離散數(shù)學(xué)-群論-代數(shù)系統(tǒng)

1、離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)II課程安排課程安排總學(xué)時(shí)：總學(xué)時(shí)：72講課學(xué)時(shí)：講課學(xué)時(shí)：72(1-18周周,每周每周4學(xué)時(shí)學(xué)時(shí))教材：教材：離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)孫吉貴等孫吉貴等 -高等教育出版社高等教育出版社 參考教材參考教材: 1離散數(shù)學(xué)離散數(shù)學(xué)-學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題解答孫吉貴等孫吉貴等 -高等教育出版社高等教育出版社2代數(shù)結(jié)構(gòu)與組合數(shù)學(xué)代數(shù)結(jié)構(gòu)與組合數(shù)學(xué)屈婉玲編著屈婉玲編著 - - -北京大學(xué)出版北京大學(xué)出版社社3 離散數(shù)學(xué)習(xí)題集離散數(shù)學(xué)習(xí)題集(抽象代數(shù)分冊抽象代數(shù)分冊)張立昂編著張立昂編著-北京北京大學(xué)出版社大學(xué)出版社4應(yīng)用近世代數(shù)應(yīng)用近世代數(shù)胡冠章編著胡冠章編著 -清華大學(xué)出版社清華大學(xué)出

2、版社課程重要性課程重要性v離散思想離散思想v考研課程考研課程v計(jì)算機(jī)等級考試課程計(jì)算機(jī)等級考試課程v程序員考試課程程序員考試課程v抽象思維能力的培養(yǎng)抽象思維能力的培養(yǎng)第一講第一講 內(nèi)容提要內(nèi)容提要I. 群論的出現(xiàn)群論的出現(xiàn) 02 cbxaxaacbbx242 由于在漫長的歲月里久久找不到一般五次方程的根式解由于在漫長的歲月里久久找不到一般五次方程的根式解法，于是數(shù)學(xué)家們開始進(jìn)行反思。法，于是數(shù)學(xué)家們開始進(jìn)行反思。群論的創(chuàng)始人伽羅華和阿貝爾群論的創(chuàng)始人伽羅華和阿貝爾阿貝爾 1821年阿貝爾上大學(xué)，在學(xué)校里他幾乎全年阿貝爾上大學(xué)，在學(xué)校里他幾乎全是自學(xué)，并開始花大量時(shí)間考慮數(shù)學(xué)問題是自學(xué)，并開始花

3、大量時(shí)間考慮數(shù)學(xué)問題，做研究工作。，做研究工作。1825年大學(xué)畢業(yè)后，獲得年大學(xué)畢業(yè)后，獲得獎(jiǎng)學(xué)金前往柏林和巴黎留學(xué)并謀職。獎(jiǎng)學(xué)金前往柏林和巴黎留學(xué)并謀職。 在柏林他結(jié)識了數(shù)學(xué)家克雷爾（在柏林他結(jié)識了數(shù)學(xué)家克雷爾（A.L.Crelle)，并成為好朋友，他鼓勵(lì)克雷爾創(chuàng)辦了著，并成為好朋友，他鼓勵(lì)克雷爾創(chuàng)辦了著名的數(shù)學(xué)刊物名的數(shù)學(xué)刊物純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志，1826年出第一卷刊登了阿貝爾的年出第一卷刊登了阿貝爾的7篇文章，篇文章，其中就有關(guān)于一般五次方程不能用根式求其中就有關(guān)于一般五次方程不能用根式求解的文章，以后各卷也有他的很多文章。解的文章，以后各卷也有他的很多文章。阿貝爾 當(dāng)阿

4、貝爾的著作發(fā)表時(shí)，引起了所有數(shù)學(xué)家當(dāng)阿貝爾的著作發(fā)表時(shí)，引起了所有數(shù)學(xué)家的驚奇。在這個(gè)著作中阿貝爾證明了這樣一的驚奇。在這個(gè)著作中阿貝爾證明了這樣一個(gè)定理：個(gè)定理：“如果方程的次數(shù)如果方程的次數(shù)n 5，并且系數(shù)被，并且系數(shù)被看成字母，那么任何一個(gè)由這些系數(shù)所組成看成字母，那么任何一個(gè)由這些系數(shù)所組成的根式都不可能是該方程的解。原來在三個(gè)的根式都不可能是該方程的解。原來在三個(gè)世紀(jì)以來用根式去解這種方程之所以不能成世紀(jì)以來用根式去解這種方程之所以不能成功，只因?yàn)檫@個(gè)問題就沒有解。功，只因?yàn)檫@個(gè)問題就沒有解。 1826年阿貝爾又到了巴黎，遇到了當(dāng)時(shí)著名年阿貝爾又到了巴黎，遇到了當(dāng)時(shí)著名的數(shù)學(xué)家勒讓德

5、和柯西。當(dāng)時(shí)他寫了一篇關(guān)的數(shù)學(xué)家勒讓德和柯西。當(dāng)時(shí)他寫了一篇關(guān)于橢圓積分的論文，提交給法國科學(xué)院，但于橢圓積分的論文，提交給法國科學(xué)院，但不幸沒有得到重視，只好又返回柏林。不幸沒有得到重視，只好又返回柏林。阿貝爾 克雷爾為他謀求教授職務(wù)，沒有成功?？死谞枮樗\求教授職務(wù)，沒有成功。1827年年5月阿貝月阿貝爾貧病交加地回到挪威。次年?duì)栘毑〗患拥鼗氐脚餐?。次?月月6日患結(jié)核病不幸去日患結(jié)核病不幸去世，年僅世，年僅27歲。就在他去世后兩天后，克雷爾來信通歲。就在他去世后兩天后，克雷爾來信通知他已被柏林大學(xué)任命為數(shù)學(xué)教授。但為時(shí)已晚，阿知他已被柏林大學(xué)任命為數(shù)學(xué)教授。但為時(shí)已晚，阿貝爾已無法前往接

