理論力學(xué) 變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)ppt課件

1、第六章第六章變質(zhì)量動(dòng)力學(xué)變質(zhì)量動(dòng)力學(xué) 6 61 1 變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 1.1.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程 質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)t t的動(dòng)量為的動(dòng)量為11dpmvm v質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)系在瞬時(shí)t+dtt+dt的動(dòng)量為的動(dòng)量為2(d )(d )pmm vv根據(jù)動(dòng)量定理根據(jù)動(dòng)量定理(e)21ddpppFt(e)1(d )(d )(d)dmm vvmvm vFt將上式展開得將上式展開得(e)1ddddddm vm vmvm vFt略去高階微量略去高階微量ddmv并以并以dtdt除各項(xiàng)除各項(xiàng)得得(e)1ddddddvmmmvvFttt或或(e)1

2、dd()ddvmmvvFtt式中式中 是微小質(zhì)量是微小質(zhì)量dmdm在并入前在并入前, ,)(1對(duì)于質(zhì)點(diǎn)對(duì)于質(zhì)點(diǎn)m m得相對(duì)速度得相對(duì)速度r令令ddmFvtr(e)ddvmFFt變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程反推力反推力2.2.常用的幾種質(zhì)量變化規(guī)律常用的幾種質(zhì)量變化規(guī)律（1 1質(zhì)量按線性規(guī)律變化質(zhì)量按線性規(guī)律變化1)1 (0ttmm，由由 知知0ddmtm其反推力為其反推力為r0rddmFvmvt （2 2質(zhì)量按指數(shù)規(guī)律變化質(zhì)量按指數(shù)規(guī)律變化tmme0由由 知知tmtmedd0其反推力為其反推力為r0rdedtmFvmvt rFavm 單級(jí)火箭。單級(jí)火箭。 設(shè)火箭在真空中運(yùn)動(dòng)

3、且不受任何外力作用，其噴射出的設(shè)火箭在真空中運(yùn)動(dòng)且不受任何外力作用，其噴射出的氣體相對(duì)于速度氣體相對(duì)于速度 的大小不變，方向與火箭運(yùn)動(dòng)方向相反，的大小不變，方向與火箭運(yùn)動(dòng)方向相反，此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題。此問題稱齊奧爾科夫斯基第一類問題。r例例 6 61 1變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，在運(yùn)動(dòng)方向上的投影為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程，在運(yùn)動(dòng)方向上的投影為tmtmrdddd或或mmrdd（a a）設(shè)初始時(shí)刻設(shè)初始時(shí)刻t=0t=0時(shí)時(shí)00mm 將式將式a a積分得積分得mmr00ln（b b）設(shè)火箭燃燒終了時(shí)質(zhì)量為設(shè)火箭燃燒終了時(shí)質(zhì)量為fm速度為速度為v v令令f0mmN 質(zhì)量比質(zhì)量比 有些資

4、料取有些資料取 為質(zhì)量比為質(zhì)量比0f/mmN 令令rlnvvNf火箭的特征速度火箭的特征速度它代表這一級(jí)火箭在初始速度它代表這一級(jí)火箭在初始速度 的基礎(chǔ)上所能增加的速度的基礎(chǔ)上所能增加的速度0r/0vvmNmffe齊奧爾科夫斯基公式齊奧爾科夫斯基公式它表明在它表明在 已知時(shí)，已知時(shí)，r0欲使火箭達(dá)到特征速度欲使火箭達(dá)到特征速度 所應(yīng)具備的質(zhì)量比所應(yīng)具備的質(zhì)量比運(yùn)動(dòng)微分方程在鉛直方向上的投影為運(yùn)動(dòng)微分方程在鉛直方向上的投影為rvmmmgvtt dddd設(shè)初始時(shí)刻設(shè)初始時(shí)刻t=0t=0時(shí)時(shí)0vv0mm 且且 為常量為常量rv00rlnmvvgtvm 如果火箭在真空中且處于均勻重力場(chǎng)內(nèi)沿鉛直方向向上

5、如果火箭在真空中且處于均勻重力場(chǎng)內(nèi)沿鉛直方向向上運(yùn)動(dòng)，稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題。運(yùn)動(dòng)，稱為齊奧爾科夫斯基第二類問題。 6 62 2 變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)普遍定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)學(xué)普遍定理 1.1.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量定理dd()ddddddpmvmvvmttttrddddddpmmvFvtttddmFvtr(e)ddvmFFt記并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度為記并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度為1v即即1rvvv1ddddpmFvtt記記a1ddmFvt稱稱 為由于并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力為由于并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力aFadd()ddpmvFFtt變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定

6、理的微分形式變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的微分形式 變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用其上的外變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用其上的外力與由于并入或放出），質(zhì)量的絕對(duì)速度而引起的反推力與由于并入或放出），質(zhì)量的絕對(duì)速度而引起的反推力的矢量和。力的矢量和。設(shè)設(shè)t=0t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為時(shí)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為0m速度為速度為0得得000a1000ddddtttmmmvm vF tFtF tvm變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理的積分形式如果并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度如果并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度01d()dmvFtadd()ddpmvFFtt0 00dtmvm vF t顯然顯然即便即便0Fv也不是常量

