神秘的無窮與三次數(shù)學(xué)危機(jī)

1、.1第五講第五講 神秘的無窮與三次數(shù)學(xué)危機(jī)神秘的無窮與三次數(shù)學(xué)危機(jī).2目錄一、一、“有無限個(gè)房間有無限個(gè)房間”的的Hilbert旅館旅館二、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系二、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系三、悖論（三、悖論（paradox）四、四、 數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映五、五、 潛無限與實(shí)潛無限與實(shí)無限無限六哲學(xué)中的無限六哲學(xué)中的無限七、無窮與數(shù)學(xué)危機(jī)七、無窮與數(shù)學(xué)危機(jī).3 1. “客滿客滿”后又來后又來1位客人位客人（“客滿客滿”） 1 2 3 4 k 2 3 4 5 k+1 空出了空出了1 1號房間號房間 一、一、“有無限個(gè)房間有無限個(gè)房間”的的Hilbert旅館旅館.4

2、2 . 客 滿 后 又 來 了 一 個(gè) 旅 游 團(tuán) ， 旅 游 團(tuán)客 滿 后 又 來 了 一 個(gè) 旅 游 團(tuán) ， 旅 游 團(tuán)中有無窮個(gè)客人中有無窮個(gè)客人 1 2 3 4 k 2 4 6 8 2k 空下了奇數(shù)號房間空下了奇數(shù)號房間 .53. 客滿后又來了一萬個(gè)旅游團(tuán)，客滿后又來了一萬個(gè)旅游團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人1 2 3 4 k 10001 20002 30003 40004 10001k 給出了一萬個(gè)、又一萬個(gè)的空房間給出了一萬個(gè)、又一萬個(gè)的空房間 .6是否有人想提什么問題？是否有人想提什么問題？.74. 思思 該旅館客滿后又來了無窮個(gè)旅游該旅館客滿后又來了無窮個(gè)旅游

3、團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，還能否團(tuán)，每個(gè)團(tuán)中都有無窮個(gè)客人，還能否安排？安排？“無窮大！任何一個(gè)其他問題都不曾如此深刻地影響人類的精神；任何一個(gè)其他觀點(diǎn)都不曾如此有效地激勵人類的智力；然而，沒有任何概念比無窮大更需要澄清”-Hilbert.8 二、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系二、無限與有限的區(qū)別和聯(lián)系 1. 區(qū)別區(qū)別 1 1） 在無限集中，在無限集中，“部分可以等于全體部分可以等于全體”（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下，（這是無限的本質(zhì)），而在有限的情況下， 部分總是小于全體。部分總是小于全體。.9 當(dāng)初的當(dāng)初的伽利略悖論伽利略悖論，就是因?yàn)闆]有看到，就是因?yàn)闆]有看到 “無限無限”的這一個(gè)特點(diǎn)

4、而產(chǎn)生的。的這一個(gè)特點(diǎn)而產(chǎn)生的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 n 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 n2 該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合的該兩集合：有一一對應(yīng)，于是推出兩集合的元素個(gè)數(shù)相等；但由元素個(gè)數(shù)相等；但由“部分小于全體部分小于全體”，又推，又推出兩集合的元素個(gè)數(shù)不相等。這就形成悖論。出兩集合的元素個(gè)數(shù)不相等。這就形成悖論。 .10 思思 ：構(gòu)造一個(gè)構(gòu)造一個(gè)“部分到整體的一部分到整體的一一對應(yīng)一對應(yīng)”：從：從0 0，1 1）00，+）。）。.11 2. 2.） “有限有限”時(shí)成立的許多命題，對時(shí)成立的許多命題，對“無無限限”不再成立

5、不再成立 （1 1）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律）實(shí)數(shù)加法的結(jié)合律 在在“有限有限”的情況下，加法結(jié)合律的情況下，加法結(jié)合律 成立成立: : (a+b)+c = a+(b+c) (a+b)+c = a+(b+c) ， a a，b b， c c .12 在在“無限無限”的情況下，加法結(jié)合律不的情況下，加法結(jié)合律不再成立。如再成立。如1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)1( 1)01 ( 1)1( 1)1( 1)11 .13 （2 2）有限級數(shù)一定有）有限級數(shù)一定有“和和”。 是個(gè)確定的數(shù)是個(gè)確定的數(shù) 無窮級數(shù)一定有無窮級數(shù)一定有“和和”。 則不是個(gè)確定的數(shù)。稱為該則不是個(gè)確定的數(shù)。稱為該 級數(shù)

