現(xiàn)代信號處理第5章ppt課件

1、現(xiàn)代信號處置技術(shù)及運(yùn)用現(xiàn)代信號處置技術(shù)及運(yùn)用Modern Signal Processing Technology and Its Application 何正嘉何正嘉 訾艷陽訾艷陽 張西寧張西寧 西西 安安 交交 通通 大大 學(xué)學(xué) 西安交通大學(xué)研討生創(chuàng)新教育系列教材西安交通大學(xué)研討生創(chuàng)新教育系列教材 第五章第五章 非平穩(wěn)信號處置方法非平穩(wěn)信號處置方法 經(jīng)典的傅里葉分析可以完美地描畫平穩(wěn)的正弦信號及其組合，經(jīng)典的傅里葉分析可以完美地描畫平穩(wěn)的正弦信號及其組合，但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號的特征。但不能恰當(dāng)?shù)胤从撤瞧椒€(wěn)信號的特征。 許多隨機(jī)過程從本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的，例如語音信號、沖許多隨機(jī)過程從

2、本質(zhì)上來講是非平穩(wěn)的，例如語音信號、沖擊呼應(yīng)信號擊呼應(yīng)信號 、機(jī)組啟、停機(jī)信號等。、機(jī)組啟、停機(jī)信號等。 必需尋覓既可以反映時(shí)域特征又可以反映頻域特征的新方法。必需尋覓既可以反映時(shí)域特征又可以反映頻域特征的新方法。本章引見短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)本章引見短時(shí)傅里葉變換、小波變換和小波包分析等非平穩(wěn)信號分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的運(yùn)用。信號分析方法的原理、特點(diǎn)及其在工程中的運(yùn)用。第五章第五章 非平穩(wěn)信號處置方法非平穩(wěn)信號處置方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程

3、運(yùn)用工程運(yùn)用 第五章第五章 非平穩(wěn)信號處置方法非平穩(wěn)信號處置方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程運(yùn)用工程運(yùn)用 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù)傅里葉變換用平穩(wěn)的正弦波作為基函數(shù) ，經(jīng)過內(nèi)積，經(jīng)過內(nèi)積運(yùn)算去變換信號運(yùn)算去變換信號 ，得到其頻譜，得到其頻譜 。(5.1.1)(5.1.1)這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。這一變換建立了一個(gè)從時(shí)域到頻域的譜分析通道。頻譜頻譜X(f) X(f) 顯示了用正弦基函數(shù)分解出顯示了用正弦基函數(shù)分解出x

4、(t) x(t) 中任一正弦中任一正弦頻率頻率f f 的總強(qiáng)度。的總強(qiáng)度。傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率傅里葉譜分析提供了平均的頻譜系數(shù)，只與頻率f f 有關(guān)，有關(guān)，而與時(shí)間而與時(shí)間t t無關(guān)。無關(guān)。傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的傅里葉分析還要求所分析的隨機(jī)過程是平穩(wěn)的. . 19461946年年GaborGabor提出了窗口傅里葉變換，稱為短時(shí)傅里葉變提出了窗口傅里葉變換，稱為短時(shí)傅里葉變換換Short Time Fourier Transform, STFTShort Time Fourier Transform, STFT。 ftje 2)(tx( )X f2 2

5、2 ( )( )( )() d( ), jftjftjftX fx t edtx t etx te 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 由加窗信號由加窗信號 的傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。的傅里葉變換產(chǎn)生短時(shí)傅里葉變換。(5.1.2)(5.1.2) 是中心位于是中心位于 ，高度為，高度為 1 1、寬度有限的時(shí)窗函數(shù)，、寬度有限的時(shí)窗函數(shù)，經(jīng)過經(jīng)過 所察看到的信號所察看到的信號 的部分是的部分是 。 是是 STFT STFT的基函數(shù)。的基函數(shù)。 )()(thtxftjftjftjxethtxtethtxtethtxfSTFT2 22*)(),(d)()(d )( )() ,()(th0)(t

6、h)(tx)()(thtxtx(t)h(t)h(t-)x(t)h(t)01ftjeth2)( 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 窗函數(shù)窗函數(shù) 的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。的選取是關(guān)鍵。最優(yōu)窗函數(shù)是高斯函數(shù)。 (5.1.3)(5.1.3) 高斯窗函數(shù)的外形是：高斯窗函數(shù)的外形是： 1 1 ，1/4 1/4 ，1/161/16 )(th4221)(tGeth05.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換給定窗函數(shù)給定窗函數(shù) 和它的傅里葉變換和它的傅里葉變換 ，那么帶寬，那么帶寬 為為 (5.1.4)(5.1.4)STFTSTFT的頻率分辨率是的頻率分辨率是 。兩個(gè)正弦波之間的頻率間隔大。兩個(gè)正