6、受這一職務(wù)了。貝爾已無法前往接受這一職務(wù)了。 阿貝爾去世前不久，人們才認(rèn)識到他的價(jià)值。阿貝爾去世前不久，人們才認(rèn)識到他的價(jià)值。1828年年，有，有4位法國科學(xué)院院士上書挪威國王，請他為阿貝爾位法國科學(xué)院院士上書挪威國王，請他為阿貝爾提供合適的科學(xué)研究位置，勒讓德也在科學(xué)院會(huì)議上提供合適的科學(xué)研究位置，勒讓德也在科學(xué)院會(huì)議上對阿貝爾大家贊揚(yáng)。阿貝爾在數(shù)學(xué)方面的成就是多方對阿貝爾大家贊揚(yáng)。阿貝爾在數(shù)學(xué)方面的成就是多方面的，除五次方程外，他還研究了更廣泛一類的代數(shù)面的，除五次方程外，他還研究了更廣泛一類的代數(shù)方程，后人發(fā)現(xiàn)這就是具有交換的伽羅華群的方程。方程，后人發(fā)現(xiàn)這就是具有交換的伽羅華群的方程。

7、后人為了紀(jì)念他，就把交換群稱為后人為了紀(jì)念他，就把交換群稱為Abel群群阿貝爾阿貝爾阿貝爾挪威天才數(shù)學(xué)家阿貝爾(Abel)伽羅華伽羅華 不久，他遇到了數(shù)學(xué)教師里查德，里查德很快就發(fā)現(xiàn)了伽羅華的數(shù)學(xué)才能，在他的指導(dǎo)下，伽羅華開始研究代數(shù)方程理論，1828年17歲時(shí)高中未畢業(yè)便有重大發(fā)現(xiàn)，寫出了關(guān)于循環(huán)連分?jǐn)?shù)特別是五次代數(shù)解法的重要論文。伽羅華伽羅華伽羅華伽羅華伽羅華伽羅華伽羅華Born: 25 Oct 1811 in Bourg La Reine (near Paris), FranceDied: 31 May 1832 in Paris, France環(huán)論 環(huán)論起源于環(huán)論起源于19世紀(jì)關(guān)于實(shí)數(shù)

8、域的擴(kuò)張與分類，以及世紀(jì)關(guān)于實(shí)數(shù)域的擴(kuò)張與分類，以及戴德金、哈密頓等人對超復(fù)數(shù)系的建立和研究。戴德金、哈密頓等人對超復(fù)數(shù)系的建立和研究。 環(huán)構(gòu)造的研究可以說是從環(huán)構(gòu)造的研究可以說是從1908年魏得邦的著名論文年魏得邦的著名論文有限維代數(shù)的構(gòu)造有限維代數(shù)的構(gòu)造開始的。開始的。20世紀(jì)二、三十年世紀(jì)二、三十年代，諾特代，諾特(Noether)在環(huán)中引入了左、右理想的概念在環(huán)中引入了左、右理想的概念建立了環(huán)的理想理論。建立了環(huán)的理想理論。 二十世紀(jì)二十世紀(jì)40年代，環(huán)的根理論迅速發(fā)展，特別是雅年代，環(huán)的根理論迅速發(fā)展，特別是雅各布森所創(chuàng)造的一般環(huán)的根的概念，建立了本原環(huán)各布森所創(chuàng)造的一般環(huán)的根的概念

9、，建立了本原環(huán)的理論。的理論。 20世紀(jì)世紀(jì)50年代，阿密蘇和庫洛什又創(chuàng)立了根的一般年代，阿密蘇和庫洛什又創(chuàng)立了根的一般理論，環(huán)論已趨完善。理論，環(huán)論已趨完善。域 論 域也是代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，有著悠域也是代數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，有著悠久的歷史。早在久的歷史。早在19世紀(jì)初，伽羅華在研究方世紀(jì)初，伽羅華在研究方程的根式解時(shí)就有了域的概念。后來在戴德程的根式解時(shí)就有了域的概念。后來在戴德金和克羅內(nèi)克關(guān)于代數(shù)數(shù)的著作里，雖然也金和克羅內(nèi)克關(guān)于代數(shù)數(shù)的著作里，雖然也出現(xiàn)過域的概念，不過那時(shí)還沒有域的抽象出現(xiàn)過域的概念，不過那時(shí)還沒有域的抽象概念。概念。 域的抽象概念始自韋伯，并在其影響下，德

10、域的抽象概念始自韋伯，并在其影響下，德國數(shù)學(xué)家施泰尼茨（國數(shù)學(xué)家施泰尼茨（E.Steinitz)對抽象域進(jìn)行對抽象域進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。了系統(tǒng)的研究。1910年他發(fā)表了論文年他發(fā)表了論文域的域的代數(shù)理論代數(shù)理論，第一次對域的理論作了全面和，第一次對域的理論作了全面和系統(tǒng)地闡述，奠定了域論的基礎(chǔ)。系統(tǒng)地闡述，奠定了域論的基礎(chǔ)。布爾代數(shù) 18351835年，年，2020歲的喬治歲的喬治布爾開辦了一所私人授課學(xué)校布爾開辦了一所私人授課學(xué)校。為了給學(xué)生們開設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚。為了給學(xué)生們開設(shè)必要的數(shù)學(xué)課程，他興趣濃厚地讀起了當(dāng)時(shí)一些介紹數(shù)學(xué)知識的教科書。不久，地讀起了當(dāng)時(shí)一些介紹數(shù)學(xué)知識的教科

