精選牛吃草問題含例題答案講解

1、小學(xué)數(shù)學(xué)牛吃草問題知識點總結(jié):牛吃草問題：牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。小升初沖刺第2講牛吃草問題基本公式:1) 設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”2）草的生長速度（對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；3）原有草量牛頭數(shù)×吃的天數(shù)草的生長速度×吃的天數(shù)；4）

2、吃的天數(shù)原有草量÷（牛頭數(shù)草的生長速度）；5)牛頭數(shù)原有草量÷吃的天數(shù)草的生長速度。例1、牧場上長滿了牧草，牧草每天勻速生長，這片牧草可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。問：這片牧草可供25頭牛吃多少天？ 解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的生長量：（200-150）÷（20-10）=5份10×20=200份原草量+20天的生長量 原草量：200-20×5=100 或150-10×5=100份15×10=150份原草量+10天的生長量 100÷（25-5）=5天自主訓(xùn)練 牧場上長滿了青草，而且每天

3、還在勻速生長，這片牧場上的草可供9頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天，如果要供18頭牛吃，可吃幾天？解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的生長量：（180-150）÷（20-10）=3份9×20=180份原草量+20天的生長量 原草量：180-20×3=120份 或150-10×3=120份15×10=150份原草量+10天的生長量 120÷（18-3）=8天例2、由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？ 解：假

4、設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的減少量：（100-90）÷（6-5）=10份20×5=100份原草量-5天的減少量 原草量：100+5×10=150 或90+6×10=150份15×6=90份原草量-6天的減少量 （150-10×10）÷10=5頭自主訓(xùn)練 由于天氣逐漸寒冷，牧場上的牧草每天以均勻的速度減少，經(jīng)測算，牧場上的草可供30頭牛吃8天，可供25頭牛吃9天，那么可供21頭牛吃幾天？ 解：假設(shè)1頭牛1天吃的草的數(shù)量是1份 草每天的減少量：（240-225）÷（9-8）=15份30×8=240

5、份原草量-8天的減少量 原草量：240+8×15=360份或220+9×15=360份25×9=225份原草量-9天的減少量 360÷（21+15）=10天例3、自動扶梯以均勻速度由下往上行駛著，兩位性急的孩子要從扶梯上樓。已知男孩每分鐘走20級梯級，女孩每分鐘走15級梯級，結(jié)果男孩用了5分鐘到達樓上，女孩用了6分鐘到達樓上。問：該扶梯共有多少級？ 男孩：20×5 =100（級） 自動扶梯的級數(shù)-5分鐘減少的級數(shù)女孩;15×6=90（級） 自動扶梯的級數(shù)-6分鐘減少的級數(shù)每分鐘減少的級數(shù)= (20×5-15×6)

6、÷(6-5)=10(級)自動扶梯的級數(shù)= 20×5+5×10=150（級）自主訓(xùn)練 兩個頑皮孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可走3級階梯，女孩每秒可走2級階梯，結(jié)果從扶梯的一端到達另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。問該扶梯共有多少級？3×100=300自動扶梯級數(shù)+100秒新增的級數(shù)2×300=600自動扶梯級數(shù)+300秒新增的級數(shù)每秒新增的級數(shù)：（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（級）自動扶梯級數(shù)= 3×100-100×1.5=150（級）1. 有一片牧場，

7、操每天都在勻速生長（每天的增長量相等），如果放牧24頭牛，則6天吃完草，如果放牧21頭牛，則8天吃完草，設(shè)每頭牛每天的吃草量相等，問：要使草永遠吃不完，最多只能放牧幾頭牛？假設(shè)1頭1天吃1個單位24*6=14421*8=168168-144=24每天長的草可供24/2=12頭牛吃最多只能放12頭牛2，有一片草地，草每天生長的速度相同。這片草地可供5頭牛吃40天，或6供頭牛吃30天。如果4頭牛吃了30天后，又增加2頭牛一起吃，這片草地還可以再吃幾天？假設(shè)1頭1天吃1個單位5*40=200；6*30=180200-180=20每天長的草:20/(40-30)=2原有草：200-2*40=1204*

8、30=120 ，30*2=60 60/4=15天3，假設(shè)地球上新增長資源的增長速度是一定的，照此推算，地球上的資源可供110億人生活90年，或可供90億人生活210年，為了人類不斷繁衍，那么地球最多可以養(yǎng)活多少億人？假設(shè)1億人頭1天吃1個單位110*90=9900；90*210=1890018900-9900=90009000/(210-90)=754，一游樂場在開門前有100人排隊等候，開門后每分鐘來的游客是相同的，一個入口處每分鐘可以放入10名游客，如果開放2個入口處20分鐘就沒人排隊，現(xiàn)開放4個入口處，那么開門后多少分鐘后沒人排隊？2*20*10=400400-100=300300/20