7、弦波之間的頻率間隔大于于 ，那么可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。，那么可區(qū)分這兩個(gè)正弦波。STFTSTFT的時(shí)間分辨率是的時(shí)間分辨率是 ，有，有(5.1.5)(5.1.5)兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于兩個(gè)脈沖的時(shí)間間隔大于 ，那么可區(qū)分這兩個(gè)脈沖。，那么可區(qū)分這兩個(gè)脈沖。 )(th)( fHfffHffHffd)(d)()(2222ffttthtthttd)(d)()(2222t5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換時(shí)間分辨率時(shí)間分辨率 和頻率分辨率和頻率分辨率 不能夠同時(shí)恣意小，根據(jù)不能夠同時(shí)恣意小，根據(jù)Heisenberg不確定性原理，有以下限制不確定性原理，有以下限制(5.1.6)上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯

8、窗函數(shù)，等式成立。上式中，當(dāng)且僅當(dāng)采用了高斯窗函數(shù)，等式成立。時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定，那么時(shí)間分辨率和頻率分辨率一旦確定，那么STFT在整個(gè)時(shí)在整個(gè)時(shí)頻平面上的時(shí)頻分辨率堅(jiān)持不變。頻平面上的時(shí)頻分辨率堅(jiān)持不變。短時(shí)傅里葉變換可以分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號，其根底是傅里短時(shí)傅里葉變換可以分析非平穩(wěn)動(dòng)態(tài)信號，其根底是傅里葉變換，更適宜分析準(zhǔn)平穩(wěn)葉變換，更適宜分析準(zhǔn)平穩(wěn)(quasi-stationary)信號。信號。反映信號高頻成份需求用窄時(shí)窗，而反映信號低頻成份需反映信號高頻成份需求用窄時(shí)窗，而反映信號低頻成份需求用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿足這些要求。求用寬時(shí)窗。短時(shí)傅里葉變換不能同時(shí)滿足

9、這些要求。 ft41ft第五章第五章 非平穩(wěn)信號處置方法非平穩(wěn)信號處置方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程運(yùn)用工程運(yùn)用 5.2 小波變換小波變換近年來在工具和方法上有艱苦突破的小波變換，為非平穩(wěn)近年來在工具和方法上有艱苦突破的小波變換，為非平穩(wěn)信號分析展現(xiàn)了愉快的前景。信號分析展現(xiàn)了愉快的前景?！靶〔ň褪切〉牟ㄐ?。所謂小波就是小的波形。所謂“小是指部分非零，波形具小是指部分非零，波形具有衰減性；有衰減性；“波那么是指它具有動(dòng)搖性，包含有頻率的波那么是指它具有動(dòng)搖性，包含有頻率的特性。

10、特性。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。小波分析的思想來源于伸縮和平移方法。 1910年年A. Haar提出的規(guī)范正交系提出的規(guī)范正交系 1984年，年，J. Morlet在分析地震數(shù)據(jù)的部分性時(shí)引進(jìn)了小在分析地震數(shù)據(jù)的部分性時(shí)引進(jìn)了小波概念。波概念。 1986年，年，Y. Meyer構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，構(gòu)造出二進(jìn)伸縮、平移小波基函數(shù)，掀起小波研討熱潮。掀起小波研討熱潮。 1987年，年，S. G. Mallat將多分辨思想引入小波分析，提將多分辨思想引入小波分析，提出快速塔形算法。出快速塔形算法。 1988年，年，I. Daubechies構(gòu)造了緊支集正交小波基，完善構(gòu)造了緊支

11、集正交小波基，完善小波實(shí)際體系。小波實(shí)際體系。 1989到到1991年，年，R. R. Coifman、M. V. Wickerhauser等等提出小波包及算法。提出小波包及算法。 1997年，年，W. Sweldens提出第二代小波變換的概念和算提出第二代小波變換的概念和算法。法。近一個(gè)世紀(jì)，特別是近二十年來，小波實(shí)際和算法開展突近一個(gè)世紀(jì)，特別是近二十年來，小波實(shí)際和算法開展突飛猛進(jìn)。為信號處置領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一飛猛進(jìn)。為信號處置領(lǐng)域里各自獨(dú)立開發(fā)的方法建立了一個(gè)一致的框架個(gè)一致的框架5.2 小波變換小波變換由根本小波或母小波由根本小波或母小波 經(jīng)過伸縮經(jīng)過伸縮 a 和平移和