11、書。不久，他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實(shí)在令人難他就感到驚訝，這些東西就是數(shù)學(xué)嗎？實(shí)在令人難以置信。于是，這位只學(xué)過初級數(shù)學(xué)的青年自學(xué)了以置信。于是，這位只學(xué)過初級數(shù)學(xué)的青年自學(xué)了艱深的艱深的天體力學(xué)天體力學(xué)和很抽象的和很抽象的分析力學(xué)分析力學(xué)。由。由于他對代數(shù)關(guān)系的對稱和美有很強(qiáng)的感覺，在孤獨(dú)于他對代數(shù)關(guān)系的對稱和美有很強(qiáng)的感覺，在孤獨(dú)的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫的研究中，他首先發(fā)現(xiàn)了不變量，并把這一成果寫成論文發(fā)表。這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然成論文發(fā)表。這篇高質(zhì)量的論文發(fā)表后，布爾仍然留在小學(xué)教書留在小學(xué)教書, , 他開始和許多第一流的英國數(shù)學(xué)家他開始和許多第一

12、流的英國數(shù)學(xué)家交往或通信，其中有數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家德交往或通信，其中有數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家德摩根。摩根。布爾代數(shù) 摩根在摩根在1919世紀(jì)前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知世紀(jì)前半葉卷入了一場著名的爭論，布爾知道摩根是對的，于是在道摩根是對的，于是在18481848年出版了一本薄薄的小冊年出版了一本薄薄的小冊子來為朋友辯護(hù)。這本書是他子來為朋友辯護(hù)。這本書是他6 6年后更偉大的東西的年后更偉大的東西的預(yù)告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚(yáng)，肯定他開預(yù)告，它一問世，立即激起了摩根的贊揚(yáng)，肯定他開辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時(shí)已經(jīng)在研究邏辟了新的、棘手的研究科目。布爾此時(shí)已經(jīng)在研究邏輯代數(shù)，即布爾代數(shù)

13、。他把邏輯簡化成極為容易和簡輯代數(shù)，即布爾代數(shù)。他把邏輯簡化成極為容易和簡單的一種代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)牟牧仙系膯蔚囊环N代數(shù)。在這種代數(shù)中，適當(dāng)?shù)牟牧仙系?推推理理 ，成了公式的初等運(yùn)算的事情，這些公式比過去，成了公式的初等運(yùn)算的事情，這些公式比過去在中學(xué)代數(shù)第二年級課程中所運(yùn)用的大多數(shù)公式要簡在中學(xué)代數(shù)第二年級課程中所運(yùn)用的大多數(shù)公式要簡單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使單得多。這樣，就使邏輯本身受數(shù)學(xué)的支配。為了使自己的研究工作趨于完善，布爾在此后自己的研究工作趨于完善，布爾在此后6 6年的漫長時(shí)年的漫長時(shí)間里，又付出了不同尋常的努力。間里，又付出了不同尋常的努力。布爾代數(shù)

14、 18541854年，他發(fā)表了年，他發(fā)表了思維規(guī)律思維規(guī)律這部杰作，當(dāng)時(shí)他這部杰作，當(dāng)時(shí)他已已3939歲，布爾代數(shù)問世了，數(shù)學(xué)史上樹起了一座新歲，布爾代數(shù)問世了，數(shù)學(xué)史上樹起了一座新的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)的里程碑。幾乎像所有的新生事物一樣，布爾代數(shù)發(fā)明后沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學(xué)發(fā)明后沒有受到人們的重視。歐洲大陸著名的數(shù)學(xué)家蔑視地稱它為沒有數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)上稀奇古怪的家蔑視地稱它為沒有數(shù)學(xué)意義的哲學(xué)上稀奇古怪的東西，他們懷疑英倫島國的數(shù)學(xué)家能在數(shù)學(xué)上做出東西，他們懷疑英倫島國的數(shù)學(xué)家能在數(shù)學(xué)上做出獨(dú)特貢獻(xiàn)。布爾在他的杰作出版后不久就去世了。獨(dú)特貢獻(xiàn)。布爾在他的杰

15、作出版后不久就去世了。2020世紀(jì)初，羅素在世紀(jì)初，羅素在數(shù)學(xué)原理數(shù)學(xué)原理中認(rèn)為，中認(rèn)為， 純數(shù)學(xué)純數(shù)學(xué)是布爾在一部他稱之為是布爾在一部他稱之為思維規(guī)律思維規(guī)律的著作中發(fā)現(xiàn)的著作中發(fā)現(xiàn)的。的。 此說一出，立刻引起世人對布爾代數(shù)的注意此說一出，立刻引起世人對布爾代數(shù)的注意。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學(xué)。今天，布爾發(fā)明的邏輯代數(shù)已經(jīng)發(fā)展成為純數(shù)學(xué)的一個(gè)主要分支。的一個(gè)主要分支。近世代數(shù)的應(yīng)用近世代數(shù)的應(yīng)用 1項(xiàng)鏈問題：用項(xiàng)鏈問題：用n個(gè)顏色的珠子做成有個(gè)顏色的珠子做成有m顆珠子顆珠子的項(xiàng)鏈，問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈的項(xiàng)鏈，問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈? 2分子結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題：在化

16、學(xué)上由某幾種元素分子結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題：在化學(xué)上由某幾種元素可合成多少種不同的物質(zhì)問題，由此指導(dǎo)人們可合成多少種不同的物質(zhì)問題，由此指導(dǎo)人們在自然界尋找或人工合成這些物質(zhì)。在自然界尋找或人工合成這些物質(zhì)。 3正多面體著色問題：一個(gè)正多面體的頂點(diǎn)和面正多面體著色問題：一個(gè)正多面體的頂點(diǎn)和面用用n種顏色著色，問有多少種不同的方法？種顏色著色，問有多少種不同的方法？ 4圖的構(gòu)造與計(jì)算問題。圖的構(gòu)造與計(jì)算問題。近世代數(shù)的應(yīng)用 5開關(guān)電路的構(gòu)造與計(jì)算問題。開關(guān)電路的構(gòu)造與計(jì)算問題。 6數(shù)字通訊的可靠性問題。數(shù)字通訊的可靠性問題。 7幾何做圖問題。幾何做圖問題。 8代數(shù)方程根求解問題。代數(shù)方程根求解問題。 隨