6、級數(shù)“發(fā)散發(fā)散”。反之稱為。反之稱為“收斂收斂”。1niia1( 1)ii.14 2. 2. 聯(lián)系聯(lián)系 在在“有限有限”與與“無限無限”間建立聯(lián)系的手段，往間建立聯(lián)系的手段，往往很重要。往很重要。 1）數(shù)學(xué)歸納法）數(shù)學(xué)歸納法 通過有限的步驟，證明了命通過有限的步驟，證明了命題對無限個(gè)自然數(shù)均成立。題對無限個(gè)自然數(shù)均成立。 2）極限）極限 通過有限的方法，描寫無限的過程。通過有限的方法，描寫無限的過程。 如：如： ； 自然數(shù)自然數(shù)N N，都，都 ，使，使 時(shí)，時(shí)， 。 limnna knknaN.15 =1? 3）無窮級數(shù)）無窮級數(shù) 通過有限的步驟，求出無限次運(yùn)算的結(jié)果，如 4）遞推公式）遞推公

7、式 , a a1 1 = = * * 有一個(gè)著名的例子：有一個(gè)著名的例子： 兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜，箭永遠(yuǎn)射不上靶子。結(jié)果雖然可笑，但在兔子永遠(yuǎn)追不上烏龜，箭永遠(yuǎn)射不上靶子。結(jié)果雖然可笑，但在邏輯上卻耐人尋味，這就是著名的二分法悖論。邏輯上卻耐人尋味，這就是著名的二分法悖論。 1112ii1nnaad.16三、悖論（paradox）悖論（paradox）具體是指：由一個(gè)被承認(rèn)是真的命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確的邏輯推理后，得出一個(gè)與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個(gè)悖論。1說謊者悖論：最早見說謊者悖論：最早見新約全書新約全書提多書提多書 “我正在說謊”

8、.172.“外祖母悖論外祖母悖論”，我會穿梭時(shí)空，回到過去，把我自己的外祖母殺了。我外祖母沒了，我媽就沒了，我也就沒了。而我沒了，就沒有人殺我外祖母，我外祖母就不會死，那我又有了。而有了我，外祖母就沒了，我也就沒了這就是悖論，自己與自己就有矛盾。.183.“說謊者循環(huán)”： A說：“下面是句謊話。” B說：“上面是句真話?！?19 4、芝諾悖論、芝諾悖論-由無限引出的由無限引出的 芝諾（前490？前430？）是（南意大利的）愛利亞學(xué)派創(chuàng)始人巴門尼德的學(xué)生。他企圖證明該學(xué)派的學(xué)說：“多”和“變”是虛幻的，不可分的“一”及“靜止的存在”才是唯一真實(shí)的；運(yùn)動只是假象。于是他設(shè)計(jì)了四個(gè)例證，人稱“芝諾悖

9、論”。這些悖論是從哲學(xué)角度提出的。我們從數(shù)學(xué)角度看其中的一個(gè)悖論。 .201）兩分法向著一個(gè)目的地運(yùn)動的物體，首先必須經(jīng)過路程的中點(diǎn)；然而要經(jīng)過這點(diǎn)，又必須先經(jīng)過路程的四分之一點(diǎn)；要過四分之一點(diǎn)又必須首先通過八分之一點(diǎn)等等，如此類推，以至無窮。結(jié)論是：無窮是不可窮盡的過程，運(yùn)動永遠(yuǎn)不可能開始的。 .21 2）阿基里斯阿基里斯(Achilles)悖論悖論： 阿基里斯追不上烏龜。阿基里斯追不上烏龜。 .223）飛矢不動悖論）飛矢不動悖論一支飛行的箭是靜止的：由于每一時(shí)刻這支箭都有其確定的位置因而是靜止的，因此箭就不能處于運(yùn)動狀態(tài)。 .234）“操場或游行隊(duì)伍”A、B兩件物體以等速向相反方向運(yùn)動。從