12、平移 b 產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)產(chǎn)生一個(gè)函數(shù)族族 稱為小波。有稱為小波。有(5.2.1) 式中式中 是尺度因子，是尺度因子， ， 是時(shí)移因子。是時(shí)移因子。 ，波形收，波形收縮；縮； ，波形伸展。，波形伸展。 保證在不同的保證在不同的 值下，即在小波函數(shù)的伸縮過程中能值下，即在小波函數(shù)的伸縮過程中能量堅(jiān)持相等。量堅(jiān)持相等。信號信號 的小波變換為的小波變換為(5.2.2)小波變換是用小波基函數(shù)小波變換是用小波基函數(shù) 替代傅里葉變換中的基函數(shù)替代傅里葉變換中的基函數(shù) 以及短時(shí)傅里葉變以及短時(shí)傅里葉變換中的基函數(shù)換中的基函數(shù) 而進(jìn)展的內(nèi)積運(yùn)算。而進(jìn)展的內(nèi)積運(yùn)算。 小波變換的本質(zhì)就是以基函數(shù)小波變換的本質(zhì)就是以基

13、函數(shù) 的方式將信號的方式將信號 分解為分解為不同頻帶的子信號。不同頻帶的子信號。 ( ) t)( ,tab abtatab2/1 ,)(a0ab1a1a)(tx2/1aa( ) tftje2ftjeth2)( )(txabt)( ),(d)()() ,(,*2/1ttxtabttxaabWTabx5.2 小波變換小波變換對信號對信號 進(jìn)展小波變換相當(dāng)于經(jīng)過小波的尺度因子和時(shí)進(jìn)展小波變換相當(dāng)于經(jīng)過小波的尺度因子和時(shí)移因子變化去察看信號。移因子變化去察看信號。小波變換的部分化是變化的，在高頻處時(shí)間分辨率高，頻小波變換的部分化是變化的，在高頻處時(shí)間分辨率高，頻率分辨率低；在低頻處時(shí)間分辨率低，頻率分

14、辨率高，即率分辨率低；在低頻處時(shí)間分辨率低，頻率分辨率高，即具有具有“變焦的性質(zhì)，也就是具有自順應(yīng)窗的性質(zhì)。變焦的性質(zhì)，也就是具有自順應(yīng)窗的性質(zhì)。 )(tx尺尺度度 時(shí)寬減小頻寬增大時(shí)寬減小頻寬增大 時(shí)寬增大頻寬減小時(shí)寬增大頻寬減小t平平 移移 bccdda5.2 小波變換小波變換式式(5.2.2) 經(jīng)過變量置換可改寫為經(jīng)過變量置換可改寫為(5.2.3)隨著尺度因子隨著尺度因子 的改動(dòng)，經(jīng)過一個(gè)恒定的濾波器的改動(dòng)，經(jīng)過一個(gè)恒定的濾波器 察看到被伸展或緊縮了的信號波形察看到被伸展或緊縮了的信號波形 。尺度因子解釋了信號在變換過程中尺度的變化，用大尺度尺度因子解釋了信號在變換過程中尺度的變化，用大

15、尺度可察看信號的總體，用小尺度可察看信號的細(xì)節(jié)?？刹炜葱盘柕目傮w，用小尺度可察看信號的細(xì)節(jié)。式式(5.2.3)解釋了為什么在解釋了為什么在S. G. Mallat的小波信號分解塔形的小波信號分解塔形快速算法中，一直運(yùn)用同樣的低通與高通濾波器的道理?？焖偎惴ㄖ?，一直運(yùn)用同樣的低通與高通濾波器的道理。 a)/(abt )(atx)( ),(d)()() ,(2/1*2/1abtatxatabtatxaabWTx5.2 小波變換小波變換小波函數(shù)族還可采用如下定義：小波函數(shù)族還可采用如下定義： (5.2.4)優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以堅(jiān)持各優(yōu)點(diǎn)是在不同尺度下可以堅(jiān)持各 的頻譜中幅頻特性的頻譜中幅頻特性大小

16、一致。由于大小一致。由于 設(shè)設(shè) 的傅里葉變換是的傅里葉變換是 ，那么，那么 的傅里葉變換是的傅里葉變換是與與 相比，只需頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒有變化。相比，只需頻率坐標(biāo)比例變化，幅度沒有變化。 參見參見p48性質(zhì)性質(zhì)(4) abtatab1)(,)(,tab)(t)()()(1aaaa)()/(1ata5.2 小波變換小波變換式式(5.2.2)的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是由于的內(nèi)積運(yùn)算可以用卷積運(yùn)算來表示。這是由于內(nèi)積：內(nèi)積： 5.2.4) 卷積：卷積： 或記作或記作 兩式相比較，只是將兩式相比較，只是將 改成改成 ，即，即 首尾對調(diào)。首尾對調(diào)。假設(shè)假設(shè) 是關(guān)于是關(guān)于 的對稱函數(shù)，那