17、著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，象上面例子中的情況一樣，引隨著代數(shù)學(xué)的發(fā)展，象上面例子中的情況一樣，引入了許多運(yùn)算系統(tǒng)，開始是單個(gè)地、獨(dú)立地研究各入了許多運(yùn)算系統(tǒng)，開始是單個(gè)地、獨(dú)立地研究各個(gè)具體的運(yùn)算系統(tǒng)。逐漸地發(fā)現(xiàn)，很多運(yùn)算系統(tǒng)有個(gè)具體的運(yùn)算系統(tǒng)。逐漸地發(fā)現(xiàn)，很多運(yùn)算系統(tǒng)有相同的運(yùn)算性質(zhì)。我們可以抽象出來進(jìn)行討論。抽相同的運(yùn)算性質(zhì)。我們可以抽象出來進(jìn)行討論。抽象地討論而得的結(jié)果適用于各個(gè)具體的運(yùn)算系統(tǒng)。象地討論而得的結(jié)果適用于各個(gè)具體的運(yùn)算系統(tǒng)。這種抽象出共同本質(zhì)后進(jìn)行統(tǒng)一處理的方法是事半這種抽象出共同本質(zhì)后進(jìn)行統(tǒng)一處理的方法是事半功倍的，因而是代數(shù)學(xué)研究以及數(shù)學(xué)研究中最常用功倍的，因而是代數(shù)學(xué)研究以及數(shù)

18、學(xué)研究中最常用的手段，代數(shù)學(xué)中抽象的代數(shù)運(yùn)算很多，但最基本的手段，代數(shù)學(xué)中抽象的代數(shù)運(yùn)算很多，但最基本的、最重要的就是群、環(huán)和域。的、最重要的就是群、環(huán)和域。III.代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì) 定義定義6.1.1設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，稱是一個(gè)非空集合，稱SS到到S的一個(gè)映射的一個(gè)映射f為為S的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，即的一個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，即，對于，對于S中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素a，b，通過，通過f，唯，唯一確定一確定S中一個(gè)元素中一個(gè)元素c：f（a，b）= c，常記，常記為為a * b = c。 S f代數(shù)運(yùn)算是閉運(yùn)算。代數(shù)運(yùn)算是閉運(yùn)算。 該運(yùn)算具有很強(qiáng)的抽象性，不限于該運(yùn)算具有很強(qiáng)的抽象性，

19、不限于+，-， *，/，意義很廣泛。，意義很廣泛。 類似地，可定義類似地，可定義S的的n元代數(shù)運(yùn)算：元代數(shù)運(yùn)算： Sn到到S的映射。的映射。S S中元素任意性使中元素任意性使a a，b b可以是同一個(gè)元素?？梢允峭粋€(gè)元素。例 子 例例6.1.1 自然數(shù)集自然數(shù)集N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上上的二元代數(shù)運(yùn)算；減法和除法不是的二元代數(shù)運(yùn)算；減法和除法不是N上的上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)相減或相二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)自然數(shù)相減或相除可能得到的不是自然數(shù)。除可能得到的不是自然數(shù)。 此外。此外。0雖然雖然是自然數(shù)，但是自然數(shù)，但0不可以作除數(shù)。不可以作除數(shù)。 例例6.1.2 普通的加法

20、、減法與乘法是整數(shù)集普通的加法、減法與乘法是整數(shù)集Z，有理數(shù)集，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集R與復(fù)數(shù)集與復(fù)數(shù)集C上的上的二元代數(shù)運(yùn)算，而除法不是這些集合上的二元代數(shù)運(yùn)算，而除法不是這些集合上的二元代數(shù)運(yùn)算，為什么？二元代數(shù)運(yùn)算，為什么？例 子 例例6.1.3 非零實(shí)數(shù)集非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法、除法是上的乘法、除法是R*上的二元代數(shù)運(yùn)算；加法和減法不是上的二元代數(shù)運(yùn)算；加法和減法不是R*上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)非零實(shí)上的二元代數(shù)運(yùn)算，因?yàn)閮蓚€(gè)非零實(shí)數(shù)相加或相減可能得出數(shù)相加或相減可能得出0 例例6.1.4 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，（S） 是是S的冪集，則集合的交運(yùn)算的冪集，則集合的

21、交運(yùn)算、并運(yùn)算、并運(yùn)算是是（S）上的二元代數(shù)運(yùn)算。）上的二元代數(shù)運(yùn)算。 III代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì) 定義定義6.1.2 設(shè)設(shè) * 是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對于如果對于S中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素a，b，等式，等式a * b = b * a都成立，則稱運(yùn)算都成立，則稱運(yùn)算“*”滿足交換律。滿足交換律。 定義定義6.1.3 設(shè)設(shè) * 是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對于如果對于S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a，b，c，等式，等式（a * b） * c = a * （b * c）都成立，則稱運(yùn)算都成立，則稱運(yùn)算 * 滿足結(jié)合律。滿足結(jié)合律

22、。代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì) 定義定義6.1.4 設(shè)設(shè) * 是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，上的二元代數(shù)運(yùn)算，a是是S中的元素，如果中的元素，如果a * a = a則稱則稱a是關(guān)于運(yùn)算是關(guān)于運(yùn)算 * 的冪等元。如果的冪等元。如果S中每個(gè)元中每個(gè)元素都是關(guān)于素都是關(guān)于 * 的冪等元，則稱運(yùn)算的冪等元，則稱運(yùn)算“*”滿足滿足等冪律。等冪律。 定義定義6.1.5 設(shè)設(shè) * 和和 + 是集合是集合S上的兩個(gè)二元代上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果對于數(shù)運(yùn)算，如果對于S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a，b，c，等式等式a * （b + c） = （a * b） + （a * c），），（b + c） * a =