7、也不是常量00/vm vm2.2.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一點(diǎn)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一點(diǎn)O O 的動(dòng)量矩為的動(dòng)量矩為OLrmv式中式中 為從點(diǎn)為從點(diǎn)O O 指向該質(zhì)點(diǎn)的矢徑指向該質(zhì)點(diǎn)的矢徑r點(diǎn)點(diǎn)O O 為定點(diǎn)為定點(diǎn)ddddd()()()dddddOLrrmvmvrmvrmvttttt add()ddpmvFFttaddFrFrtLO變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)某定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力對(duì)該點(diǎn)之矩與由于并入或放出）用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力對(duì)該點(diǎn)之矩與由于并入或放出）質(zhì)量的

8、絕對(duì)速度引起的反推力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力對(duì)該點(diǎn)力矩的矢量和。3.3.變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理1ddddddvmmmvFvtttadd()ddpmvFFtt將上式各項(xiàng)點(diǎn)乘將上式各項(xiàng)點(diǎn)乘rd得得1ddddmvvmv vFrmv v 由于由于221dd()d22vmvvmvm22111d()dd()d22mvvmFrv vm 或或22a11d()ddd22mvvmFrFr變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與放出或并入的元質(zhì)量由于其變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與放出或并入的元質(zhì)量由于其牽連速度而具有的動(dòng)能的代數(shù)和等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力合力的牽

9、連速度而具有的動(dòng)能的代數(shù)和等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力合力的元功與由于并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力所作元功與由于并入或放出質(zhì)量的絕對(duì)速度引起的反推力所作的元功之和。的元功之和。21rv vvv v 22r11d()ddd22ddmvvmFrv v mFrFr 變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與并入或放出的元質(zhì)量由于牽連變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分與并入或放出的元質(zhì)量由于牽連運(yùn)動(dòng)而具有的動(dòng)能之差，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力與反推力運(yùn)動(dòng)而具有的動(dòng)能之差，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上外力的合力與反推力所作的元功之和。所作的元功之和。例例 6 62 2知：圖為傳送砂子的裝置，砂子從漏斗鉛直流下，以速度知：圖為傳送砂子的裝置，砂子從漏

10、斗鉛直流下，以速度 流下傾角為流下傾角為的傳送帶上并沿斜面下滑的傳送帶上并沿斜面下滑l l長(zhǎng)度然后流出斜長(zhǎng)度然后流出斜 面，設(shè)砂子以流量面，設(shè)砂子以流量q=q=常數(shù)常數(shù)kg/skg/s從大漏斗中流下，斜面從大漏斗中流下，斜面 上砂子是定常流動(dòng)，其質(zhì)量保持不變，不計(jì)摩擦。上砂子是定常流動(dòng)，其質(zhì)量保持不變，不計(jì)摩擦。1v求：若使砂子在斜面上的速度求：若使砂子在斜面上的速度 為常數(shù)，傾角應(yīng)為多少？為常數(shù)，傾角應(yīng)為多少？v解：解： 研究傳送帶上的砂子研究傳送帶上的砂子221122d()ddd()d()22mvvmFrm v vm vv 式中式中 為漏斗流入到傳送帶上的砂子質(zhì)量元為漏斗流入到傳送帶上的砂

11、子質(zhì)量元1dm2dm為從傳送帶上流出的砂子質(zhì)量元為從傳送帶上流出的砂子質(zhì)量元2v為為 流出時(shí)的絕對(duì)速度流出時(shí)的絕對(duì)速度2dm有有22mv常數(shù)常數(shù)qtmtmdddd212vv0ddd21mmm210sinddsindmgsq t v vq tvmqvl或或lmqv因此有因此有21dsinsin0dlsqgqv vqvvt即即21()sinvlgv v得得21arcsin()/lgv vv例例 6 64 4求：在如下兩種情況下，當(dāng)小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時(shí)求：在如下兩種情況下，當(dāng)小方塊已經(jīng)有一半離開桌面時(shí) 留在桌面上的小方塊的速度。留在桌面上的小方塊的速度。 （1 1忽略桌面上的摩擦力忽略桌面上的

12、摩擦力 （2 2桌面與小方塊間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為桌面與小方塊間的動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)為f f知：總質(zhì)量為知：總質(zhì)量為 ，總長(zhǎng)度為，總長(zhǎng)度為l l的一排方塊放在如圖所示水的一排方塊放在如圖所示水 平面上，設(shè)小方塊長(zhǎng)度極短，數(shù)量很多，相鄰的小方平面上，設(shè)小方塊長(zhǎng)度極短，數(shù)量很多，相鄰的小方 塊互相接觸而不連接，初始靜止，小方塊最外端在桌塊互相接觸而不連接，初始靜止，小方塊最外端在桌 邊，如圖加一水平的常力邊，如圖加一水平的常力 。0mF解：解： 研究仍在桌面上的一群小方塊研究仍在桌面上的一群小方塊小方塊離開桌面瞬時(shí)小方塊離開桌面瞬時(shí)r0v 選坐標(biāo)選坐標(biāo)OxOx（1 1由于由于r0v 且無(wú)摩擦且無(wú)摩擦將動(dòng)量定理式投影到軸將動(dòng)量定理式投影到軸OxOx上，有上，有d()dddmvmvFtt式中式中 lmtxlmtmxlmm000