17、么計(jì)算結(jié)果無區(qū)別；的對稱函數(shù)，那么計(jì)算結(jié)果無區(qū)別； 假設(shè)是非對稱，在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。假設(shè)是非對稱，在計(jì)算方法上也無本質(zhì)區(qū)別。tttxttxd)()()( ),(*d)()()()(*txttxtttxd)()(*)(t)()(tt)(t)(t0t5.2 小波變換小波變換當(dāng)機(jī)器發(fā)生缺點(diǎn)時(shí)，信號所包含機(jī)器不同零部件的缺點(diǎn)特當(dāng)機(jī)器發(fā)生缺點(diǎn)時(shí)，信號所包含機(jī)器不同零部件的缺點(diǎn)特征頻率分布在不同的頻帶里。征頻率分布在不同的頻帶里。如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)的早期診斷問如何提取這些被淹沒的微弱信息而實(shí)現(xiàn)缺點(diǎn)的早期診斷問題，往往使傳統(tǒng)的信號分析技術(shù)無能為力。題，往往使傳統(tǒng)的信號分析技術(shù)無能

18、為力。 小波變換可以實(shí)現(xiàn)信號在不同頻帶、不同時(shí)辰的合理分別。小波變換可以實(shí)現(xiàn)信號在不同頻帶、不同時(shí)辰的合理分別。這種分別相當(dāng)于同時(shí)運(yùn)用一個(gè)低通濾波器和假設(shè)干個(gè)帶通這種分別相當(dāng)于同時(shí)運(yùn)用一個(gè)低通濾波器和假設(shè)干個(gè)帶通濾波器而不喪失任何原始信息。濾波器而不喪失任何原始信息。為機(jī)器零部件缺點(diǎn)特征頻率的分別、微弱信息的提取以實(shí)為機(jī)器零部件缺點(diǎn)特征頻率的分別、微弱信息的提取以實(shí)現(xiàn)早期缺點(diǎn)診斷提供了高效、有力的工具?，F(xiàn)早期缺點(diǎn)診斷提供了高效、有力的工具。特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波特別要強(qiáng)調(diào)，這些優(yōu)點(diǎn)來自小波變換的多分辨分析和小波基函數(shù)的正交性?；瘮?shù)的正交性。5.2 小波變換小波變換

19、5.2.1 多分辨分析及其工程意義多分辨分析及其工程意義在平方可積實(shí)數(shù)空間在平方可積實(shí)數(shù)空間 的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間的多分辨分析是指存在一系列的閉子空間 ， 代表分辨率為代表分辨率為 的多分辨分析子空間的多分辨分析子空間 是是 在在 中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：中的正交補(bǔ)空間。這些子空間具有以下性質(zhì)：1) 一致單調(diào)性：一致單調(diào)性： (5.2.7)性質(zhì)性質(zhì)1)闡明分辨率為闡明分辨率為 的子空間的子空間 中的逼近信號包含了分辨率為中的逼近信號包含了分辨率為 的的子空間子空間 的信息以及分辨率低于的信息以及分辨率低于 的一切信息。這也稱為因果性質(zhì)。的一切信息。這也稱為因果性

20、質(zhì)。2) 漸近完全性：漸近完全性： (5.2.8)性質(zhì)性質(zhì)2)闡明一切子空間組成闡明一切子空間組成 函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號函數(shù)空間。隨著分辨率的提高，逼近信號就更接近原始信號；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號所包含的信息就就更接近原始信號；反之，隨著分辨率的降低，逼近信號所包含的信息就越來越少。因此，在以分辨率為越來越少。因此，在以分辨率為 時(shí)得到的逼近信號與原始信號相比較，時(shí)得到的逼近信號與原始信號相比較，將會(huì)喪失部分信息。將會(huì)喪失部分信息。)(2RL ZjjV jWjV1jV;101VVVjVj212j1jVj2jVj2);(2RLVZjj ;0ZjjV)(2RLj25.2

21、小波變換小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義多分辨分析及其工程意義3) 伸縮規(guī)那么性：伸縮規(guī)那么性： (5.2.9)性質(zhì)性質(zhì)3)闡明一切的子空間可以由一個(gè)根本空間經(jīng)過尺度的伸縮變化得到，闡明一切的子空間可以由一個(gè)根本空間經(jīng)過尺度的伸縮變化得到，在不同的分辨率時(shí)，逼近運(yùn)算一樣。在不同的分辨率時(shí)，逼近運(yùn)算一樣。4) 平移不變性：平移不變性： (5.2.10)性質(zhì)性質(zhì)4)闡明子空間信號在時(shí)間上平移，信號仍在該子空間，分辨率不變。闡明子空間信號在時(shí)間上平移，信號仍在該子空間，分辨率不變。5) 正交補(bǔ)全性：正交補(bǔ)全性： (5.2.11) 符號符號 表示表示 “正交和。正交和。 是尺度函數(shù)空間，是尺