9、=15100+15*4=160160/(4*10)=4（1）因為草量=原有草量+新長出的草量，而且草量是均勻增長的。 所以“對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)”就代表了第一次情況下的總草量， 即為：吃的較多天數(shù)時的總草量=草地原有草量+草的生長速度*較多天數(shù)時的時間。同理“相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)”代表了第二次情況下的總草量，即為：吃的較少天數(shù)時的總草量=草地原有草量+草的生長速度*較少天數(shù)時的時間。兩個一做差，式子中的“原有草量”就被減掉了，等號的左邊就是兩次情況之下總草量的差，右邊等于草的生長速度*兩次情況下的時間差，所以直接把時間差除到左邊去，就得到了草的生長速度了。（2）

10、牛吃的草的總量包括兩個方面，一是原來草地上的草，而是新增長出來的草。所以“牛頭數(shù)×吃的天數(shù)”表示的就是牛一共吃了多少草，牛在這段時間把草吃干凈了，所以牛一共吃了多少草就也表示草的總量。當然草的總量減去新增長出來的草的數(shù)量，就剩下原來草地上面草的數(shù)量了。牛吃草問題概念及公式牛吃草問題又稱為消長問題或牛頓牧場，是17世紀英國偉大的科學(xué)家牛頓提出來的。典型牛吃草問題的條件是假設(shè)草的生長速度固定不變，不同頭數(shù)的牛吃光同一片草地所需的天數(shù)各不相同，求若干頭牛吃這片草地可以吃多少天。由于吃的天數(shù)不同，草又是天天在生長的，所以草的存量隨牛吃的天數(shù)不斷地變化。解決牛吃草問題常用到四個基本公式，分別是

11、1) 設(shè)定一頭牛一天吃草量為“1”1）草的生長速度（對應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較多天數(shù)相應(yīng)的牛頭數(shù)×吃的較少天數(shù)）÷（吃的較多天數(shù)吃的較少天數(shù)）；2）原有草量牛頭數(shù)×吃的天數(shù)草的生長速度×吃的天數(shù)；3）吃的天數(shù)原有草量÷（牛頭數(shù)草的生長速度）；4）牛頭數(shù)原有草量÷吃的天數(shù)草的生長速度。這四個公式是解決消長問題的基礎(chǔ)。由于牛在吃草的過程中，草是不斷生長的，所以解決消長問題的重點是要想辦法從變化中找到不變量。牧場上原有的草是不變的，新長的草雖然在變化，但由于是勻速生長，所以每天新長出的草量應(yīng)該是不變的。正是由于這個不變量，才能夠?qū)С錾厦?/p>

12、的四個基本公式。 牛吃草問題經(jīng)常給出不同頭數(shù)的牛吃同一片次的草，這塊地既有原有的草，又有每天新長出的草。由于吃草的牛頭數(shù)不同，求若干頭牛吃的這片地的草可以吃多少天。解題關(guān)鍵是弄清楚已知條件，進行對比分析，從而求出每日新長草的數(shù)量，再求出草地里原有草的數(shù)量，進而解答題總所求的問題。這類問題的基本數(shù)量關(guān)系是：1.(牛的頭數(shù)×吃草較多的天數(shù)-牛頭數(shù)×吃草較少的天數(shù))÷（吃的較多的天數(shù)-吃的較少的天數(shù))=草地每天新長草的量。2.牛的頭數(shù)×吃草天數(shù)-每天新長量×吃草天數(shù)=草地原有的草。 解多塊草地的方法多塊草地的“牛吃草”問題，一般情況下找多塊草地的最小

13、公倍數(shù)，這樣可以減少運算難度，但如果數(shù)據(jù)較大時，我們一般把面積統(tǒng)一為“1”相對簡單些。 “牛吃草”問題分析華圖公務(wù)員考試研究中心數(shù)量關(guān)系資料分析教研室研究員 姚璐【華圖名師姚璐例1】有一塊牧場，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供25頭牛吃多少天？A.3 B.4 C.5 D.6【華圖名師姚璐答案】C【華圖名師姚璐解析】設(shè)該牧場每天長草量恰可供X頭牛吃一天，這片草場可供25頭牛吃Y天根據(jù)核心公式 代入 (200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天） 璐例2】有一塊牧場，可供10頭牛吃20天，15頭牛吃10天，則它可供多少頭牛吃4天