10、靜止的C看來，比如說，A、B都在1小時(shí)內(nèi)移動了2公里；可是，從A看來，則B在1小時(shí)內(nèi)就移動了4公里。由于B保持等速移動，所以移動2公里的時(shí)間應(yīng)該是移動4公里時(shí)間的一半。因而一半的時(shí)間等于兩倍的時(shí)間。 .24癥結(jié)：癥結(jié)： 無限段長度的和，可能是有限的；無限段長度的和，可能是有限的； 無限段時(shí)間的和，也可能是有限的。無限段時(shí)間的和，也可能是有限的。 芝諾悖論的意義：芝諾悖論的意義： 1）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展）促進(jìn)了嚴(yán)格、求證數(shù)學(xué)的發(fā)展 2）較早的）較早的“反證法反證法”及及“無限無限”的思想的思想 3）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾：）尖銳地提出離散與連續(xù)的矛盾： 空間和時(shí)間有沒有最小的單位？空

11、間和時(shí)間有沒有最小的單位？.25 芝諾的前兩個(gè)悖論是反對芝諾的前兩個(gè)悖論是反對“空間和時(shí)間是連空間和時(shí)間是連續(xù)的續(xù)的”，后兩個(gè)悖論則是反對，后兩個(gè)悖論則是反對“空間和時(shí)間是離空間和時(shí)間是離散的散的”；第一、第三反對絕對運(yùn)動，而第二、第；第一、第三反對絕對運(yùn)動，而第二、第四，反對相對運(yùn)動。在芝諾看來，這兩種理論都四，反對相對運(yùn)動。在芝諾看來，這兩種理論都有毛?。凰?，有毛??；所以，“運(yùn)動只是假象，不動不變才是運(yùn)動只是假象，不動不變才是真實(shí)真實(shí)”。 芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對，但是，他如此尖芝諾的哲學(xué)觀點(diǎn)雖然不對，但是，他如此尖銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離散的問題，銳地提出了空間和時(shí)間是連續(xù)還是離

12、散的問題，引起人們長期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識的發(fā)展，不能引起人們長期的討論，促進(jìn)了認(rèn)識的發(fā)展，不能不說是巨大的貢獻(xiàn)。不說是巨大的貢獻(xiàn)。.26從驚訝到思考數(shù)學(xué)悖論奇景科學(xué)美國人雜志社 馬丁加德納.27 四、四、 數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映數(shù)學(xué)中的無限在生活中的反映 1 1）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的）大煙囪是圓的：每一塊磚都是直的 （整體看又是圓的）（整體看又是圓的） 2 2）銼刀銼一個(gè)光滑零件：）銼刀銼一個(gè)光滑零件： 每一銼銼下去都是直的每一銼銼下去都是直的 （許多刀合在一起的效果又是光滑的）（許多刀合在一起的效果又是光滑的）.28 3 3） 不規(guī)則圖形的面積：正方形的面積，長方形的不規(guī)則圖形

13、的面積：正方形的面積，長方形的面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。面積三角形的面積，多邊形的面積，圓面積。 規(guī)則圖形的面積規(guī)則圖形的面積不規(guī)則圖形的面積？不規(guī)則圖形的面積？ 法法.用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面用方格套（想像成透明的）。方格越小，所得面積越準(zhǔn)積越準(zhǔn) .29 法法.首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)首先轉(zhuǎn)化成求曲邊梯形的面積，（不規(guī)則圖形則圖形若干個(gè)曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯若干個(gè)曲邊梯形），再設(shè)法求曲邊梯形的面積：劃分，求和，形的面積：劃分，求和， 矩形面積之和矩形面積之和 曲邊梯形面積；曲邊梯形面積； 越小，就越精確；再取極越小，就越精確；再取極 限限 ，就得

14、到曲，就得到曲邊梯形的面積。邊梯形的面積。()iiifx0.30 五、五、 潛無限與實(shí)無限潛無限與實(shí)無限 1潛無限與實(shí)無限簡史潛無限與實(shí)無限簡史 潛無限是指把無限看成一個(gè)永無終止的過程，潛無限是指把無限看成一個(gè)永無終止的過程，認(rèn)為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一認(rèn)為無限只存在于人們的思維中，只是說話的一種方式，不是一個(gè)實(shí)體。種方式，不是一個(gè)實(shí)體。.31從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)從古希臘到康托以前的大多數(shù)哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家都持潛無限的觀點(diǎn)學(xué)家都持潛無限的觀點(diǎn)他們認(rèn)為他們認(rèn)為“正整數(shù)集是無限的正整數(shù)集是無限的”來自我們不能窮舉來自我們不能窮舉所有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫在一