22、度函數(shù)空間， 是小波函數(shù)空間，它們相互是小波函數(shù)空間，它們相互正交，即正交，即 。 ， 尺度函數(shù)尺度函數(shù) 與與 小波函數(shù)小波函數(shù) 正交正交,內(nèi)積內(nèi)積 (5.2.13)反復(fù)運(yùn)用式反復(fù)運(yùn)用式(5.2.11)和關(guān)系和關(guān)系 ，得到小波逼近空間表達(dá)式，得到小波逼近空間表達(dá)式 (5.2.13); ,)2()(1ZjVtxVtxjj; ,)()(ZjVktxVtxjj; ,1ZjWVVjjjjVjWjVjW0j0V)(t0W)(t)()(),(lkktltjVjWjZjWWWWRL1012)(5.2 小波變換小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義多分辨分析及其工程意義6)Riesz基存在性基存在性:存在

23、存在 ,使使 是是 的的Riesz基?；?。 同樣使同樣使 構(gòu)成構(gòu)成 的的Riesz基基 (5.2.12)性質(zhì)性質(zhì)6)指存在正常數(shù)指存在正常數(shù) , 有有 , 對于恣意序列對于恣意序列 表示一切雙無限平方可求和序列空間滿足表示一切雙無限平方可求和序列空間滿足 (5.2.15) 上式是上式是 的有界性條件，的有界性條件， A和和B分別稱為分別稱為Riesz基下界和上界?；陆绾蜕辖?。 根據(jù)式根據(jù)式(5.2.9) 的伸縮規(guī)那么性，假設(shè)的伸縮規(guī)那么性，假設(shè) 是空間是空間 的的Riesz基，那么基，那么 是空間是空間 的的Riesz基?；?Riesz基的特點(diǎn)是它的元素線性獨(dú)立，沒有冗余的元素基的特點(diǎn)是它

24、的元素線性獨(dú)立，沒有冗余的元素 。就能保證小波。就能保證小波 的冗余度盡能夠小，這對信號的特征提取非常有利。的冗余度盡能夠小，這對信號的特征提取非常有利。 0)(Vt Zkkt )(0VZkjkt )2(jVBA ,2 lcZkk2lZkZkkZkkkcBktccA2222 )( BA0Zkkt )(BA0Zkkt )(0VZkjkt )2(jV)(,tkj5.2 小波變換小波變換5.2.1 多分辨分析及其工程意義多分辨分析及其工程意義基于多分辨分析逼近空間基于多分辨分析逼近空間 和細(xì)節(jié)空間和細(xì)節(jié)空間 的頻帶范圍。設(shè)的頻帶范圍。設(shè) 空間中信號空間中信號 屬屬于子空間于子空間 ， 的頻譜的頻譜

25、區(qū)間為區(qū)間為 ,那么那么 小波變換的多分辨分析將信號小波變換的多分辨分析將信號 分解到相互銜接的頻帶分解到相互銜接的頻帶 和和 中。中。 選定選定 或或 子空間中的分解信號，相當(dāng)于獲得了濃縮的缺點(diǎn)診斷信子空間中的分解信號，相當(dāng)于獲得了濃縮的缺點(diǎn)診斷信 息，具有理想的工程適用價(jià)值。息，具有理想的工程適用價(jià)值。 )(2RL0V)(txjVjW)(X)(tx , 0 , 0 , 0)(| ),()(20XRLtxV2/ , 0 , 0)(| ),()(21XRLtxV , 2/ , 0)(| ),()(21XRLtxWmmXRLtxV2/ , 0 , 0)(| ),()(2122/ ,2/ , 0)

26、(| ),()(mmmXRLtxWjVjW)(txjVjW5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測診斷過程中，希望盡能夠減少小波基的冗余性，期在機(jī)械動(dòng)態(tài)分析與監(jiān)測診斷過程中，希望盡能夠減少小波基的冗余性，期望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個(gè)望小波函數(shù)線性獨(dú)立，即希望小波函數(shù)是一個(gè)Riesz基?；?。由于正交性可以保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間由于正交性可以保證獨(dú)立性，正交基是完備的內(nèi)積空間(Hilbert空間空間)最理最理想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋覓小波函數(shù)想的基函數(shù)，所以我們最感興趣于尋覓小波函

27、數(shù) 是正交基。是正交基。定義定義 5.2.1 正交小波正交小波定理定理 5.2.1 規(guī)范正交基和尺度函數(shù)規(guī)范正交基和尺度函數(shù) 定理定理 5.2.2 由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù)由正交尺度基函數(shù)構(gòu)造出正交小波基函數(shù) kj , 5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取從包容關(guān)系從包容關(guān)系 ，有，有 ，所以，所以 可以利用可以利用 子空間的子空間的尺度基函數(shù)尺度基函數(shù) 展開，展開系數(shù)為展開，展開系數(shù)為 。由于由于 ，小波基函數(shù)，小波基函數(shù) ，這一包容關(guān)系闡明，這一包容關(guān)系闡明 可以用可以用 中的尺度中的尺度基函數(shù)基函數(shù) 展開，展

