初二數(shù)學(xué)-等腰三角形

1、華樂(lè)思在線教學(xué)直播課堂華樂(lè)思在線教學(xué)直播課堂馬上開(kāi)始馬上開(kāi)始請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備好筆和紙，認(rèn)真聽(tīng)講請(qǐng)同學(xué)們準(zhǔn)備好筆和紙，認(rèn)真聽(tīng)講直播課程：等腰三角形直播課程：等腰三角形主講老師：鄔風(fēng)云主講老師：鄔風(fēng)云中學(xué)高級(jí)教師，畢業(yè)于東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)中學(xué)高級(jí)教師，畢業(yè)于東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，曾在吉林市系，曾在吉林市524廠子弟中學(xué)、山東省信廠子弟中學(xué)、山東省信息技術(shù)學(xué)院、北京市十一學(xué)校擔(dān)任數(shù)學(xué)教息技術(shù)學(xué)院、北京市十一學(xué)校擔(dān)任數(shù)學(xué)教師，連續(xù)多年帶畢業(yè)班，中考成績(jī)優(yōu)異師，連續(xù)多年帶畢業(yè)班，中考成績(jī)優(yōu)異一、本專題考察的知識(shí)點(diǎn)一、本專題考察的知識(shí)點(diǎn)1.1.等腰三角形的性質(zhì)與應(yīng)用等腰三角形的性質(zhì)與應(yīng)用2.2.等邊三角形的性質(zhì)與

2、應(yīng)用等邊三角形的性質(zhì)與應(yīng)用3.3.含含3030直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì)4.4.分類討論的思想方法在等腰三角形中分類討論的思想方法在等腰三角形中的應(yīng)用的應(yīng)用1.1.等腰三角形的概念等腰三角形的概念: :有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底，兩腰等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角角 二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納2.2.等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)1 1：等腰三：等腰三角形的兩個(gè)底角相等角形的兩個(gè)底角相等(

3、(簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成“等邊對(duì)等角等邊對(duì)等角”）等腰三角形的性質(zhì)等腰三角形的性質(zhì)2 2：等腰三：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合的高相互重合( (簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成“三線合一三線合一”）二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納3.3.等腰三角形的判定方法等腰三角形的判定方法: :(1)(1)有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形（定義）（定義）(2)(2)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等也相等. .簡(jiǎn)寫(xiě)成簡(jiǎn)寫(xiě)成“等角對(duì)等邊等角對(duì)等邊”. .二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納

4、4.4.等邊三角形的有關(guān)概念等邊三角形的有關(guān)概念在等腰三角形中，有一種特殊的等腰三在等腰三角形中，有一種特殊的等腰三角形角形三條邊都相等的三角形，我三條邊都相等的三角形，我們把這樣的三角形叫做等邊三角形。們把這樣的三角形叫做等邊三角形。二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納ABC5.5.等邊三角形的性質(zhì)等邊三角形的性質(zhì): :(1)(1)等邊三角形的三邊相等（定義）等邊三角形的三邊相等（定義）(2)(2)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等, ,都等都等于于6060. .二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納ABC6.6.等邊三角形的判定等邊三角形的判定: :(1)(1)三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）

5、三邊相等的三角形是等邊三角形（定義）(2)(2)三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都相等的三角形是等邊三角形(3)(3)有一個(gè)角是有一個(gè)角是6060的等腰的等腰三角形是等邊三角形三角形是等邊三角形二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納ABC7.7.直角三角形的性質(zhì)直角三角形的性質(zhì): :在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于3030，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的一半二、知識(shí)歸納二、知識(shí)歸納BCA例例1.1.已知：如圖，房屋頂角已知：如圖，房屋頂角BAC=100=100，過(guò)屋頂，過(guò)屋頂A的立柱的立柱ADBC，屋檐，屋檐AB= =AC求頂架上的求

6、頂架上的B，C，BAD，CAD的度數(shù)的度數(shù) DABC三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題思路分析：已知頂角思路分析：已知頂角BAC=100=100，利用等腰三角，利用等腰三角形頂角與底角的關(guān)系，易求形頂角與底角的關(guān)系，易求B和和C；利用三線合一，易；利用三線合一，易求求BAD和和CAD的度數(shù)的度數(shù) 解：解：在在ABC中，中，AB=ACB=C（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）BAC=100B=C=1/2(180100)=40在在ABC中，中， AB=AC，ADBC（三線合一）（三線合一）BAD=CAD=1/2BAC=50 三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題例例2. 2. 已知等腰三角