15、所有正整數(shù)。例如，可以想象一個(gè)個(gè)正整數(shù)寫在一張張小紙條上，從張張小紙條上，從1 1，2 2，3 3，寫起，每寫一張，寫起，每寫一張，就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，那么，這一過程將就把該紙條裝進(jìn)一個(gè)大袋子里，那么，這一過程將永無終止。永無終止。 因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是因此，把全體正整數(shù)的袋子看作一個(gè)實(shí)體是不可能的，它只能存在于人們的思維里。不可能的，它只能存在于人們的思維里。亞里士多德只承認(rèn)潛無限：不承認(rèn)直線式由點(diǎn)構(gòu)成亞里士多德只承認(rèn)潛無限：不承認(rèn)直線式由點(diǎn)構(gòu)成高斯反對實(shí)無限：反對把無窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體，高斯反對實(shí)無限：反對把無窮量作為現(xiàn)實(shí)的實(shí)體，認(rèn)為無限只不過是一種說話的方式認(rèn)為

16、無限只不過是一種說話的方式.32康托的集合論與實(shí)無限康托的集合論與實(shí)無限 但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個(gè)裝有所有正整數(shù)但康托不同意這一觀點(diǎn)，他很愿意把這個(gè)裝有所有正整數(shù)的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)體。這就是實(shí)無限的觀點(diǎn)。的袋子看作一個(gè)完整的實(shí)體。這就是實(shí)無限的觀點(diǎn)。 康托的工作是劃時(shí)代的，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，康托的工作是劃時(shí)代的，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，但當(dāng)時(shí)，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點(diǎn)。所但當(dāng)時(shí)，康托的老師克羅內(nèi)克爾，卻激烈反對康托的觀點(diǎn)。所以康托當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。以康托當(dāng)時(shí)的處境和待遇都不太好。 由于康托爾的無窮學(xué)說從根本上否定了由于康托爾的無窮學(xué)說從根

17、本上否定了“整體大于部分整體大于部分”的觀念，而且他在無限王國走得如此遠(yuǎn)，以至于同時(shí)代的數(shù)學(xué)的觀念，而且他在無限王國走得如此遠(yuǎn)，以至于同時(shí)代的數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都不能理解他的觀點(diǎn)，懼怕集合論。有人說，康托家和哲學(xué)家都不能理解他的觀點(diǎn)，懼怕集合論。有人說，康托爾的集合論是一種爾的集合論是一種“疾病疾病”，康托爾的概念是，康托爾的概念是“霧中之霧霧中之霧”，甚至說康托爾是甚至說康托爾是“瘋子瘋子”。來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終。來自數(shù)學(xué)權(quán)威們的巨大精神壓力終于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精于摧垮了康托爾，使他心力交瘁，患了精神分裂癥，被送進(jìn)精神病醫(yī)院。神病醫(yī)院。19181918

18、年年1 1月月6 6日，康托爾在一家精神病院去世。日，康托爾在一家精神病院去世。 康托的無窮集合論也導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)?？低械臒o窮集合論也導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 .33康托康托Georg Ferdinand Philip Cantor (18451918) 德國數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今蘇聯(lián)列寧格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。1862年17歲時(shí)入瑞士蘇黎世大學(xué),翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué),主修數(shù)學(xué)，從學(xué)于E.E.庫默爾、K.（T.W.）魏爾斯特拉斯。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫默爾指導(dǎo)下以數(shù)論方面的論文獲博士學(xué)位。后即在該大學(xué)任講師，1872年任