14、？A.20 B.25 C.30 D.35【華圖名師姚璐答案】C【華圖名師姚璐解析】設(shè)該牧場每天長草量恰可供X頭牛吃一天，根據(jù)核心公式代入(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(頭）【華圖名師姚璐例3】如果22頭牛吃33公畝牧場的草，54天后可以吃盡，17頭牛吃28公畝牧場的草，84天可以吃盡，那么要在24天內(nèi)吃盡40公畝牧場的草，需要多少頭牛？ A.50 B.46 C.38 D.35【華圖名師姚璐答案】D【華圖名師姚璐解析】 設(shè)每公畝牧場每天新長出來的草可供X頭牛吃1天，每公畝草場原有牧草量為Y ，2

15、4天內(nèi)吃盡40公畝牧場的草，需要Z頭牛根據(jù)核心公式： ，代入，因此 ，選擇D【華圖名師姚璐注釋】這里面牧場的面積發(fā)生變化，所以每天長出的草量不再是常量。下面我們來看一下上述“牛吃草問題”解題方法，在真題中的應(yīng)用。 【華圖名師姚璐例4】有一個灌溉用的中轉(zhuǎn)水池，一直開著進水管往里灌水，一段時間后，用2臺抽水機排水，則用40分鐘能排完；如果用4臺同樣的抽水機排水，則用16分鐘排完。問如果計劃用10分鐘將水排完，需要多少臺抽水機？【廣東2006上】A.5臺 B.6臺 C.7臺 D.8臺【華圖名師姚璐答案】B【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當于X臺抽水機的排水量，共需Y臺抽水機有恒等式： 解 ，

16、得 ，代入恒等式 【華圖名師姚璐例5】有一水池，池底有泉水不斷涌出，要想把水池的水抽干，10臺抽水機需抽8小時，8臺抽水機需抽12小時，如果用6臺抽水機，那么需抽多少小時？【北京社招2006】A.16 B.20 C.24 D.28【華圖名師姚璐答案】C【華圖名師姚璐解析】設(shè)每分鐘流入的水量相當于X臺抽水機的排水量，共需Y小時 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式 【華圖名師姚璐例6】林子里有猴子喜歡吃的野果，23只猴子可在9周內(nèi)吃光，21只猴子可在12周內(nèi)吃光，問如果有33只猴子一起吃，則需要幾周吃光？（假定野果生長的速度不變）【浙江2007】A.2周 B.3周 C.4周 D.5周【華圖名師姚璐

17、答案】C【華圖名師姚璐解析】設(shè)每天新生長的野果足夠X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完 有恒等式： 解 ，得 ，代入恒等式 【華圖名師姚璐例7】物美超市的收銀臺平均每小時有60名顧客前來排隊付款，每一個收銀臺每小時能應(yīng)付80名顧客付款。某天某時刻，超市如果只開設(shè)一個收銀臺，付款開始4小時就沒有顧客排隊了，問如果當時開設(shè)兩個收銀臺，則付款開始幾小時就沒有顧客排隊了【浙江2006】A.2小時小時小時小時【華圖名師姚璐答案】D【華圖名師姚璐解析】設(shè)共需X小時就無人排隊了。 例題：1、旅客在車站候車室等車,并且排隊的乘客按一定速度增加,檢查速度也一定,當車站放一個檢票口,需用半小時把所有乘客解決完畢,當

18、開放2個檢票口時,只要10分鐘就把所有乘客OK了 求增加人數(shù)的速度還有原來的人數(shù) 設(shè)一個檢票口一分鐘一個人 1個檢票口30分鐘30個人 2個檢票口10分鐘20個人 (30-20)÷(30-10)=0.5個人 原有1×30-30×0.5=15人 或2×10-10×0.5=15人 2、有三塊草地，面積分別是5，15，24畝。草地上的草一樣厚，而且長得一樣快。第一塊草地可供10頭牛吃30天，第二塊草地可供28頭牛吃45天，問第三塊地可供多少頭牛吃80天？這是一道牛吃草問題，是比較復(fù)雜的牛吃草問題。把每頭牛每天吃的草看作1份。因為第一塊草地5畝面積原有草量5畝面積30天長的草10×30300份所以每畝面積原有草量和每畝面積30天長的草是300÷560份因為第二塊草地15畝面積原有草量15畝面積45天長的草28×451260份所以每畝面積原有草