7、形的一個(gè)角是已知等腰三角形的一個(gè)角是7070, ,求其求其余兩角余兩角思路分析：已知等腰三角形的一個(gè)角是思路分析：已知等腰三角形的一個(gè)角是7070, ,那么這個(gè)那么這個(gè)7070的角可能為等腰三角形的底角的角可能為等腰三角形的底角或?yàn)榈妊切蔚捻斀?；由三角形?nèi)角和定或?yàn)榈妊切蔚捻斀牵挥扇切蝺?nèi)角和定理易求出其余兩角理易求出其余兩角70、40或或55、55；三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題引申：引申： 已知等腰三角形的一個(gè)角是已知等腰三角形的一個(gè)角是110110，求其余兩角求其余兩角答案答案:其余兩角為其余兩角為35、35三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題歸納歸納：等腰

8、三角形的頂角可以是銳角等腰三角形的頂角可以是銳角、直角和鈍角；、直角和鈍角； 底角只能是銳角所底角只能是銳角所以，看到等腰三角形中的一個(gè)角的度以，看到等腰三角形中的一個(gè)角的度數(shù)時(shí)，要注意判斷這個(gè)角可能是頂角數(shù)時(shí)，要注意判斷這個(gè)角可能是頂角還是底角，是否需要分類討論還是底角，是否需要分類討論 三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題例例3.3.如圖：如圖：ABC中，中，AB= =AC，BD平分平分ABC交交AC于于D，若，若BDC=120=120，求，求DBC的度數(shù)的度數(shù). .思路分析：由思路分析：由BD平分平分ABC，易知易知1=21=2， 則設(shè)則設(shè)1=2 1=2 = =x，由由AB= =

9、AC可得可得C=1+2=2=1+2=2x, ,在在DBC中中由三角形內(nèi)角和定理可列出由三角形內(nèi)角和定理可列出x的方程，求出的方程，求出x21ABCD三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題1,12,122xBDABCxABACCABCx 解：設(shè)平分，21ABCD三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題0000DBC2180 ,1203180 ,20 .DBCCxDBCx 在中，21ABCD三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題例例4. 4. 在在ABC中，中，AB= =AC，點(diǎn)，點(diǎn)D在在AC上，上，且且BD= =BC= =AD. .求求A的度數(shù)的度數(shù). .思路分析思路分析: :

10、由題設(shè)中的等邊由題設(shè)中的等邊關(guān)系關(guān)系( (AB= =AC，BD= =BC= =AD),),可以推出角的等量或倍數(shù)關(guān)可以推出角的等量或倍數(shù)關(guān)系系, ,在利用方程思想在利用方程思想, ,可求出可求出圖中各角的度數(shù)圖中各角的度數(shù). .1 13421DCAB三、典型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題解：設(shè)解：設(shè)1=1=x,BD= =BC= =AD , ,1=2,3=1=2,3=C, ,3 =3 =C=1+2=2=1+2=2x, ,AB=AC，ABC=C=2=2x, ,在在ABC中，中，A+ABC+C=180=180, ,即即5 5x=180=180,A= =x=36=36. .3421DCAB三、典

11、型例題三、典型例題 - -計(jì)算題計(jì)算題例例5. 5. 等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等腰三角形底邊中點(diǎn)到兩腰的距離相等等. .提示：提示：本題為文字命題，解題時(shí)應(yīng)分為以下本題為文字命題，解題時(shí)應(yīng)分為以下三個(gè)步驟：三個(gè)步驟：（1 1）根據(jù)題意作圖；）根據(jù)題意作圖；（2 2）寫(xiě)出已知，）寫(xiě)出已知，（3 3）進(jìn)行求證）進(jìn)行求證三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題FEDBCA,ABCABAC DBCDEABE DFACFDEDF已知：在中，為底邊的中點(diǎn)，于點(diǎn)于點(diǎn) 求證：,BDDC,BCDEAB DFACBDECDFDEDF 思路分析：由等腰三角形的性質(zhì)易得又，易得從而證出三、典型例題三、典型