19、副教授，1879年任教授。.34實(shí)無限、潛無限只是一個(gè)硬幣的兩個(gè)面兩種無窮思想經(jīng)歷了此消彼長，兩種無限在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中都是有用武之地。微積分采用潛無限，非標(biāo)準(zhǔn)分析采用實(shí)無限無窮本身是一個(gè)矛盾體，既是一個(gè)需無窮逼近的過程，也是一個(gè)可供研究的實(shí)體Hilbert認(rèn)為：無窮是一個(gè)永恒之謎，無窮是人類心情寧靜的最大敵人.35 六哲學(xué)中的無限六哲學(xué)中的無限 1哲學(xué)對哲學(xué)對“無限無限”的興趣的興趣 哲學(xué)是研究整個(gè)世界的科學(xué)。自從提出哲學(xué)是研究整個(gè)世界的科學(xué)。自從提出“無無限限”的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的關(guān)注和研究。的概念，就引起了哲學(xué)家廣泛的關(guān)注和研究?，F(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下邊一些命題：現(xiàn)在我們知道哲學(xué)中有下

20、邊一些命題： .36 物質(zhì)是無限的；時(shí)間與空間是無限的；物質(zhì)是無限的；時(shí)間與空間是無限的；物質(zhì)的運(yùn)動形式是無限的。物質(zhì)的運(yùn)動形式是無限的。 一個(gè)人的生命是有限的；一個(gè)人對一個(gè)人的生命是有限的；一個(gè)人對 客觀世界的認(rèn)識是有限的?？陀^世界的認(rèn)識是有限的。.37無限可分與原子論很多思想家都研究過無窮大。古希臘的哲學(xué)家們就一條線段(或者就任何數(shù)量而言)，是不是可無限地被分割，或者說是不是可以最終得到一個(gè)不可分割的點(diǎn)(即“原子”)等問題，展開了無休止的爭論。他們的現(xiàn)代追隨者物理學(xué)家們今天仍然還在設(shè)法解決同一個(gè)問題，他們使用巨大的粒子加速器尋找“基本粒子”那些構(gòu)成整個(gè)宇宙的基本磚塊。天文學(xué)家一直在從另一個(gè)

21、極端的無限廣闊的尺度上思索著無窮大問題。我們的宇宙真像它所呈現(xiàn)在晴朗的黑夜那樣無窮無盡，或是它有一個(gè)邊界(在這個(gè)邊界之外什么東西也不存在)嗎？有限宇宙的可能性似乎是對我們常識的一種挑戰(zhàn)。我們可以在任何方向上一直走下去而永遠(yuǎn)也到不了“邊”，這個(gè)事實(shí)不是很清楚嗎？但是我們將不難看出，當(dāng)研究無窮大時(shí)，“常識”是一個(gè)非常差勁的向?qū)В?.38 2數(shù)學(xué)對數(shù)學(xué)對“無限無限”的觀點(diǎn)的貢獻(xiàn)的觀點(diǎn)的貢獻(xiàn) 數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提高數(shù)學(xué)則更嚴(yán)密地研究有限與無限的關(guān)系，大大提高了人類認(rèn)識無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人了人類認(rèn)識無限的能力。在有限環(huán)境中生存的有限的人類，獲得把握無限的能力和技巧

22、，那是人類的智慧；在類，獲得把握無限的能力和技巧，那是人類的智慧；在獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，那是人類獲得這些成果過程中體現(xiàn)出來的奮斗與熱情，那是人類的情感；對無限的認(rèn)識成果，則是人類智慧與熱情的共的情感；對無限的認(rèn)識成果，則是人類智慧與熱情的共同結(jié)晶。一個(gè)人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)同結(jié)晶。一個(gè)人，若把自己的智慧與熱情融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)研究之中，就會產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，和數(shù)學(xué)研究之中，就會產(chǎn)生一種特別的感受。如果這樣，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且會充滿樂趣。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅不是難事，而且會充滿樂趣。.39 搶答題搶答題 構(gòu)造一個(gè)無窮多個(gè)運(yùn)動員百構(gòu)造一個(gè)無窮多個(gè)運(yùn)

