第4節(jié)一階線性微分方程(新)

1、1一階線性微分方程 7.4 一、一階線性微分方程二、伯努利方程 2)()(xQyxPdxdy.( )0Q x 上述方程稱當(dāng)，為時齊齊次次的的.( )0Q x 上述方程稱為當(dāng)時，非非齊齊次次的的如如2dyyxdx，2sindxxttdt；23yyxy ，cos1yy ，線線 性性非非 線線 性性 一一階階線線性性微微分分方方程程的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形式式: :一、一階線性微分方程3( )0dyP x ydx線性齊次方程的解法： 分分離離變變量量法法( )dyP x dxy 原方程可化為：( )dyP x dxy 兩邊積分1ln( )yP x dxC 線線性性齊齊次次方方程程的的通通解解 一階線性微分方

2、程的解法一階線性微分方程的解法 分析分析 1( )()P x dxCCeyCe 即，4( )( )dyP x yQ xdx 線的解法：性非齊次方程常常數(shù)數(shù)變變易易法法( )( )P x dxyu x e設(shè)通解形式：( )( )( )( )( )P x dxP x dxyu x eu xP x e則( )Cu x把線性齊次方程通解中的常數(shù)變成為 待定函數(shù)常常數(shù)數(shù)變變易易法法：( ).( )u xy x 待定：未知函數(shù)的未知函數(shù)原未知函的變換數(shù)量代實實質(zhì)質(zhì)代入原方程，并整理得和將yy( )( )( )P x dxu x eQ x( )( )( )P x dxu xQ x e5( )( )( )P

3、x dxu xQ x edxC兩邊積分得：:一階線性非齊次微分方程于，的是為通通解解( )( )( )( )P x dxP x dxP x dxCeeQ x edx對應(yīng)線性齊對應(yīng)線性齊次方程通解次方程通解線性非齊次方程的線性非齊次方程的一個特解一個特解( )( )( )P x dxu xQ x e( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxC e61sin1.xyyxx例求方程的通解1sin( )( )xP xQ xxx解，：11sindxdxxxxeedxCxlnlnsinxxxeedxCx1 sinxdxCx1 cosxCx1sinxx dxCxx( )( )( )P x d

4、xP x dxyeQ x edxC7.) 1(12225的通解求方程例xxyxdyd20.1dyydxx先求對應(yīng)的線性齊次方解程的解：ln2ln1lnyxC積分得 2(1)yC x再用再用常數(shù)變易法求解常數(shù)變易法求解. . 2( ) (1)yu xx令，2(1)2(1)yuxux則12(1)ux 代入非齊次方程得322(1)3uxC3222(1) (1)3yxxC故，原方程通解：21dydxyx8( )( )( )P x dxP x dxyQ x edxCedxxdxxeCdxex121225) 1()1ln(2)1ln(225) 1(xxeCdxex221) 1() 1(xCdxx3222(

5、1) (1)3xxC.) 1(12225的通解求方程例xxyxdyd另解另解: 直接套公式9yyxyydydxcossin2sincossin2tanyxytansin2dxyxydy因此，通解為：2sincoscoscosyyydyCycos 2cos y Cy.sin2sincoscos3的通解求方程例yxyyyy解：tantan sin2ydyydyxey edyCln cosln cos sin2yyey edyC10).()0()(43xfxxyxfyy的面積，求曲線等于陰影部分截下的線段之長數(shù)值上與軸的動直線被曲線如圖所示，平行于例,)()(230yxdxxfx xyxydx03,

6、兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得,32xyy 解解下面解下面解此微分方程此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 1123dxdxyeCx edx2366xCexx, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32xxeyx23xyy 12.0253的通解求方程例ydyxyyxdx解解:xdxxd2注意乘方程的兩邊可得，用ydyyyxydxd22)(分方程為自變量的一階線性微為因變量，以yx13yyP21)(yyQ1)(由一階線性方程通解公式通解公式 , 得xdyye21Clndy 121dyyeyyy1yCy lny1 Clnydyyxydxd12.Ceyyx14 伯努利伯努利(Be

7、rnoulli)(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為方程為一階線性微分方程一階線性微分方程. . 方程為方程為一階非線性微分方程一階非線性微分方程. .二、伯努利方程時，當(dāng)10n時，當(dāng)10n經(jīng)過變量代換化為一階線性微分方程經(jīng)過變量代換化為一階線性微分方程. . 伯努利伯努利(Bernoulli)(Bernoulli)方程的解法：方程的解法：15，令nyz1，則dxdyyndxdzn)1 (),()(1xQyxPdxdyynn),()1 ()()1 (xQnzxPndxdz求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz

8、1，得兩端除以ny代入上式可得代入上式可得. )1)()()1()()1(1CdxenxQezydxxPndxxPnn【解法分析過程解法分析過程】1621(ln ).dyyax ydxx例求方程的通解解解:，令1 yz則方程可變形為xaxzxdzdln其通解為ez ：代入，得原方程的通解將1 yz1)ln(22xaCxyxdx1exa)ln(xdx1Cxd 2)ln(2xaCx17.422的通解求方程例yxyxdxdy,412xyxdxdyy ,yz 令242xzxdxdz代入上式得：,22Cxxz解得.224Cxxy即，解解，得兩端除以21y,21dxdyydxdz則18例例3 3 用適當(dāng)?shù)?/p>

9、變量代換求下列微分方程的通解用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q求下列微分方程的通解: :;22. 122xxexyyy 解解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz則,22xxexzdxdz代入上式得222Cdxexeezxdxxxdx222().2xxyeC所求原方程的通解為: )2(22Cxex19;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解解,xyz 令令,dxdyxydxdz則,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz即，,42sin2Cxzz 分離變量法得分離變量法得,代回代回將將xyz 所求原方程的通解為所求原方程的通解為.4)2sin(2Cxxyxy 2013.dydxxy解解,uyx 令令, 1dxdudxdy則代入原式代入原式,11udxdu 分離變量法得分離變量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回將將yxu 所求原方程的通解為所求原方程的通解為,)1ln(Cyxy 11yeCxy或另解另解)(程一階線性非齊次微分方方程變形為yxdydx21xdydyxyxdydx) 1 ()ln(ln)2(xyyxdydx02)()3(3ydxxdxy0)(2)4(3ydxyxdyydxxdyxy )2ln()5(xxdydyy1可分離變量可分離變量xyxyxdydln齊次方程齊次方程2212xy