它們的剪應(yīng)變有極值。叫做。它們的剪應(yīng)變有極值。叫做主剪應(yīng)變主剪應(yīng)變。321)(2131max如 塑性力學(xué)圖變形體內(nèi)一點(diǎn)的變形體內(nèi)

13、一點(diǎn)的主應(yīng)力圖與主應(yīng)變圖結(jié)合構(gòu)成變形力學(xué)圖主應(yīng)力圖與主應(yīng)變圖結(jié)合構(gòu)成變形力學(xué)圖。它形。它形象地反映了該點(diǎn)主應(yīng)力、主應(yīng)變有無(wú)和方向。主應(yīng)力圖有象地反映了該點(diǎn)主應(yīng)力、主應(yīng)變有無(wú)和方向。主應(yīng)力圖有9種可種可能，主應(yīng)變有能，主應(yīng)變有3種可能，二者組合，則有種可能，二者組合，則有27種可能的變形力學(xué)圖種可能的變形力學(xué)圖。但單拉、單壓應(yīng)力狀態(tài)只可能分別對(duì)應(yīng)一種變形圖，所以實(shí)際但單拉、單壓應(yīng)力狀態(tài)只可能分別對(duì)應(yīng)一種變形圖，所以實(shí)際變形力學(xué)圖應(yīng)該只有變形力學(xué)圖應(yīng)該只有23種組合方式。種組合方式。討論：球應(yīng)變張量與偏差應(yīng)變張量球應(yīng)變張量與偏差應(yīng)變張量n平均線應(yīng)變平均線應(yīng)變 000000ijmijmzzyzxyz

14、myyxxzxymxmmmzzyzxyzyyxxzxyxij3zyxm球應(yīng)變張量球應(yīng)變張量 應(yīng)變偏張量應(yīng)變偏張量應(yīng)變偏張量表示形狀變化，球應(yīng)變張量表示體積變化，塑性應(yīng)變偏張量表示形狀變化，球應(yīng)變張量表示體積變化，塑性變形時(shí)，體積不變變形時(shí)，體積不變，即即0m應(yīng)變偏張量即是應(yīng)變張量應(yīng)變偏張量即是應(yīng)變張量3-7 3-7 應(yīng)變偏張量和球張量，八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變應(yīng)變偏張量和球張量，八面體應(yīng)變和等效應(yīng)變 例例 . .試求平面應(yīng)變情況下的應(yīng)變分量的不變量及主應(yīng)變表達(dá)試求平面應(yīng)變情況下的應(yīng)變分量的不變量及主應(yīng)變表達(dá)式。式。00000yxyxxy平平面面應(yīng)應(yīng)變變解解: : yxI1yxyxI2203I032

15、213III0)()(223yxyxyx264)(221yxxyyxyx264)(223yxxyyxyx02八面體應(yīng)變八面體應(yīng)變n在正八面體的平面的法線方向線元的應(yīng)變?cè)谡嗣骟w的平面的法線方向線元的應(yīng)變稱為稱為八面體應(yīng)變八面體應(yīng)變n八面體線應(yīng)變八面體線應(yīng)變 n八面體切應(yīng)變八面體切應(yīng)變mzyx)(31)(3132182132322212222228)()()(31)(6)()()(31zxyzxyxzzyyx等效應(yīng)變等效應(yīng)變2132322212222228)()()(32)(6)()()(322zxyzxyxzzyyx單向拉伸時(shí)，主應(yīng)變?yōu)閱蜗蚶鞎r(shí)，主應(yīng)變?yōu)? 1及及1322112121)23(

16、)23(32例題例題設(shè)物體中任意一點(diǎn)的位移分量設(shè)物體中任意一點(diǎn)的位移分量u u10101010-3-3 +0.1 +0.11010-3-3xy+0.05xy+0.051010-3-3z; z; v=5v=51010-3-3-0.05-0.051010-3-3 x +0.1 x +0.11010-3-3yz, yz, w=10w=101010-3-3-0.1-0.11010-3-3xyzxyz，求點(diǎn)求點(diǎn)A A（1 1，1 1，1 1）與）與B B（0.50.5，1 1，0 0）的應(yīng)變分量、應(yīng)變球）的應(yīng)變分量、應(yīng)變球張量，主應(yīng)變不變量，八面體應(yīng)變，等效應(yīng)變。張量，主應(yīng)變不變量，八面體應(yīng)變，等效應(yīng)變