28、開系數(shù)為展開，展開系數(shù)為 ，有雙尺度關(guān)系，有雙尺度關(guān)系(5.2.19)10VV )(0, 0t10VV 1V)()(0, 0tt)2(2)(2/1, 1nttnZnnh 001WVV100 , 0)()(VWtt)(t1V)2(2)(2/1, 1nttnZnng nnnnntgtntht)2(2)()2(2)(5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取根據(jù)式根據(jù)式(5.2.19)表示的雙尺度關(guān)系，表示的雙尺度關(guān)系， 中的尺度函數(shù)中的尺度函數(shù) 和和 中的小波函數(shù)中的小波函數(shù) 均可由均可由 中的尺度函數(shù)中的尺度函數(shù) 給出。給出。設(shè)設(shè) ，

29、尺度函數(shù)，尺度函數(shù) 和小波函數(shù)和小波函數(shù) 分別為分別為(5.2.20) (5.2.21)(5.2.20)jV)(tjjW)(tj1jV)(1tj)(t0j)(t01)(t其它10 t011)(t其它12/12/10tt(d)t10(2t)1/21t10(2t-1)1/21t10(t)1/21-1t10(t)1(a)(b)(c) 12()2()() 12()2()(tttttt5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取序列序列 , 稱為正交鏡像濾波器稱為正交鏡像濾波器 (Quadrature Mirror Filters，QMF)，有

30、，有 , 。 和和 是是QMF的頻域方式。的頻域方式。由尺度函數(shù)由尺度函數(shù) 和小波函數(shù)和小波函數(shù) 的正交性及雙尺度方程得的正交性及雙尺度方程得(5.2.27)(5.2.28)(5.2.29)構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必需滿足以上三個(gè)條件，它們分別來自尺度函數(shù)構(gòu)造正交小波時(shí)濾波器和必需滿足以上三個(gè)條件，它們分別來自尺度函數(shù)的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。的正交性、小波函數(shù)的正交性以及尺度函數(shù)與小波函數(shù)之間的正交性。Znnh Znng kjknjnhh ,22 2nh)(H)(G)(t)(t1)()(22HH1)()(22GG0)()()()(GHGH5.2 小波變換小波

31、變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取小波系數(shù)小波系數(shù) 與尺度系數(shù)與尺度系數(shù) 之間的關(guān)系之間的關(guān)系 由式由式(5.2.28)和和(5.2.29)，可得到，可得到 (5.2.30) 由上式及由上式及(5.2.26)可得到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系可得到兩個(gè)濾波器系數(shù)之間的關(guān)系 (5.2.31)比較最后兩個(gè)等式兩邊比較最后兩個(gè)等式兩邊 的系數(shù)，可以得到的系數(shù)，可以得到(5.2.32) 假設(shè)假設(shè) 是實(shí)序列，共軛符號是實(shí)序列，共軛符號 省略。省略。 Znnh )()(HeGjkkjkkkjkkkkjkkkkjkjegeheheheG2/1112/1)1(2/

32、1)(2/12) 1(2 ) 1(22)(kjekkkhg11) 1(Zk ngnh5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器構(gòu)造滿足正交三條件的濾波器 和和 方法方法 1、設(shè)計(jì)滿足式、設(shè)計(jì)滿足式(5.2.27)的濾波器的濾波器 ,再根據(jù)式再根據(jù)式(5.2.30)設(shè)計(jì)濾波器設(shè)計(jì)濾波器 。2、由、由 得到得到 ，再由式，再由式(5.2.32)直接得到直接得到 。S. G. Mallat基于基于2p+1階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出階多項(xiàng)式樣條函數(shù)構(gòu)造出 (5.2.33)由式由式(5.2.23)，有關(guān)系，有關(guān)系 ，可得

33、到，可得到 根據(jù)式根據(jù)式(5.2.24)和和(5.2.30)，得到，得到 。 (5.2.34)(H)(G)(H)(G)(HZnnh Znng )( nnnnjnne2 2 2 )2/(2 )2/()()2/()( )(1)( knnk )2(1)( 22 pn)( )()2( HnnnH2 22 )2(2)()()( )(H5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取當(dāng)當(dāng) ，那么，那么 ， 尺度函數(shù)及其傅尺度函數(shù)及其傅 里葉變換、小波里葉變換、小波 函數(shù)函數(shù) 及其傅里葉及其傅里葉 變換變換 如下圖。如下圖。 允許正頻率經(jīng)過的允許正頻率

34、經(jīng)過的區(qū)間是區(qū)間是 ，而，而 允許正頻率經(jīng)過的區(qū)間允許正頻率經(jīng)過的區(qū)間是是 ，二者在，二者在0到到 區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。區(qū)間恰好正交互補(bǔ)。獨(dú)立化提取信息。獨(dú)立化提取信息。 系數(shù)見表系數(shù)見表5.2.1。)( 1p4n)( ) , 0)2 ,2Znnh 5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取有了低通、帶通濾波序列有了低通、帶通濾波序列 和和 ，就能方便地經(jīng)過小波變換進(jìn)展，就能方便地經(jīng)過小波變換進(jìn)展信息獨(dú)立化提取。信息獨(dú)立化提取。 設(shè)設(shè) 是多分辨向量空間是多分辨向量空間 中的線性投影算子，以分辨率中的線性投影算子，以分辨率 逼近逼近能量

