數(shù)學物理方法第和章(1)

1、精選ppt1第三章第三章 冪級數(shù)展開冪級數(shù)展開3.2 3.2 冪級數(shù)冪級數(shù)3.3 3.3 泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開3.4 3.4 3.1 3.1 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)3.5 3.5 洛朗級數(shù)展開洛朗級數(shù)展開3.6 3.6 孤立奇點的分類孤立奇點的分類精選ppt2稱級數(shù)稱級數(shù)復數(shù)項級數(shù)和復數(shù)項級數(shù)和, 2 , 1 , 0kivuwkkk111kkkkkkviuwnkknkknkkviuw111前前n 項和項和若若Fwnkkn1lim有限有限1kkw收斂于收斂于F這時這時uunkkn1limvvnkkn1lim也收斂也收斂nF3.1 3.1 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)1 1、 復數(shù)項級數(shù)復數(shù)項級數(shù)精選p

2、pt3pnnnnpnwwwFF21pnnkkw1科西收斂判據(jù)：科西收斂判據(jù)：(級數(shù)收斂必要條件級數(shù)收斂必要條件)對于任意對于任意 0,有有N，使得，使得nN時時p 為任意正整數(shù)為任意正整數(shù)絕對收斂：絕對收斂：1kkw122kkkvu收斂收斂2 2、復變函數(shù)項級數(shù)、復變函數(shù)項級數(shù))()()(211zwzwzwkk各項都是各項都是z 的函數(shù)的函數(shù)對于對于B（或（或l 上）任意上）任意z,給定給定 0,總有總有N(z)，使得，使得nN(z) 時時pnnkkzw1)(稱為級數(shù)在稱為級數(shù)在B上一致收斂上一致收斂此時，若每項連續(xù)，此時，若每項連續(xù)，則和連續(xù)則和連續(xù)精選ppt420201000)()()(z

3、zazzaazzakkk令：令：1 1、比值判別法、比值判別法3.2 3.2 冪級數(shù)冪級數(shù)討論冪討論冪級數(shù)級數(shù)為以為以z0 為中心的冪級數(shù)為中心的冪級數(shù)202010)()(zzazzaa考慮考慮kkkkkzzazza)()(lim0101)(lim01zzaakkk11limkkkaaRRzz )(0絕對收斂絕對收斂1發(fā)散發(fā)散絕對收斂絕對收斂精選ppt52 2、根值判別法、根值判別法發(fā)散發(fā)散1)(lim0kkkkzzaRzz )(0絕對收斂絕對收斂1)(lim0kkkkzza發(fā)散發(fā)散kkkaR1limRzz )(0絕對收斂絕對收斂Rzz )(0發(fā)散發(fā)散精選ppt63 3、收斂圓與收斂半徑收斂圓

4、與收斂半徑的收斂半徑的收斂半徑例：求冪級數(shù)例：求冪級數(shù)1ka以以z0為圓心半徑為為圓心半徑為R的圓內(nèi)級數(shù)絕對收斂，這個圓稱的圓內(nèi)級數(shù)絕對收斂，這個圓稱為收斂圓。為收斂圓。R為收斂半徑為收斂半徑1事實上：事實上：0kkz解：解：收斂圓：收斂圓：以以0為圓心為圓心半徑為半徑為1nkkz0zzn1110kkzzznn11lim11z如如z11) 1( z1limkkkaaR1z精選ppt7的收斂半徑的收斂半徑例：求冪級數(shù)例：求冪級數(shù)kka) 1(1公比為公比為02) 1(kkkz解：解：收斂圓：收斂圓：以以0為圓心為圓心半徑為半徑為102) 1(kkkz2z1z如如211z) 1( z1limkkk

5、aaR1z的收斂半徑的收斂半徑例：求冪級數(shù)例：求冪級數(shù)02) 2/(kkz解：解：kkkaR221limkkk222/11lim2精選ppt800)()(kkkzzazf定理：設(shè)定理：設(shè)f(z)在以在以z0為圓心的為圓心的圓圓CR內(nèi)解析，則對圓內(nèi)的任意內(nèi)解析，則對圓內(nèi)的任意z點，點，f(z)可展開為可展開為其中：其中：3.3 3.3 泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開!)()()(210)(101kzfdzfiakCkkR0zz0zzCR1為為圓圓CR內(nèi)包含內(nèi)包含z且與且與CR同心的圓同心的圓CR1CR精選ppt9證：證：cauch公式公式0zz0zz1)(21)(RCdzfizf)(1100zzzz)