17、。解：解： yxx3101 . 0zyy3101 . 0 xyzz3101 . 0 3310025. 01005. 0)(21xxyyxxyxzyyzyz331005. 01005. 0)(21yzyzxyz331005. 010025. 0)(21將將A(1,1,1)A(1,1,1)代入上式：代入上式：3333333101 . 0010025. 00101 . 010025. 010025. 010025. 0101 . 0A對(duì)于點(diǎn)對(duì)于點(diǎn)A A：41031)(31zyxmA444103100010310001031mAij31101 . 0zyxI8222210125. 1)()(zxyzx

18、yxzzyyxI123101I481031)(31zyx522222281086. 9)(6)()()(31zxyzxyxzzyyx481039. 123-83-8應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量應(yīng)變?cè)隽亢蛻?yīng)變速率張量一、全量應(yīng)變和應(yīng)變?cè)隽康幕靖拍钜?、全量?yīng)變和應(yīng)變?cè)隽康幕靖拍钋懊嫠懻摰膽?yīng)變是反映單元體在某一變形過程終某一變形過程終了了時(shí)的變形大小，稱作全量應(yīng)變?nèi)繎?yīng)變。其度量基準(zhǔn)是用變形其度量基準(zhǔn)是用變形以前的原始尺寸以前的原始尺寸。而增量應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變則是指變形過程中某一極某一極短階段短階段的無(wú)限小應(yīng)變，其度量基準(zhǔn)不是原始尺寸，而是其度量基準(zhǔn)不是原始尺寸，而是用變形過程中某一瞬間的尺寸。用變形過

19、程中某一瞬間的尺寸。彈性變形是線性可逆的彈性變形是線性可逆的，應(yīng)變狀態(tài)與應(yīng)力狀態(tài)同步，與加載過程無(wú)關(guān)。而塑性變形是非線性不可逆的而塑性變形是非線性不可逆的。加載時(shí)產(chǎn)生新的塑性變形，卸載時(shí)已產(chǎn)生的塑性變形不隨應(yīng)力而變。因此塑性因此塑性變形是歷次變形的疊加結(jié)果，并不一變形是歷次變形的疊加結(jié)果，并不一定是單值地對(duì)應(yīng)于應(yīng)力狀態(tài)定是單值地對(duì)應(yīng)于應(yīng)力狀態(tài)，或者說與應(yīng)力狀態(tài)不同步，因此全量應(yīng)變?cè)谝虼巳繎?yīng)變?cè)谒苄宰冃沃械膽?yīng)用受到很大限制塑性變形中的應(yīng)用受到很大限制。 經(jīng)物體在變形過程中某瞬時(shí)的形狀尺寸為原始狀態(tài)，在此經(jīng)物體在變形過程中某瞬時(shí)的形狀尺寸為原始狀態(tài)，在此基礎(chǔ)上發(fā)生的無(wú)限小應(yīng)變就是基礎(chǔ)上發(fā)生的無(wú)限

20、小應(yīng)變就是應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)變?cè)隽俊?(tzyxuuii、)(tzyxutuuii、在描述整個(gè)變形過程時(shí)，引入時(shí)間參數(shù) )(tzyxudtduuii、 速度場(chǎng) 二、應(yīng)變?cè)龆?、?yīng)變?cè)隽苛?dtuduii （位移增量的分量）應(yīng)變?cè)隽颗c位移增量之間的關(guān)系，也即幾何方程。)()(21jiijijduxduxdzzyzxyzyyxxzxyxijddddddddddjiijddijdij應(yīng)當(dāng)指出：塑性變形過程中某瞬時(shí)的應(yīng)變?cè)隽繎?yīng)當(dāng)指出：塑性變形過程中某瞬時(shí)的應(yīng)變?cè)隽?是當(dāng)時(shí)具體變形條件下是當(dāng)時(shí)具體變形條件下的無(wú)限小應(yīng)變，描寫的是瞬時(shí)情況和過程；而當(dāng)時(shí)的全量應(yīng)變的無(wú)限小應(yīng)變，描寫的是瞬時(shí)情況和過程；而當(dāng)時(shí)的全量應(yīng)變