23、 （b * a） + （c * a）都成立，則稱運(yùn)算都成立，則稱運(yùn)算 * 對對 + 滿足分配律。滿足分配律。 代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì) 定義定義6.1.6 設(shè)設(shè) * 和和 + 是集合是集合S上的兩個(gè)二元代上的兩個(gè)二元代數(shù)運(yùn)算，如果對于數(shù)運(yùn)算，如果對于S中任意兩個(gè)元素中任意兩個(gè)元素a，b，等，等式式 a * （a + b） = a ， a + （a * b） = a，都成立，則稱運(yùn)算都成立，則稱運(yùn)算 * 和和 + 滿足吸收律滿足吸收律。 例例6.1.5 整數(shù)集整數(shù)集Z上的加法、乘法都滿足結(jié)合上的加法、乘法都滿足結(jié)合律和交換律，乘法對加法滿足分配律，但加律和交換律，乘法對加法滿足分配律，但加法

24、對乘法不滿足分配律；減法不滿足結(jié)合律法對乘法不滿足分配律；減法不滿足結(jié)合律，也不滿足交換律；它們都不滿足等冪律，也不滿足交換律；它們都不滿足等冪律，也不滿足吸收律也不滿足吸收律。例 子 例例6.1.6 n階實(shí)矩陣集合上的加法滿足結(jié)合階實(shí)矩陣集合上的加法滿足結(jié)合律，也滿足交換律；乘法滿足結(jié)合律，但律，也滿足交換律；乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律；它們都不滿足等冪律，也不滿足交換律；它們都不滿足等冪律，也不滿足吸收律。不滿足吸收律。 例例6.1.7 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，（S） 是是S的冪集，則的冪集，則（S）上的交運(yùn)算）上的交運(yùn)算、并運(yùn)算、并運(yùn)算都滿足結(jié)合律，交換律，都滿足結(jié)合律

25、，交換律，對對、對對都滿足分配律，它們都滿足等冪律，也都滿足分配律，它們都滿足等冪律，也滿足吸收律。滿足吸收律。補(bǔ)充定義補(bǔ)充定義 定義定義6.1.7 設(shè)設(shè)*是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在若存在el S（或（或er S)使得對使得對S中任意元素中任意元素a都有都有el*a=a(或或a* er=a)，則稱，則稱el （或（或er)是是S中中關(guān)于關(guān)于*運(yùn)算的運(yùn)算的左（或右）單位元左（或右）單位元。若。若e S關(guān)于關(guān)于*運(yùn)算既為左單位元又為右單位元，則稱運(yùn)算既為左單位元又為右單位元，則稱e為為S中關(guān)于中關(guān)于*運(yùn)算的運(yùn)算的單位元。單位元。 例例6.1.8 整數(shù)集合整數(shù)集合Z中關(guān)

26、于加法的單位元是中關(guān)于加法的單位元是0，關(guān)于乘法的單位元是，關(guān)于乘法的單位元是1。補(bǔ)充定義 定義定義6.1.7設(shè)設(shè)*是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，若上的二元代數(shù)運(yùn)算，若存在存在 l S（或（或 r S)使得對使得對S中任意元素中任意元素a都都有有 l*a= l(或或a* r= r)，則稱，則稱 l （或（或 r)是是S中關(guān)于中關(guān)于*運(yùn)算的左（或右）零元。若運(yùn)算的左（或右）零元。若 S關(guān)關(guān)于于*運(yùn)算既為左零元又為右零元，則稱運(yùn)算既為左零元又為右零元，則稱 為為S中關(guān)于中關(guān)于*運(yùn)算的零元。運(yùn)算的零元。 例例6.1.9 n階（階（n 2)實(shí)數(shù)矩陣集合實(shí)數(shù)矩陣集合Mn（R)中關(guān)中關(guān)于矩陣加法的單位元

27、是于矩陣加法的單位元是n階全階全0矩陣，沒有零矩陣，沒有零元，而關(guān)于矩陣乘法的單位元是元，而關(guān)于矩陣乘法的單位元是n階單位矩階單位矩陣，零元是陣，零元是n階全階全0矩陣。矩陣。補(bǔ)充定義 定義定義6.1.7 設(shè)設(shè)*是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，上的二元代數(shù)運(yùn)算，e S是是S中關(guān)于中關(guān)于*運(yùn)算的單位元。運(yùn)算的單位元。 對于對于a S若若存在存在al S （或（或ar S)使得使得al*a=e(或或a* ar=e)，則稱則稱al （或（或ar)是是a關(guān)于關(guān)于*運(yùn)算的左（或右）逆運(yùn)算的左（或右）逆元。若元。若a-1 S既是既是a關(guān)于關(guān)于*運(yùn)算的左逆元又為右運(yùn)算的左逆元又為右逆元，則稱逆元，則稱a-1

28、是是a關(guān)于關(guān)于*運(yùn)算的逆元。運(yùn)算的逆元。 例例6.1.10 n階（階（n 2)實(shí)數(shù)矩陣集合實(shí)數(shù)矩陣集合Mn（R)中中任何矩陣任何矩陣M關(guān)于矩陣加法的逆元是關(guān)于矩陣加法的逆元是-M;而對于而對于乘法只有可逆矩陣乘法只有可逆矩陣M有逆元有逆元M-1。代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì)代數(shù)運(yùn)算及性質(zhì) 可以證明集合可以證明集合S上關(guān)于二元運(yùn)算上關(guān)于二元運(yùn)算*的單位元，零元的單位元，零元以及若以及若*滿足結(jié)合律則滿足結(jié)合律則S中任意元素中任意元素a的逆元的逆元a-1是唯是唯一的。一的。 定義定義6.1.7 設(shè)設(shè) * 是集合是集合S上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果上的二元代數(shù)運(yùn)算，如果對于對于S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a，b，c，