12、例題 - -證明題證明題0,BDDC,90 .,ABCABACBCDBCDEAB DFACDEBDFCBDECDFDEDF 證明：在中，則又點(diǎn) 為的中點(diǎn)，F(xiàn)EDBCA三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題例例6.6.如圖：在三角形如圖：在三角形ABC中，中，AB= =AC, ,BDAC于于D，求證：，求證：DBC= = ABACD思路分析：由等腰三角形思路分析：由等腰三角形“三線合三線合一一”可聯(lián)想到作底邊的高，可推出可聯(lián)想到作底邊的高，可推出1/21/2BAC=EAC, , 由由BDAC，AE為高可知為高可知EAC和和DBC都與都與C互余，推出互余，推出DBC=EAC=1/2=1/2B

13、AC.12E三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題BACDE證明：過(guò)點(diǎn)證明：過(guò)點(diǎn)A作作AEBC于點(diǎn)于點(diǎn)E, ,又又AB= =AC, ,EAC =1/2 =1/2BAC, ,BDAC，AE為高可知為高可知, ,EAC和和DBC都與都與C互余互余, ,DBC=EAC=1/2=1/2A三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題課間休息五分鐘課間休息五分鐘例例7.7.在在ABC中，中，AB= =AC，D是是CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)延長(zhǎng)線上一點(diǎn), ,DFBC于于F，交交AB于于E，求證：，求證：AE= =AD. .FEDCBA思路分析：由等腰三角形思路分析：由等腰三角形“三線合三線合一一”可聯(lián)想到作底邊

14、的高可聯(lián)想到作底邊的高AM，可，可推出推出1=2,1=2,由由DFAC，AMBC可知可知DFAM，從而，從而3=43=4，證出結(jié)論，證出結(jié)論M M1 13 34 42 2三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題FEDCBA3412證明：過(guò)點(diǎn)證明：過(guò)點(diǎn)A作作AMBC于于M， AB= =AC, ,1=2,1=2,DFAC，AMBC, ,DFAM，3=13=1， 2=4 2=4 3=4 ,3=4 ,AD= =AE三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題例例8 8如圖，如圖，ABC是正三角形，是正三角形，D、E、F分別是分別是AB、BC、CA上的點(diǎn)，且上的點(diǎn)，且ADBECF，試說(shuō)明，試說(shuō)明DE

15、F是等邊三角形是等邊三角形思路分析：利用等邊三角思路分析：利用等邊三角形的性質(zhì)可推出，邊、角形的性質(zhì)可推出，邊、角的等量關(guān)系，從而易證三的等量關(guān)系，從而易證三角形全等。進(jìn)而說(shuō)明角形全等。進(jìn)而說(shuō)明DEF是等邊三角形是等邊三角形三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題證明：證明：ABC是正三角形，是正三角形，AB=BC=CA,AB=BC=CA,A=B=C=60=60, ,又又ADBECF，BD= =EC= =AF, ,ADFBEDCFE, ,DE= =EF= =DFDEF是等邊三角形是等邊三角形三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題例例9 9如圖，如圖，ABD、 AEC都是等邊三角都是等

16、邊三角形，求證：形，求證： AFG是等邊三角形是等邊三角形思路分析：利用等邊三角思路分析：利用等邊三角形的性質(zhì)可推出，邊、角形的性質(zhì)可推出，邊、角的等量關(guān)系，從而易證三的等量關(guān)系，從而易證三角形全等，進(jìn)而說(shuō)明角形全等，進(jìn)而說(shuō)明AFG是等邊三角形是等邊三角形三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題證明：證明：ABD 和和AED是正三角形，是正三角形，AB= =AD, ,AC= =AE,BAD=CAE=60=60, , CAD=BAD+CAB=60=60+CAB, , BAE=CAE+CAB=60=60+CAB, , CAD=BAE, , ADCBAE, , ADF=GBA三、典型例題三、典型

17、例題 - -證明題證明題又又AD= =AB, ,FAG=180=180-BAD-CAE=60=60, , FAG=DAF=60=60, , ADFBAG, , AF= =AG, ,又又FAG=60=60, ,DEF是等邊三角形是等邊三角形三、典型例題三、典型例題 - -證明題證明題例例10. 10. 求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線求證：如果三角形一個(gè)外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等平行于三角形的一邊，那么這個(gè)三角形是等腰三角形腰三角形提示：本題為文字命題，首先應(yīng)根據(jù)題意提示：本題為文字命題，首先應(yīng)根據(jù)題意作圖；寫(xiě)出已知，求證作圖；寫(xiě)出已知，求證三、典型例題三、典型例題 -