21、 則是則是 該瞬時(shí)以前的變形積累的結(jié)果，只能描寫變形的起始近似結(jié)果。該瞬時(shí)以前的變形積累的結(jié)果，只能描寫變形的起始近似結(jié)果。 321ddd、應(yīng)變?cè)隽亢托?yīng)變張量一樣，具有三個(gè)主方向，三個(gè)主應(yīng)變?cè)隽咳齻€(gè)不變量，三對(duì)主剪應(yīng)變?cè)隽?、偏張量、球張量、等效?yīng)變?cè)隽康取Ｈ?、?yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量)()(21dtuxdtuxdjiijij)(21ijjiijijxuxudtd 一點(diǎn)的應(yīng)變速率也是二階對(duì)稱張量zzyzxyzyyxxzxyxij應(yīng)變速率表示單位時(shí)間的應(yīng)變，即變形速度。區(qū)別：區(qū)別：思考n塑性變形的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系為何要用增量理論？n應(yīng)變?cè)隽颗c全量應(yīng)變的區(qū)別？一、平面應(yīng)變狀態(tài)一、平面應(yīng)變狀態(tài)n變形物體

22、在某一方向不產(chǎn)生變形，稱為平面變形，其應(yīng)力變形物體在某一方向不產(chǎn)生變形，稱為平面變形，其應(yīng)力狀態(tài)稱為平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)。狀態(tài)稱為平面應(yīng)變狀態(tài)下的應(yīng)力狀態(tài)。n平面應(yīng)變的應(yīng)力狀態(tài)特點(diǎn)平面應(yīng)變的應(yīng)力狀態(tài)特點(diǎn) 1 1）不產(chǎn)生變形的方向?yàn)橹鞣较颍c該方向垂直的平面上沒有）不產(chǎn)生變形的方向?yàn)橹鞣较?，與該方向垂直的平面上沒有切應(yīng)力；切應(yīng)力；2 2）在該方向有阻止變形的正應(yīng)力；）在該方向有阻止變形的正應(yīng)力；3 3）有應(yīng)力分量沿該軸均勻分布，即與該軸無(wú)關(guān)。）有應(yīng)力分量沿該軸均勻分布，即與該軸無(wú)關(guān)。 zyyxxyx0000ij3-93-9平面變形問題和軸對(duì)稱問題平面變形問題和軸對(duì)稱問題1）變形體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在

23、與某一方向垂直的平面上變形體內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在與某一方向垂直的平面上沒有應(yīng)變作用，所有質(zhì)點(diǎn)都是兩向應(yīng)力狀態(tài)，沒有應(yīng)變作用，所有質(zhì)點(diǎn)都是兩向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)該方向?yàn)樵O(shè)該方向?yàn)閦 z軸。軸。 則則zxzyz0， 只有只有 x、 y、xy三個(gè)應(yīng)力分量。三個(gè)應(yīng)力分量。 x=- y 2）各應(yīng)力分量與各應(yīng)力分量與z z軸無(wú)關(guān)，整個(gè)物體的應(yīng)變分布可軸無(wú)關(guān)，整個(gè)物體的應(yīng)變分布可以在以在xyxy坐標(biāo)平面上表示出來(lái)。坐標(biāo)平面上表示出來(lái)。 2/)(,0213mzzyzX以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸時(shí)以應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸時(shí)，則0000200022121ijmmm000000 + ij3J若已知應(yīng)力狀態(tài) ，可用判別塑性變形的類型：如3J0對(duì)

24、應(yīng)于廣義拉伸變形；3J=0對(duì)應(yīng)于廣義剪切變形； 3J0對(duì)應(yīng)于廣義壓縮變形。軸對(duì)稱狀態(tài)的幾何方程通過軸線子午面平面通過軸線子午面平面0z應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性應(yīng)力應(yīng)變分析的相似性與差異性相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相相似性：張量表示、張量分析、張量關(guān)系相似似 mijijIIIzyxji,), (88max321321mijijJJJzyxji,), (88max321321概念：概念： 應(yīng)力應(yīng)力 研究面元研究面元ds 上力的集度上力的集度 應(yīng)變應(yīng)變 研究線元研究線元dl 的變化情況的變化情況 v內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力內(nèi)部關(guān)系：應(yīng)力應(yīng)力平衡微分方程應(yīng)力平衡微分方程 應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程應(yīng)變連續(xù)（協(xié)調(diào)）方程 彈性變形：相容方程彈性變形：相容方程 塑性變形：體積不變條件塑性變形：體積不變條件 差異性：差異性：等效關(guān)系等效關(guān)系：v等效應(yīng)力等效應(yīng)力彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同彈性變形和塑性變形表達(dá)式相同v等效應(yīng)變等效應(yīng)變彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同彈性變形和塑性變形表達(dá)式不相同 對(duì)于彈性變形：對(duì)于彈性變形： （ 泊松比泊松比( (材料在單向受拉或受壓時(shí)，橫向正應(yīng)變與軸向材料在單向受拉或受壓時(shí)，橫向正應(yīng)變與軸向正應(yīng)變的絕對(duì)值