29、 （1 1）若）若 a * b = a * c，則，則b = c，（左消去律），（左消去律） （2 2）若）若 b * a = c * a，則，則b = c，（右消去律），（右消去律）就稱就稱 * 滿足消去律。滿足消去律。需要說明的是，有的書中限制需要說明的是，有的書中限制a a不是關(guān)于不是關(guān)于* *運(yùn)算的零運(yùn)算的零元元 。 例例6.1.11 n(n 2)階實(shí)矩陣集合上的加法滿階實(shí)矩陣集合上的加法滿足消去律，但乘法不滿足消去律，例如，足消去律，但乘法不滿足消去律，例如， 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 = 但但 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1例 子IV. 代數(shù)系

30、統(tǒng)代數(shù)系統(tǒng) 定義定義6.1.8 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，f1，fm是是S 上上的若干代數(shù)運(yùn)算，把的若干代數(shù)運(yùn)算，把S及其運(yùn)算及其運(yùn)算f1，fm看成一個(gè)看成一個(gè)整體來看，叫做一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記為（整體來看，叫做一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，記為（S， f1，fm） 例例6.1.13 6.1.13 設(shè)設(shè)Z Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，Z Z0 0為偶數(shù)集，為偶數(shù)集，N N為自然數(shù)集為自然數(shù)集，+ +、是數(shù)的加法和乘法，則（是數(shù)的加法和乘法，則（Z Z， + +）、（）、（Z Z， ）、（、（Z Z， + +，）都是代數(shù)系統(tǒng)；（）都是代數(shù)系統(tǒng)；（Z Z0 0， + +）、（）、（Z Z0 0， ）、（）、（Z

31、 Z0 0， + +，）都是代數(shù)系統(tǒng)；（）都是代數(shù)系統(tǒng)；（N N， + +）、（）、（N N， ）、（）、（N N， + +，）都是代數(shù)系統(tǒng)。）都是代數(shù)系統(tǒng)。 如果用如果用 、分別表示求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的、分別表示求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的運(yùn)算，那么運(yùn)算，那么（Z Z0 0， ， ），）， （Z Z， ， ）也是）也是代數(shù)系統(tǒng)。代數(shù)系統(tǒng)。代數(shù) 到目前位置我們已經(jīng)對代數(shù)系統(tǒng)有了基本的到目前位置我們已經(jīng)對代數(shù)系統(tǒng)有了基本的了解，但實(shí)際當(dāng)中存在許多代數(shù)系統(tǒng)更為復(fù)了解，但實(shí)際當(dāng)中存在許多代數(shù)系統(tǒng)更為復(fù)雜，非空的雜，非空的S可能為一個(gè)集合族，運(yùn)算也不是可能為一個(gè)集合族，運(yùn)算也不是一個(gè)集合上的運(yùn)算而

32、是在不同的集合之間的一個(gè)集合上的運(yùn)算而是在不同的集合之間的運(yùn)算，即運(yùn)算數(shù)與運(yùn)算結(jié)果屬于集合族中不運(yùn)算，即運(yùn)算數(shù)與運(yùn)算結(jié)果屬于集合族中不同的集合，這樣的代數(shù)系統(tǒng)叫做同的集合，這樣的代數(shù)系統(tǒng)叫做 代數(shù)或分類代數(shù)或分類代數(shù)。使用代數(shù)。使用 代數(shù)可以給出抽象數(shù)據(jù)類型的代代數(shù)可以給出抽象數(shù)據(jù)類型的代數(shù)規(guī)范，從傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)到抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)數(shù)規(guī)范，從傳統(tǒng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)到抽象數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的使用是軟件系統(tǒng)設(shè)計(jì)的新發(fā)展。把一類數(shù)的使用是軟件系統(tǒng)設(shè)計(jì)的新發(fā)展。把一類數(shù)據(jù)和數(shù)據(jù)上的操作封裝在一起就構(gòu)成了一個(gè)據(jù)和數(shù)據(jù)上的操作封裝在一起就構(gòu)成了一個(gè)抽象數(shù)據(jù)類型。抽象數(shù)據(jù)類型。本節(jié)重點(diǎn)本節(jié)重點(diǎn) 對本節(jié)這些運(yùn)算性質(zhì)要熟悉其定義并會(huì)對

33、本節(jié)這些運(yùn)算性質(zhì)要熟悉其定義并會(huì)推斷某些性質(zhì)是否成立。推斷某些性質(zhì)是否成立。 后面各種群、環(huán)、域、格與布爾代數(shù)等后面各種群、環(huán)、域、格與布爾代數(shù)等代數(shù)系統(tǒng)的定義都是根據(jù)運(yùn)算的性質(zhì)來代數(shù)系統(tǒng)的定義都是根據(jù)運(yùn)算的性質(zhì)來下的，因此對某代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行判斷（如下的，因此對某代數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行判斷（如判斷它是否為群），都必然歸結(jié)到對運(yùn)判斷它是否為群），都必然歸結(jié)到對運(yùn)算性質(zhì)的判斷上，這是本部份最為重要算性質(zhì)的判斷上，這是本部份最為重要內(nèi)容之一。內(nèi)容之一。第二講第二講 內(nèi)容提要內(nèi)容提要I.半群半群 定義定義6.2.1 設(shè)設(shè)G是一個(gè)非空集合，若是一個(gè)非空集合，若為為G上上的二元代數(shù)運(yùn)算，且滿足結(jié)合律，則稱該的二元代數(shù)