35、有限可測信號能量有限可測信號 。 與與 最類似。最類似。 由于由于 ，得到獨(dú)一的表達(dá)式，得到獨(dú)一的表達(dá)式 (5.2.36) 稱稱 為逼近信號，為逼近信號， 是分辨率為是分辨率為 的細(xì)節(jié)信號，它包含的細(xì)節(jié)信號，它包含 和和 之間的信息差。反復(fù)式之間的信息差。反復(fù)式(5.2.36)過程，可得過程，可得(5.2.37)Znnh Znng jAjV)(2RLj2)(tx)(2RL)(txAj)(tx11jjjWVV)()()(11txDtxAtxAjjj)(txAj)(1txDjj2)(txAj)(1txAj)()()()( )()()( )()()(1112211txDtxDtxDtxAtxDtxD

36、txAtxDtxAtxAjMjMjMjjjjjjj5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取設(shè)離散采樣信號為設(shè)離散采樣信號為 ， ，數(shù)據(jù)長度為，數(shù)據(jù)長度為 ，其分辨率是，其分辨率是 ，將信號，將信號表示為表示為 。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式。得到相應(yīng)的分解表達(dá)式(5.2.43) Mallat在文獻(xiàn)在文獻(xiàn)13里給出里給出 的實(shí)系數(shù)值，式的實(shí)系數(shù)值，式(5.2.43)可寫成可寫成 (5.2.44) 和和 是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長度分別是信號是隔二抽取結(jié)果，數(shù)據(jù)長度分別是信號 的數(shù)據(jù)之半。的數(shù)據(jù)之半。 信號重構(gòu)表達(dá)式為信號重構(gòu)表達(dá)式為(5.2.4

37、5)kx Zk N021kxA0kkjnknjkkjnknjxAgxDxAhxA 2121Jj , , 1 , 0Znnh kkkjnkkjknnjkkkjnkkjknnjxAgxAgxDxAhxAhxA221221mmhhmmggnjxA1njxD1kjxAnnjnknnjnkkjxDgxAhxA1212220 , 1 , ,Jj1 信號處置的內(nèi)積與基函數(shù)信號處置的內(nèi)積與基函數(shù) )(tx)(tyttytxtytxd)()()( ),()(txftjftjetxtetxfX22 ),(d)()()( ),(d)()(),( , ,2/1ttxtttxabaWTbabaxkja,kjd,kjkj

38、kjkjxdxa, , ,ZkkjnkZkkjkjnjnjZkkjnkZkkjkjnjnjgh,2, 1, 1,2, 1, 1,kj,kj,nkh2nkg2ZkkjnknjZkkjnknjagdaha,2, 1,2, 1 , kjZkkjnjkjZkkjnjnj, 1, 1, 1, 1,kjZkknkjZkknnjgh, 12, 12,kjZkknkjZkknnjdgaha, 12, 12,5.2 小波變換小波變換5.2.2 正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取正交小波基的構(gòu)造與信息獨(dú)立化的提取Mallat塔形算法塔形算法,不涉及尺度函數(shù)不涉及尺度函數(shù) 和小波函數(shù)和小波函數(shù) ,直接運(yùn)用直接運(yùn)用

39、和和 參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于參與運(yùn)算，運(yùn)算量正比于 。每次分解所得到的逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度是上一次逼近信號數(shù)據(jù)每次分解所得到的逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度是上一次逼近信號數(shù)據(jù)長度的一半。當(dāng)長度的一半。當(dāng) 次分解后，逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度縮減為次分解后，逼近信號和細(xì)節(jié)信號的數(shù)據(jù)長度縮減為原始信號數(shù)據(jù)長度原始信號數(shù)據(jù)長度 的的 。在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波在重構(gòu)計(jì)算的每一步中，先在數(shù)據(jù)之間插補(bǔ)零后再參與同低通、帶通濾波器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。器系數(shù)的運(yùn)算，結(jié)果重構(gòu)數(shù)據(jù)長度加倍。Mallat的塔形算法在小波分析中的位置就相當(dāng)于快速傅里葉

40、算法在傅里葉的塔形算法在小波分析中的位置就相當(dāng)于快速傅里葉算法在傅里葉變換中的位置。變換中的位置。正交小波變換將原始信號分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些形正交小波變換將原始信號分解到各自獨(dú)立的頻帶中，正交性保證了這些形狀信息無冗余、無疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測診斷信息。狀信息無冗余、無疏漏，排除了干擾，濃縮了監(jiān)測診斷信息。NZnnh Znng )log(O2NN)(t)(tJJ2第五章第五章 非平穩(wěn)信號處置方法非平穩(wěn)信號處置方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程運(yùn)用工程運(yùn)用