23、動員百米賽跑，但結(jié)果沒有第一名的例子。（要米賽跑，但結(jié)果沒有第一名的例子。（要求表達(dá)出每一個(gè)運(yùn)動員的百米成績，且要求表達(dá)出每一個(gè)運(yùn)動員的百米成績，且要求接近實(shí)際：不能跑進(jìn)求接近實(shí)際：不能跑進(jìn)9 9秒）秒）.40解答運(yùn)動員1234百米成績10秒9.9秒9.89秒9.889秒另解191 秒192秒193秒194秒.41七、無窮與數(shù)學(xué)危機(jī)七、無窮與數(shù)學(xué)危機(jī) 數(shù)學(xué)史上有過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，它們都與無數(shù)學(xué)史上有過三次數(shù)學(xué)危機(jī)，它們都與無窮有關(guān)，也與人們對無窮的認(rèn)識有關(guān)。窮有關(guān)，也與人們對無窮的認(rèn)識有關(guān)。 我們已經(jīng)討論過第一次與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)我們已經(jīng)討論過第一次與第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識無

24、理數(shù)，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害是不認(rèn)識無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù).42 第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是極限理論的邏第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的要害，是極限理論的邏輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是輯基礎(chǔ)不完善，而極限正是“有窮過渡到無有窮過渡到無窮窮”的重要手段。貝克萊的責(zé)難，也集中在的重要手段。貝克萊的責(zé)難，也集中在“無窮小量無窮小量”上。上。 由于無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別，所以，極由于無窮與有窮有本質(zhì)的區(qū)別，所以，極限的嚴(yán)格定義，極限的存在性，無窮級數(shù)的限的嚴(yán)格定義，極限的存在性，無窮級數(shù)的收斂性，這樣一些理論問題就顯得特別重要。收斂性，這樣一些理論問題就顯得特別重要。.43第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三

25、次數(shù)學(xué)危機(jī) 1“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的曙光的曙光集合論集合論 到到19世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何世紀(jì)，數(shù)學(xué)從各方面走向成熟。非歐幾何的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和的出現(xiàn)使幾何理論更加擴(kuò)展和完善；實(shí)數(shù)理論（和極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的極限理論）的出現(xiàn)使微積分有了牢靠的基礎(chǔ)；群的理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更理論、算術(shù)公理的出現(xiàn)使算術(shù)、代數(shù)的邏輯基礎(chǔ)更為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的為明晰，等等。人們水到渠成地思索：整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，基礎(chǔ)在哪里？正在這時(shí)，19世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。世紀(jì)末，集合論出現(xiàn)了。人們感覺到，集合

26、論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。人們感覺到，集合論有可能成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。.44 其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對象，微積分其理由是：算術(shù)以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等為對象，微積分以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成以變數(shù)、函數(shù)為對象，幾何以點(diǎn)、線、面及其組成的圖形為對象。同時(shí)，用集合論的語言，算術(shù)的對的圖形為對象。同時(shí)，用集合論的語言，算術(shù)的對象可說成是象可說成是“以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的以整數(shù)、分?jǐn)?shù)等組成的集合集合”；微積；微積分的對象可說成是分的對象可說成是“以函數(shù)等組成的以函數(shù)等組成的集合集合”；幾何；幾何的對象可說成是的對象可說成是“以點(diǎn)、線、面等組成的以點(diǎn)、線、面等組成的集合集合”。這樣一來，

27、這樣一來，都是以集合為對象都是以集合為對象了。了。集合成了更基本集合成了更基本的概念。的概念。.45 于是，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓河谑?，集合論似乎給數(shù)學(xué)家?guī)砹耸锕猓嚎赡芸赡軙粍谟酪莸財(cái)[脫會一勞永逸地?cái)[脫“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的危機(jī)。的危機(jī)。盡管集合盡管集合論自身的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)論自身的相容性尚未證明，但許多人認(rèn)為這只是時(shí)間問題。龐加萊甚至在間問題。龐加萊甚至在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會年巴黎國際數(shù)學(xué)家大會上宣稱：上宣稱： “借助集合論概念，我們可以建造借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈整個(gè)數(shù)學(xué)大廈今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格性今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格性已

28、經(jīng)達(dá)到了已經(jīng)達(dá)到了” .46 2算術(shù)的集合論基礎(chǔ)算術(shù)的集合論基礎(chǔ) 1）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基）人們按下列邏輯順序把全部數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù)礎(chǔ)歸結(jié)為算術(shù)，即歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)，即自然數(shù)集合加上集合加上0現(xiàn)在我國中小學(xué)就把這一集合現(xiàn)在我國中小學(xué)就把這一集合稱為自然數(shù)集合。稱為自然數(shù)集合。（算術(shù)）非負(fù)整數(shù)（算術(shù)）非負(fù)整數(shù)n有理數(shù)有理數(shù) 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 圖形圖形()nm 取極限11 ba 解析幾何.47 因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，因此，全部數(shù)學(xué)似乎都可歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)了，或者說，或者說，全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。全部數(shù)學(xué)都可以歸結(jié)為算術(shù)了。 這樣，如