6、/()(111000zzzz20000011zzzzzzz100zzz00001kkzzzz0100)()(kkkzzzCRCR1精選ppt10而由而由cauch公式公式1)(21)(RCdzfizf1)()()(210100RCkkkdfzzzi1)()(121)(1000RCkkkdfzizzlkkdzfikzf1)()()(2!)(00)()(kkkzzazf!)(0)(kzfakk精選ppt11展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把公比為公比為zezf)(解：解：! 212kzzzkzkk lim!)(0)(kzfakk0!1zkzkdzedk!1kze1limkkkaaR0!k

7、kkz精選ppt12展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把zzfsin)(解：解：z和和zzfcos)()(21sinizizeeiz)!)(!)(2100kkkkkizkizi)!)(!)(2100kkkkkizkizi012)!12() 1(kkkkz)(21cosizizeez02)!2() 1(kkkkzz精選ppt13展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把zzf11)(解：解：1z21zzz110kkz展開展開例：在例：在z0=0鄰域上把鄰域上把211)(zzf211z02kkz1z精選ppt14展開展開例：在例：在z0=1鄰域上把鄰域上把zzfln)(解：解：zzfln

8、)(1ln) 1 (fin2zzf1)( 2! 1)( zzf3)3(! 2)(zzfkkkzkzf)!1() 1()()(1) 1 ( f1) 1 ( f! 2) 1 ()3(f)!1() 1() 1 ()(kfkkzlnkkzkkzzin) 1(!)!1() 1() 1(! 2! 1) 1(! 1122精選ppt15zlnkkzkkzzin) 1(!)!1() 1() 1(! 2! 1) 1(! 1122kkzkzzin) 1() 1() 1(21) 1(22) 11(z精選ppt163.4 3.4 解析沿拓解析沿拓比較兩個比較兩個函數(shù)：函數(shù)：1zz11201zzzkk除除 z=1 以外以

9、外設(shè)某個區(qū)域設(shè)某個區(qū)域b 上的解析函數(shù)上的解析函數(shù)f(z)，找出另一函數(shù)找出另一函數(shù)F(z),它在它在含有含有b 的一個較大的區(qū)域的一個較大的區(qū)域B上解析，且在區(qū)域上解析，且在區(qū)域b上等于上等于f(z)和和兩者在較小區(qū)域等同兩者在較小區(qū)域等同bB稱稱F(z)為為 f(z)的的解析沿拓解析沿拓1 1、解析沿拓概念、解析沿拓概念精選ppt17設(shè)設(shè)f(z)， F(z)在某個區(qū)域在某個區(qū)域B上解析，若在上解析，若在B的任一的任一子區(qū)域子區(qū)域b 中中f(z) F(z)，則在整個區(qū)域則在整個區(qū)域B上必有上必有f(z) F(z)。2 2、解析沿拓唯一性概念、解析沿拓唯一性概念精選ppt183.5 3.5 洛

10、朗級數(shù)展開洛朗級數(shù)展開考慮如下冪級數(shù)考慮如下冪級數(shù)202010101202)()()()(zzazzaazzazzakkkzza)(0正冪部分收斂半徑為正冪部分收斂半徑為R1負冪部分，記負冪部分，記 =1/( z-z0 ),級數(shù)級數(shù)33221aaa的收斂圓半徑為的收斂圓半徑為 1/R2= 即在即在 z-z0 = R2圓外圓外收斂圓收斂圓kkkaaR/lim) 1(2精選ppt19kkkzza)(0在圓環(huán)在圓環(huán) R2 z-z0 R1內(nèi)絕對一致內(nèi)絕對一致收斂圓收斂圓kkkzzazf)()(0定理：設(shè)定理：設(shè)f(z)在圓環(huán)在圓環(huán) R2 z-z0 0), 可令可令 n=l+h hlhllxzhlxzl

11、)21()!(1)21(!110精選ppt36令令 -h=m, n=l hlhllxzhlxzl)21()!(1)21(!110hhlhllhzxhll102)21()!() 1(!1) 1(mmnmnnmzxmnn102)21()!() 1(!1) 1(精選ppt37mmnnmnzxnnmzf 002)2(!)!() 1()(mmnmnnmzxmnn102)21()!() 1(!1) 1( z0mmmzzxzJezf)1(21)(Jm為為m階貝塞爾函數(shù)階貝塞爾函數(shù) 精選ppt383.6 3.6 孤立奇點的分類孤立奇點的分類kkkzzazf)()(0f(z)在某點在某點z0 不可導，而在不可導