34、運(yùn)算，且滿足結(jié)合律，則稱該代數(shù)系統(tǒng)（代數(shù)系統(tǒng)（G， ）為半群。若（）為半群。若（G， ）是）是半群，且半群，且G中存在對于中存在對于運(yùn)算的單位元運(yùn)算的單位元e,則把則把（G， ）稱為獨(dú)異點(diǎn)。）稱為獨(dú)異點(diǎn)。 例例6.2.1 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，是一個(gè)非空集合，（S） 是是S的冪集，的冪集，和和是是（S）上的交運(yùn)算和并運(yùn)）上的交運(yùn)算和并運(yùn)算，則（算，則（S），），）為半群，（）為半群，（S），）為半群。）為半群。 例例6.2.2 設(shè)設(shè)S是一個(gè)非空集合，規(guī)定是一個(gè)非空集合，規(guī)定S上的上的運(yùn)算運(yùn)算 如下：如下：a b=b，其中其中a，b是是S中任意元素。顯然中任意元素。顯然 為為S上的上的二元代數(shù)運(yùn)

35、算。對二元代數(shù)運(yùn)算。對S中任意三個(gè)元素中任意三個(gè)元素a，b，c，有：（，有：（a b） c=b c=c， a （b c）=a c=c， 故，（故，（a b） c = a （b c），）， 滿足結(jié)合律，因此，（滿足結(jié)合律，因此，（S， ）為半群。）為半群。 例 子例 子 例例6.2.3自然數(shù)集自然數(shù)集N，整數(shù)集，整數(shù)集Z，有理數(shù)集，有理數(shù)集Q，實(shí)數(shù)集，實(shí)數(shù)集R關(guān)于普通加法或乘法都可以關(guān)于普通加法或乘法都可以構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)。正整數(shù)集構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)。正整數(shù)集Z+關(guān)于普關(guān)于普通乘法構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)，而關(guān)于加法通乘法構(gòu)成半群和獨(dú)異點(diǎn)，而關(guān)于加法只能構(gòu)成半群。只能構(gòu)成半群。II. 群的定義群的定義群的

36、條件群的條件注意注意:群的定義實(shí)際上包含群的定義實(shí)際上包含5個(gè)條件個(gè)條件G非空；非空； 例 子例例6.2.4 設(shè)設(shè)Z為整數(shù)集，為整數(shù)集，+、是數(shù)的加法和是數(shù)的加法和乘法，則半群（乘法，則半群（Z， +）是群，稱為整數(shù)）是群，稱為整數(shù)加法群。因?yàn)榇嬖谠丶臃ㄈ骸Ｒ驗(yàn)榇嬖谠?，適合對于，適合對于Z中中任意元素任意元素a，都有，都有0 + a = a + 0= a，即，即0為為單位元素；且對于單位元素；且對于Z中任意中任意a，都可找到，都可找到Z中一個(gè)元素中一個(gè)元素-a，滿足，滿足a + （-a） = （-a） + a = 0，即，即-a為為a的逆元素的逆元素。 例 子例例6.2.5 6.2.5

37、令令G=e,a,b,cG=e,a,b,c，* *運(yùn)算由表運(yùn)算由表1 1給出。容給出。容易驗(yàn)證易驗(yàn)證* *運(yùn)算滿足結(jié)合律，運(yùn)算滿足結(jié)合律，e e是是G G中的單位元，任中的單位元，任意元素意元素a a的逆的逆a a-1-1=a=a。G G關(guān)于關(guān)于* *運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，稱運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)群，稱為為KleinKlein四元群。四元群。eabceeabcaaecbbbceaccbaeIII.群的性質(zhì)群的性質(zhì)-1定理定理6.2.1 設(shè)（設(shè)（G， ）是一個(gè)群，則）是一個(gè)群，則G中恰中恰有一個(gè)元素有一個(gè)元素1適合適合1a = a1 = a，而且對于任，而且對于任意意a恰有一個(gè)元素恰有一個(gè)元素 a-1適合適合aa

38、-1 = a-1a = 1。證明證明：若若1和和1都是單位元素，則都是單位元素，則1=11=1，故，故1=1。 若若b和和c都有都有a-1的性質(zhì)，則的性質(zhì)，則b = b 1 = b（ac） =（ba）c = 1c = c，故，故b = c。 這就是說群的單位元素是唯一的，任意元素這就是說群的單位元素是唯一的，任意元素的逆也是唯一的。易見（的逆也是唯一的。易見（a-1）-1=a（由逆元（由逆元的唯一性直接得到）。的唯一性直接得到）。 群的性質(zhì)群的性質(zhì)-2 定理定理6.2.2 群定義中的條件（群定義中的條件（1）和（）和（2）可以）可以減弱如下：減弱如下：（1）G中有一個(gè)元素左壹適合中有一個(gè)元素左

39、壹適合1a=a;（2）對于任意對于任意a，有一個(gè)元素左逆，有一個(gè)元素左逆a-1適合適合a-1 a=1。證明：只要證明由（證明：只要證明由（1）、（、（2）（和其余（和其余的條件聯(lián)合）可以推出（的條件聯(lián)合）可以推出（1）和（）和（2），即只），即只需證明需證明a1 = a和和aa-1 = 1。證法一證法一 證法一證法一：先證a 1=a.由（由（1） 知有知有1 1=1，由，由（2） 知知a-1a=1，用其部分代替上式中的，用其部分代替上式中的1，得到（得到（a-1a） 1= a-1a，由（，由（2） 知知a-1有逆令有逆令其為其為b，并用，并用b 左乘上式兩端得到左乘上式兩端得到b （a-1a）

40、 1= b (a-1a),由于（由于（G， ）是半群，）是半群， 運(yùn)算滿運(yùn)算滿足結(jié)合律，得到足結(jié)合律，得到a 1=a。 現(xiàn)在證現(xiàn)在證a a -1=1.由（由（1） 知知a 1有左有左1使使 1 a 1=a 1，用，用a-1a代替等式左端的代替等式左端的1得到得到 （a-1a）a-1 =a 1，由（，由（2） 知知a-1有左逆令其有左逆令其為為b，并用，并用b 左乘上式兩端得到左乘上式兩端得到 b （a-1a） a-1 = b a-1，得到，得到a a -1=1。證法二證法二 證法二證法二：先證先證a 1=a.由（由（1） 知有知有1 1=1，由，由（2） 知知a-1a=1，用其部分代替上式中的

