復變函數：5-復積分與Cauchy-GoursatThm

1、第三章第三章 復變函數的積分復變函數的積分 實變函數的可導性甚至不能保證其導函數的連續(xù)性。112 sincos0,( ) 00.ttf tttt 0lim( )( )0tf tf tt不存在，在處不連續(xù)。21sin0, ( )00.ttf ttt例如 解析函數卻有很好的性質：解析函數的導函數仍解析。 Cauchy從表面看這是一個微分問題，但其證明卻要利用復積分（積分公式）。Cauchy-GoursatCauchy 本章最重要的內容是基本定理和積分公式，它們是研究解析函數的理論基礎。1. 復變函數積分的概念復變函數積分的概念( )Def wf zDCDAB設在區(qū)域 中有定義, 為 中以 為起點

2、為終點的光滑有向曲線.012,nCnAzz zzB 把曲線 任意分成段弧,設分點為 1111(1,2, ),()()().kkknnnkkkkkkkzzknSfzzfz在每段弧上任取一點作和 1. 定義定義11max.kkkkk nszzs 記的長度, 0,( ),nkCSf zC 時,如果不論對 的分法及的取法如何,有唯一的極限 則稱該極限值為函數沿曲線的積分 ,n 當且( ).CCf z dz如果 為閉曲線,積分也記作 , ,( )( ), ( )( ).RemarkbCaCxa bf zu xf z dzu x dx當 為 軸上區(qū)間而時 有記作1( )lim().Cnkknkf z dz

3、fz2. 復積分存在的條件與計算復積分存在的條件與計算1()nkkkfz 先計算和式.( )( , )( , ),.kkkf zu x yiv x ypiq 記 ( )( )( ), ,Czz tx tiy tt 設光滑曲線 的方程為,( ( ), ( ),( ( ), ( ).AxyBxy正方向為參數增加的方向 起點終點于是有11() (,)(,)()nnkkkkkkkkkkfzu pqiv pqxi y 11 (,)(,) (,)(,).nkkkkkkknkkkkkkku pqxv pqyiv pqxu pqy,(,),kku vnCpq 若連續(xù) 當且弧段的最大長度0時,不論對 的分法如何

4、 不論點的取法如何 上式右端的兩個和式的極限都存在. ( ).CCCf z dzudxvdyivdxudy 因此有( ):f zuivdzdxidy 上面的公式形式上可以看作是與相乘后求積分 ( )()() .CCCCCf z dzuiv dxidyudxivdxiudyvdyudxvdyivdxudy由實變函數的線積分計算方法,有 ( ) CCCf z dzudxvdyivdxudy ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ), ( ) ( )u x ty t x tv x ty ty tdtiv x ty t x tu x ty ty tdt (

5、), ( ) ( ), ( ) ( )( )u x ty tiv x ty tx tiy t dt ( ) ( ).f z t z t dt: 結論1) ( ),( ).Cf zCf z dz連續(xù)為光滑曲線積分存在2)( ),( ), ( ) ( ) ( ).CCxx tyy ttf z dzf z t z t dt 設有向光滑曲線 的參數方程為正方向為參數增加的方向 則形式上12123), ( ) ( )( ) ( ).nnCCCCCC CCCf z dzf z dzf z dzf z dz若 由有向光滑曲線依次相互連接而成(此時稱 逐段光滑)則001 ,().nCdzCzrzz計算其中 為

6、以 為中心, 為半徑的正向圓周例0 ,02 ,. iCzzreC的參數方程為參數增加的方向與 的正向一致解02211(1)00 .()iinnnni nCdzireidedzzrre 于是0,2. ni當時 積分值為0,n 當時 積分值為2200 (cossin)0.innniiednindrr0120,00.()nCindznzz綜上, .這個結果以后經常要用到3. 復積分的性質復積分的性質1) ( )( ).CCf z dzf z dz 2) ( )( ), .CCf z dzf z dz3) ( )( )( )( ).CCCf zg z dzf z dzg z dz4) ,( ),. (

7、 )( ).CCCL f zMzCf z dzf z dsML 設曲線 的長度為則111 ()()()Proof.:nnnkkkkkkkkkfzfzfs ( )( )().CCf z dzf z dsML兩邊取極限得01 .CCCzzdzdz設 是從 到 的一條光滑可求長弧段,試比較積分與的不同點例10, Cdzzz由積分的定義,解于是C表示弧段 的弦長. CCdzdsC為第一型曲線積分,表示弧段 的弧長.10Cdzzz 2. Cauchy-Goursat基本定理基本定理( )( ). ,. Cauchy-RiemannGreen,f zuivBfzBCBD 設在區(qū)域 中,且在中連續(xù)為 中任意

8、簡單閉曲線 逆時針方向為正,其內部記為由條單連通解析件和公式 有, ( )0.CCCf z dzudxvdyivdxudy于是 ()0, ()0.xyCDxyCDudxvdyvudxdyvdxudyuvdxdy.CfD由 的任意性,解析函數 在單連通區(qū)域 中積分與路徑無關,( )Cauchy-Goursat-fzB 上面的假設條件中在 中連續(xù)的條件是可以去掉的,這就是下面的基本定理解析函數理論中最基本的定理. (Cauchy-Goursat0hm.TfBfBC單基本定理) 若 在區(qū)域中,則 沿 內任何一條閉曲線解析的積分為連通Remark .C定理中 可以不是簡單曲線Remark CB定理中要

9、求 在區(qū)域 中.,( )0.CCBfBBf z dz 進一步可以證明:若 為區(qū)域 的邊界在 中解析,在 上連續(xù) 則仍有 Cauchy-GoursatRemark定理說明函數積分是否與路徑無關涉及到函數的解析性及解析區(qū)域的單連通性.該定理是函數積分與路徑無關的充分而非必要條件. ,.RemarkC無特殊說明時 閉曲線 取逆時針方向為正 ( )f zz 處處不解析例.如圖,1 i1xyo1C2C3C11100(1)(1)21,Czdzi ti dttdt2101 2,Czdzt dt310(1)1 2,Czdzitidti231 2 1 21.CCzdzii .積分與路徑有關20000 1 ()

10、:,Cauchy-Goursat 20.CfzzBzCzzrCBdzizz函數的解析區(qū)域不是單連通的,曲線正向,不滿足定理的條件,且例 ( )f zz 在復平面上積分與例路徑無關.1L2LG12,()fL LGG 如圖,設 在以閉曲線逆時針方向為正 為邊界的區(qū)域 內解析,在 上連續(xù).3. 復合閉路原理復合閉路原理基本定理的推廣基本定理的推廣BBDDCauchy-Goursat由基本定理可得,AA CC作輔助線AACC( )0,( )0.AA D C CDAABCC B A Af z dzf z dz 即) ( )0,) ( )0.AAA D CC CCDAABCCCC B AA Af z dzf z dz ( (1L2LAACCBBDD1212() ( )0, -( )( ). -LLLLf z dzf z dzf z dz 兩式相加得復合閉路原理閉路變形原理121(2)( )( ),(). knnCCkf z dzf z dzC CCC其中及 均取正向 逆時針方向12(1)( )0,. nf z dzCCCC 其中為復合閉路 -復合閉路原理1212Thm ,nnCC CCCfC C CCGG設 為簡單閉曲線為 內部的簡單閉曲線,它們互不相交且互不包含. 在以為邊界的多連通區(qū)域 中解析,在 上連續(xù) 則1C2CnC3CCG221 ,1.CzdzCzzz計算其