12、，而在z0的任意小鄰域內(nèi)處處可導，的任意小鄰域內(nèi)處處可導，稱稱z0為為f(z)的的孤立奇點孤立奇點f(z)正冪部分稱為正冪部分稱為解析部分解析部分，負冪部分稱為，負冪部分稱為主要部分主要部分(z-z0 )-1的系數(shù)的系數(shù)a-1稱為稱為f(z)在在 奇點奇點z0的的留數(shù)留數(shù)202010)()()(zzazzaazf若若稱稱z0為為f(z)的的可去奇點可去奇點精選ppt39)()()()(0101010zzaazzazzazfmmmm若若稱稱z0為為f(z)的的本性奇點本性奇點m為為z0的階，一階極點簡稱為的階，一階極點簡稱為單極點單極點精選ppt40第四章第四章 留數(shù)定理留數(shù)定理4.2 4.2

13、利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分4.1 4.1 留數(shù)定理留數(shù)定理精選ppt414.1 4.1 留數(shù)定理留數(shù)定理kkkzzazf)()(0若若l所圍區(qū)域解析，則所圍區(qū)域解析，則考慮積分考慮積分ldzzf)(0)(ldzzf若若l所圍區(qū)域包圍一個奇所圍區(qū)域包圍一個奇點點z0 ，展開，展開f(z)，則則0zl0ldzzzadzzfklkkl0)()(00)()(lldzzfdzzf精選ppt421n0ldzzi12110)(21lndzzi由由(l不包圍不包圍 )(l包圍包圍 )dzzzadzzfklkkl0)()(00zl0l12ia)(Re20zsfi)(Re01zs

14、faa-1稱為稱為f(z)在在 奇點奇點z0的的留數(shù)留數(shù)精選ppt43若若l所圍區(qū)域包圍所圍區(qū)域包圍n個奇?zhèn)€奇點點b1 b2 b3 .， bn , 則則321)()()()(lllldzzfdzzfdzzfdzzf1l2l2bl1b3b3l)(Re)(Re)(Re2321bsfbsfbsfinjjbsfi1)(Re2稱為留數(shù)定理稱為留數(shù)定理如何求如何求a-1？若若z0為為單極點單極點)()(01001zzaazzazf精選ppt44)()(01001zzaazzazf2010010)()()()(zzazzaazfzz10)()(lim0azfzzzz若若)()()(zQzPzf)()()(l

15、im00zQzPzzzz)( )(00zQzP)( )()(lim00zQzPzzzz精選ppt45若若z0為為f(z)的的m階階極點極點)()()()(010011010zzaazzazzazzazfmmmmmmmmmzzazzazzaazfzz)()()()()(00101010)()()!1(1lim)(Re01100zfzzdzdmzsfmmmzz)()(lim)(Re000zfzzzsfzzm階階極點極點單單極點極點njjlbsfidzzf1)(Re2)(留數(shù)定理留數(shù)定理精選ppt46求求 Resf(0)例：例：zezf1)(解：解：211! 2111zzez1)0(Resf精選pp

16、t47求求 Resf(1)例：例：) 1/(1)(nzzf解：解：)() 1(lim) 1 (Re1zfzsfz) 1/() 1(lim1nzzz)/(1lim11nznzn/1精選ppt48的極點，求的極點，求留數(shù)留數(shù)例：確定函數(shù)例：確定函數(shù))4/()2()(33zzizzf解：解：)()2(lim)2(Re2zfizisfiz) 4(2422333zzizzziz)2)(2(23izizziz)2(13izz321limzizi 818i)()!13(1lim)0(Re3220zfzdzdsfz)21(! 21lim220izdzdz)2(1lim30izz8i精選ppt49例：計算回路積

17、分例：計算回路積分解：解：)()11(lim)(Re200zfzzsfzz) 10(211z1221zdzzz被積函數(shù)的奇點為被積函數(shù)的奇點為單位圓單位圓 z = 1 內(nèi)的內(nèi)的奇點為奇點為2011z211)1)(1 (11)1 (1精選ppt50)11(1lim20zzzzzzzz21)11(lim220)()11(lim)(Re200zfzzsfzz21211221zdzzz)(Re20zsfi21i精選ppt514.2 4.2 利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分利用留數(shù)定理計算實變函數(shù)定積分(1)、無窮積分、無窮積分dxxf)(若若f(z) 在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇在實軸上無奇