18、-證明題證明題已知：已知：CAE為為ABC的外角，的外角，1=21=2， ADBC. .求證：求證：AB= =ACABCDE12思路分析：欲證思路分析：欲證AB= =AC 可可先證先證B=C, ,又又1=21=2，所以應(yīng)設(shè)法尋求所以應(yīng)設(shè)法尋求B、C與與1 1、2 2的關(guān)系，又由的關(guān)系，又由 ADBC易得結(jié)論易得結(jié)論. .三、典型例題三、典型例題 - -探究題探究題證明：證明： ADBC，1=1=B（兩直線平行，（兩直線平行， 同位角相等），同位角相等）， 2=2=C（兩直線平行，（兩直線平行， 內(nèi)錯(cuò)角相等）內(nèi)錯(cuò)角相等）1=21=2，B=C，AB= =AC（等邊對(duì)等角）（等邊對(duì)等角）ABCDE1

19、2三、典型例題三、典型例題 - -探究題探究題歸納基本圖形歸納基本圖形:圖中有三個(gè)論斷圖中有三個(gè)論斷:(1)AD平分平分EAC,(2)ADBC,(3)ABC為等腰三角形為等腰三角形.ABCDE12三、典型例題三、典型例題 - -探究題探究題我們?nèi)芜x兩個(gè)論斷作為條件我們?nèi)芜x兩個(gè)論斷作為條件,都能推出第三個(gè)論斷都能推出第三個(gè)論斷.(即可以知二推一即可以知二推一)引申引申1 1：已知，在：已知，在ABC中，中，BO、 CO分別分別平分平分ABC和和ACB，BO與與CO交于點(diǎn)交于點(diǎn)O，過(guò)，過(guò)O點(diǎn)作點(diǎn)作DEBC, ,交交AB于于D點(diǎn)點(diǎn), ,交交AC于于E點(diǎn)，若點(diǎn)，若AB=8cm,=8cm,AC=6cm=

20、6cm，求，求ADE的周長(zhǎng)的周長(zhǎng). .oEDCBA思路分析：通過(guò)觀察可以發(fā)思路分析：通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)本圖是由上例的兩個(gè)基本現(xiàn)本圖是由上例的兩個(gè)基本圖形組合而成的圖形組合而成的. .三、典型例題三、典型例題 - -探究題探究題132465引申引申2 2：當(dāng)過(guò)：當(dāng)過(guò)ABC的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外的一個(gè)內(nèi)角和一個(gè)外角平分線的交點(diǎn)作這兩角的公共邊的平行角平分線的交點(diǎn)作這兩角的公共邊的平行線時(shí)，如圖線時(shí)，如圖EF=? =? ?1?4?5?2?3?M?F?E?D?A?B?C思路分析：通過(guò)觀察可以思路分析：通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)本圖是由上例的兩個(gè)發(fā)現(xiàn)本圖是由上例的兩個(gè)基本圖形組合而成的基本圖形組合而成的. .三、典型例

21、題三、典型例題 - -探究題探究題引申引申3 3：當(dāng)過(guò)：當(dāng)過(guò)ABC的兩個(gè)外角平分線上一的兩個(gè)外角平分線上一點(diǎn)，作這兩個(gè)角的公共邊的平行線時(shí)，如點(diǎn)，作這兩個(gè)角的公共邊的平行線時(shí)，如圖圖EF= =？ ?4?3?2?6?5?1?E?F?D?A?B?C思路分析：通過(guò)觀察可以思路分析：通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)本圖是由上例的兩個(gè)發(fā)現(xiàn)本圖是由上例的兩個(gè)基本圖形組合而成的基本圖形組合而成的. .三、典型例題三、典型例題 - -探究題探究題例例1111已知：已知：ABC中，中，ABC=3=3C, , 1=2,1=2,BEAE. .求證：求證：AC- -AB=2=2BE. .21ECBA思路分析：延長(zhǎng)思路分析：延長(zhǎng)BE與與AC交于交于點(diǎn)點(diǎn)F, ,構(gòu)造全等三角形構(gòu)造全等三角形ABEAFE, ,則則2 2BE= =BF, ,AC- -AB= =CF, ,我們只我們只要判定要判定FBC為等腰三角形即為等腰三角形即可可F三、典型例題三、典型例題 - -探究題探究題證明：延長(zhǎng)證明：延長(zhǎng)BE與與AC交于點(diǎn)交于點(diǎn)F, , BEAE. .AEB=AEF=90=90 , , 1=2,1=2,AE= =AE, ,ABEAFE, ,22