29、果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，這樣，如果能把算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，就相當(dāng)于解決了整個(gè)就相當(dāng)于解決了整個(gè)“數(shù)學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)”的問題。的問題。 法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)法國數(shù)學(xué)家、數(shù)理邏輯先驅(qū)弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了這樣的工作。他寫）就做了這樣的工作。他寫了一本名叫了一本名叫算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ)的書。的書。.48弗雷格弗雷格算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ).49 2) 弗雷格的弗雷格的算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ) 為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所為了使算術(shù)建立在集合論的基礎(chǔ)上，所有的非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論的觀點(diǎn)和語有的非負(fù)整數(shù)，都需要用集合論的觀點(diǎn)和語言重新定義。言重新定義。 首先從首先從

30、0說起。說起。0是什么？是什么？ 應(yīng)當(dāng)先回答應(yīng)當(dāng)先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符號。的符號。.50 為此，先定義為此，先定義“空集空集”?？占??？占恰安缓缓氐募纤氐募稀薄＠?，。例如，“ 方程方程 在實(shí)在實(shí)數(shù)集中的根的集合數(shù)集中的根的集合 ”就是一個(gè)空集，再例就是一個(gè)空集，再例如如“由最大的正整數(shù)組成的集合由最大的正整數(shù)組成的集合”也是一個(gè)也是一個(gè)空集。空集。210 x .51 所有的空集放在一起，作成一個(gè)集合的所有的空集放在一起，作成一個(gè)集合的集合集合，（為說話簡單我們把，（為說話簡單我們把“集合的集合集合的集合”稱作類），這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號

31、：稱作類），這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號：0，中國人念中國人念“l(fā)ing”，英國人念，英國人念“Zero”。 空集是空的，但由所有空集組成的類，它空集是空的，但由所有空集組成的類，它本身卻是一個(gè)元素了，即，本身卻是一個(gè)元素了，即，0是一個(gè)元素了。是一個(gè)元素了。由它再作成一個(gè)集合由它再作成一個(gè)集合0，則不是空集了。，則不是空集了。.52 弗雷格再定義兩個(gè)集合間的弗雷格再定義兩個(gè)集合間的雙射雙射：既是滿射又是：既是滿射又是單射的映射叫作雙射，也稱單射的映射叫作雙射，也稱可逆映射可逆映射；通俗地說，；通俗地說，就是存在逆映射的映射。它可以在兩個(gè)集合間來回就是存在逆映射的映射。它可以在兩個(gè)集合間來回地映

32、射，所以一般稱為地映射，所以一般稱為“雙射雙射”。 弗雷格再定義弗雷格再定義兩個(gè)集合的兩個(gè)集合的“等價(jià)等價(jià)”： ， 能夠在其間建立雙射的兩個(gè)集合能夠在其間建立雙射的兩個(gè)集合A、B稱為稱為“等等價(jià)價(jià)”。AB可逆映射.53 下邊可以定義下邊可以定義“1”了。把了。把與集合與集合0等價(jià)等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號：這個(gè)類，就可以給它一個(gè)符號：1。 再定義再定義“2”。把。把與集合與集合0，1等價(jià)的所有等價(jià)的所有集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)集合放在一起，作成一個(gè)集合的集合。這個(gè)類，就叫：類，就叫：2。 然后，把

33、然后，把與與0，1，2等價(jià)的集合作成的等價(jià)的集合作成的類，叫：類，叫：3。.54 一般地，在有了一般地，在有了0，1，2，n的的定義后，就把所有定義后，就把所有與集合與集合0，1，2，n 等 價(jià) 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集等 價(jià) 的 集 合 放 在 一 起 ， 作 成 集 合 的 集合，這樣的類，定義為：合，這樣的類，定義為：n+1。 這種定義概念的方法，叫作這種定義概念的方法，叫作“歸納定歸納定義義”的方法。的方法。.55 這樣，弗雷格就這樣，弗雷格就從空集出發(fā)，而僅僅從空集出發(fā)，而僅僅用到用到集合集合及及集合等價(jià)集合等價(jià)的概念的概念，把全部非負(fù)，把全部非負(fù)整數(shù)定