18、點，在上半平面除有限個孤立奇點點bk (k=1,2,n) 外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，當半平面中，當z 無窮時，無窮時，zf(z)一致趨于零，一致趨于零，則則dxxf)(nkzkbsfi10Im)(Re2kbo-RRCR)(/ )()(xxxf)(x)(x則則至少高于至少高于 兩階兩階精選ppt52證明：證明：dxxf)()()(lim)(RCRRRldzzfdxxfdzzfnkzkbsfi10Im)(Re2kbo-RRCRRCRdzzf)(limRCRzdzzzf)(limRRzzfR)(maxlim0nkzkbsfi10Im)(Re2精選ppt53

19、例：計算積分例：計算積分解：解：21xdxI上半平面奇點為上半平面奇點為z0 = i211)(zzf)(1iziz)(Re2isfiI)()(lim2zfiziizii212精選ppt54例：計算積分例：計算積分解：解：nxdxI)1 (2被積函數(shù)的奇點為被積函數(shù)的奇點為上半平面為上半平面為n階極點階極點z0 = inzzf)1 (1)(2nniziz)()(1n為整數(shù)為整數(shù))()()!1(1lim)(Re111zfizdzdnisfnnniz)()!1(1lim11nnnizizdzdniznniznnnnn) 1()()!1()11() 1)(精選ppt55)(Re2isfiI)(Reis

20、fiznniznnnnn)1()()!1()11() 1)(12)2()!1()22() 1)(ninnnnnnninnnn) 1(2)!1()22() 1() 1(121innnnn 122)!1()22() 1(222)!1()22() 1(nnnnn精選ppt56(2)、三角函數(shù)有理積分積分、三角函數(shù)有理積分積分20)sin,(cosdR若若R(cos , sin )為為 cos , sin 的有理函數(shù)，且在的有理函數(shù)，且在0，2 上上連續(xù)，連續(xù)，則則nkzzsfi11)(Re2)2,2(1)(11izzzzRzizf其中其中20)sin,(cosdR表示表示f(z)在單位圓內(nèi)所在單位圓

21、內(nèi)所有有奇點的留數(shù)和奇點的留數(shù)和nkzzsf11)(Re精選ppt57證明：證明：2/ )(cosiieeiez )2/()(sinieeii2/ )(1zz)2/()(1izzdiedzi201z20)sin,(cosdRizd111)2,2(zizdzizzzzR1)(zdzzfnkzzsfi11)(Re2精選ppt58例：計算積分例：計算積分解：解：20cos1adI令令有兩個一有兩個一階極點階極點( a 1)2u1221) 12(22zzazdziaiuez 20222sin21uaaduI202cos12uaadu有兩個一有兩個一階極點階極點1) 12() 12(2221aaz1)

22、12() 12(2222aaz精選ppt60為單為單極點極點，在圓內(nèi)，在圓內(nèi)1) 12() 12(2221aaz1) 12() 12(2222aaz1)(Re22zsfiI21) 12() 12(122222zzaaziia21a1221) 12(22zzazdziaI20221sinaaad精選ppt61例：計算積分例：計算積分解：解：202cosxdxIn令令(a1)122)21(znizdzzzIixez 有一個奇有一個奇點點z=0,為為2n+1階極點階極點121222) 1(21znnndzzzi)0(Re2212sfiin)()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdns

23、fnnnz精選ppt62121222) 1(21znnndzzziI)()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnz) 1()!2(1lim22220nnnzzdzdn)()!2( !)!2()!2(1lim2220220knnknnzzknkndzdnnknknknknknkn224)!2( !) 1224() 124)(24(精選ppt63)()0()!2(1lim)0(Re12220zfzdzdnsfnnnznknknknknknkn224)!2( !) 1224() 124)(24(nk !)!2()0(Rennnsf)0(Re2212sfiiIn!)!2(22

24、2nnnn121222) 1(21znnndzzziI精選ppt64(3)、含三角函數(shù)的無窮積分、含三角函數(shù)的無窮積分0cos)(mxdxxF其中其中F(z)為偶數(shù)，為偶數(shù)，G(x)為奇數(shù)為奇數(shù)0sin)(mxdxxG若若f(z) 在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇點在實軸上無奇點，在上半平面除有限個孤立奇點bk (k=1,2,n) 外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上半平外處處解析；在包括實軸在內(nèi)的上半平面中，當面中，當 z 無窮時，無窮時，f(z)一致趨于零，且一致趨于零，且m0則則0cos)(mxdxxFnkzimbkkebFsi10Im)(Re0sin)(mxdxxGnkzimbkkebGs10Im)(