41、，用其部分代替上式中的1，得到（得到（a-1a） 1= a-1a，由（，由（2） 知知a-1有逆令有逆令其為其為b，并用，并用b 左乘上式兩端得到左乘上式兩端得到b （a-1a） 1= b (a-1a),由于（由于（G， ）是半群，）是半群， 運(yùn)算滿運(yùn)算滿足結(jié)合律，得到足結(jié)合律，得到a 1=a。 現(xiàn)在證現(xiàn)在證a a -1=1.由（由（2） 知知a-1有逆令其為有逆令其為b，于是于是b a-1=1，用，用a 右乘等式兩端得到右乘等式兩端得到 b a-1 a =1 a，故，故b=a，即，即a a -1=1。證畢。證畢證法三證法三證法三先證先證aa-1 = 1。因?yàn)椋āＲ驗(yàn)椋╝-1a）a-1=1a-

42、1= a-1，故（故（a-1a）a-1= a-1。由（。由（2）， a-1也應(yīng)該有一也應(yīng)該有一個(gè)左逆?zhèn)€左逆b適合適合ba-1=1。 于是，一方面有：于是，一方面有：b（a-1a）a-1） = ba-1 = l，另一方面有：另一方面有：b（a-1a）a-1）= （ba-1）（aa-1）=1（aa-1）= aa-1，因此，因此，aa-1=1。再證再證a1=a。事實(shí)上，。事實(shí)上， a1 = a（a-1a）= （aa-1）a = 1a = a。 自然，把（自然，把（1），（，（2） 中對于左邊的要求一律中對于左邊的要求一律改改成對于右邊的要求也是一樣。成對于右邊的要求也是一樣。 群的性質(zhì)群的性質(zhì)-3

43、定理定理6.2.3 群定義中的條件（群定義中的條件（1）和（）和（2）等于下）等于下列可除條件：對于任意列可除條件：對于任意a，b，有，有使使 a=b，又，又有有y使使ay=b。 證明：分析，首先我們應(yīng)該清楚證明：分析，首先我們應(yīng)該清楚(G,)是一個(gè)半群是一個(gè)半群這個(gè)前提，其次要清楚這個(gè)前提，其次要清楚x和和y是是G中的元素，最后中的元素，最后要清楚定義中的（要清楚定義中的（1）和（）和（2）兩個(gè)條件在是承認(rèn)）兩個(gè)條件在是承認(rèn)(G,)是一個(gè)半群基礎(chǔ)上等價(jià)于可除條件的，即它是一個(gè)半群基礎(chǔ)上等價(jià)于可除條件的，即它們能夠互相推出，因此這是一個(gè)充分必要條件，們能夠互相推出，因此這是一個(gè)充分必要條件，需

44、要證明充分性和必要性。為此，需要證明必要需要證明充分性和必要性。為此，需要證明必要性，即在任一群中可除條件成立。因?yàn)?，取性，即在任一群中可除條件成立。因?yàn)?，?ba-1，y=a-1b，即得，即得a=b，ay=b，故，由（，故，由（1）和（）和（2）可以推出可除條件成立。）可以推出可除條件成立。 證證 明明 充分性，要證明由可除條件也可以推出（充分性，要證明由可除條件也可以推出（1），（），（2） ，為此首先證明由可除條件推出（，為此首先證明由可除條件推出（1），（，（2），進(jìn)而可以推出（，進(jìn)而可以推出（1），（），（2）。事實(shí)上，?。?。事實(shí)上，取cG，有，有c=c成立成立,進(jìn)一步分析我們令進(jìn)一

45、步分析我們令e是滿足上述方程是滿足上述方程的的解，解，則則ec=c。由于我們要推出。由于我們要推出(1),因此我們應(yīng)該因此我們應(yīng)該猜想這個(gè)猜想這個(gè)e是否是左單位元呢是否是左單位元呢?如果使則對如果使則對G中任意元中任意元素素a有有ea=a.那么那么a 與這個(gè)確定的與這個(gè)確定的c有何關(guān)系有何關(guān)系?事實(shí)上對事實(shí)上對于任意于任意a，有，有y使使cy=a，故，故ea=e（cy）=（ec）y=cy=a，即（，即（1）成立。至于（成立。至于（2），只要，只要令令a-1為適合為適合a=e的的，則，則a-1a=e。 群的性質(zhì)群的性質(zhì)-4 定理定理6.2.4 設(shè)G是一個(gè)群，在一個(gè)乘積a1an中可以任意加括號而求

46、其值。 證明：證明： 要證定理，只要證明任意加括號要證定理，只要證明任意加括號而得的積等于按次序由左而右加括號所而得的積等于按次序由左而右加括號所得的積得的積（a1a2）a3）an-1）an （1）（1）式對于）式對于n=1，2不成問題；對于不成問題；對于n=3，由結(jié)合律也不成問題。由結(jié)合律也不成問題。 證證 明明 現(xiàn)在對現(xiàn)在對n用歸納法，假定對少于用歸納法，假定對少于n個(gè)因子的乘積個(gè)因子的乘積（1）式成立，試證對）式成立，試證對n個(gè)因子的乘積（個(gè)因子的乘積（1）式）式也成立。設(shè)有由也成立。設(shè)有由a1an任意加括號而得到的乘任意加括號而得到的乘積積A，求證，求證A等于（等于（1）式。設(shè)在）式。設(shè)在A中最后一次中最后一次計(jì)算是前后兩部分計(jì)算是前后兩部分B與與C相乘：相乘： A = （B）（C） 今今C的因子個(gè)數(shù)小于的因子個(gè)數(shù)小于n，故由歸納假設(shè)，故由歸納假設(shè)，C等于等于按次序自左而右加括號所得