41、5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波變換對信號的分解都是對低頻逼近信號小波變換對信號的分解都是對低頻逼近信號 進(jìn)展再分解，進(jìn)展再分解，不再對高頻細(xì)節(jié)信號不再對高頻細(xì)節(jié)信號 進(jìn)展分解。進(jìn)展分解。小波變換分解方式，高頻頻帶信號的時(shí)間分辨率高而頻率分小波變換分解方式，高頻頻帶信號的時(shí)間分辨率高而頻率分辨率低，低頻頻帶信號的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。辨率低，低頻頻帶信號的時(shí)間分辨率低而頻率分辨率高。小波包小波包(wavelet packet)提高高頻頻帶信號的頻率分辨率。提高高頻頻帶信號的頻率分辨率。 信號的小波分解信號的小波分解 信號的小波包分解信號的小波包分解 k

42、jxAkjxD)(txxA1xD1xA2xD2xA3xD3)5(x)8(x)9(x)10(x)11(x)12(x)13(x)14(x)15(x)4(x)6(x)7(x)1()(xtx)2(x)3(x5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測設(shè)序列設(shè)序列 滿足滿足 (5.3.1) 現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù)現(xiàn)定義一組遞歸函數(shù) , n =1, ，它們由尺度函數(shù)，它們由尺度函數(shù) 和小波函數(shù)和小波函數(shù) 產(chǎn)生，有關(guān)系產(chǎn)生，有關(guān)系 和和(5.3.2)式中式中 ，兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng)，兩系數(shù)也具有正交關(guān)系。當(dāng) 時(shí)，上式的時(shí)，上式的 和和 分別對應(yīng)于分別對應(yīng)于 和和 。定義定義5.3.1 由

43、式由式(5.3.2)產(chǎn)生的序列產(chǎn)生的序列 稱為由基函數(shù)稱為由基函數(shù) 確定的小波包。確定的小波包。Znnh 2/1 ,222 , nnlknlnknhhhnw)(2RL , 2)(t)(t),( ),()(10twttwknknknknktwgtwktwhtw)2(2)( )2(2)( 2/1122/12kkkhg1) 1(0n)(0tw)(1tw)(t)(tZnntw)()()(0ttw5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測根據(jù)多分辨分析關(guān)系根據(jù)多分辨分析關(guān)系 ，用，用 替代替代 ，得到小波包子空間得到小波包子空間 中的分解關(guān)系中的分解關(guān)系(5.3.13) 小波包對小

44、波子空間小波包對小波子空間 進(jìn)展逐漸分解，令進(jìn)展逐漸分解，令 n =1, 2,；j =1, 2,，得到如下的分解表示，得到如下的分解表示 (5.3.14) 的分解可用的分解可用 來表示，分解信號為來表示，分解信號為 ， m=0, 1, 2, ZjWRLj,)(2njW1njU1ZjUUUWnjnjnjnj ,12211jW72625242312111jjjjjjjjjUUUUUUUWW121221 kkkkjkjkjUUU120120201 jjjUUU; 12 ,kjWmkjkU2)2(mkx5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解是正交分解，能量守衡，

45、有如下關(guān)系小波包信號分解是正交分解，能量守衡，有如下關(guān)系(5.3.18)這里這里 表示信號的能量。表示信號的能量。 數(shù)據(jù)為數(shù)據(jù)為 ，能量為，能量為(5.3.19)歸一化相對能量表示。第歸一化相對能量表示。第 m 頻帶分解信號相對能量為頻帶分解信號相對能量為(5.3.20)根據(jù)能量守衡原理，顯然有根據(jù)能量守衡原理，顯然有(5.3.21)120 ,120)2(1202)()()()(kkkkkmmknmmnmmkjnnixExEUEtxE( )nE )( ,ixmkNk2NimkkmknkixNixE212 , ,)(121)()()()( ,txEixEmEnmknn1201)(kmnmE第五章第五章 非平穩(wěn)信號處置方法非平穩(wěn)信號處置方法 5.1 短時(shí)傅里葉變換短時(shí)傅里葉變換 5.2 小波變換小波變換 5.3 小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測小波包信號分解與頻帶能量監(jiān)測 5.4 工程運(yùn)用工程運(yùn)用 5.4 工程運(yùn)用工程運(yùn)用5.4.1 軋鋼機(jī)振動(dòng)分析軋鋼機(jī)振動(dòng)分析 鋼廠熱軋機(jī)電機(jī)功率鋼廠熱軋機(jī)電機(jī)功率1MW，轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)速591r/min。用加速度傳