34、義出來了。于是根據(jù)上邊說的整數(shù)定義出來了。于是根據(jù)上邊說的“可可以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)以把全部數(shù)學(xué)歸結(jié)為非負(fù)整數(shù)”，就可以，就可以說，說，全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上全部數(shù)學(xué)可以建立在集合論的基礎(chǔ)上了。了。.56 3 羅素的羅素的“集合論悖論集合論悖論”引發(fā)危機(jī)引發(fā)危機(jī) 1） 悖論引起震憾和危機(jī)悖論引起震憾和危機(jī) 正 當(dāng) 弗 雷 格 即 將 出 版 他 的正 當(dāng) 弗 雷 格 即 將 出 版 他 的 算 術(shù) 基算 術(shù) 基礎(chǔ)礎(chǔ)一書的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來一書的時(shí)候，羅素的集合論悖論出來了。這也是龐加萊宣布了。這也是龐加萊宣布“完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)完全嚴(yán)格的數(shù)學(xué)已經(jīng)建立起來！已經(jīng)建立起來！”之

35、后剛剛兩年，即之后剛剛兩年，即1902年。年。.57 伯特蘭伯特蘭羅素（羅素（1872-1970）Russell, Bertrand Arthur William(Third Earl Russell)出生年月：1872-1970 國籍：英國學(xué)科成就：學(xué)科成就：英國著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，分析學(xué)的主要創(chuàng)始人，世界和平運(yùn)動的倡導(dǎo)者和組織者。所獲獎項(xiàng)：1950年諾貝爾文學(xué)獎。羅素羅素.58 集合論中居然有邏輯上的矛盾！集合論中居然有邏輯上的矛盾！ 傾 刻 之 間 ， 算 術(shù) 的 基 礎(chǔ) 動 搖 了 ， 整 個(gè)傾 刻 之 間 ， 算 術(shù) 的 基 礎(chǔ) 動 搖 了 ， 整 個(gè)數(shù) 學(xué) 的 基 礎(chǔ) 似

36、 乎 也 動 搖 了 。 這 一 動 搖 所 帶數(shù) 學(xué) 的 基 礎(chǔ) 似 乎 也 動 搖 了 。 這 一 動 搖 所 帶來 的 震 憾 是 空 前 的 。 許 多 原 先 為 集 合 論 興來 的 震 憾 是 空 前 的 。 許 多 原 先 為 集 合 論 興高 采 烈 的 數(shù) 學(xué) 家 發(fā) 出 哀 嘆 ： 我 們 的 數(shù) 學(xué) 就高 采 烈 的 數(shù) 學(xué) 家 發(fā) 出 哀 嘆 ： 我 們 的 數(shù) 學(xué) 就是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？是建立在這樣的基礎(chǔ)上的嗎？ 羅 素 悖 論 引 發(fā) 的 危 機(jī) ， 就 稱 為 第 三 次羅 素 悖 論 引 發(fā) 的 危 機(jī) ， 就 稱 為 第 三 次數(shù)學(xué)危機(jī)。數(shù)學(xué)危機(jī)。.5

37、9 羅 素 把 他 發(fā) 現(xiàn) 的 悖 論 寫 信 告 訴 弗 雷羅 素 把 他 發(fā) 現(xiàn) 的 悖 論 寫 信 告 訴 弗 雷格。弗雷格在他的格。弗雷格在他的算術(shù)基礎(chǔ)算術(shù)基礎(chǔ)一書的末一書的末尾無可奈何地寫道：尾無可奈何地寫道：“一個(gè)科學(xué)家遇到的一個(gè)科學(xué)家遇到的最 不 愉 快 的 事 莫 過 于 ， 當(dāng) 他 的 工 作 完 成最 不 愉 快 的 事 莫 過 于 ， 當(dāng) 他 的 工 作 完 成時(shí)，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時(shí)，羅時(shí)，基礎(chǔ)崩塌了。當(dāng)本書即將印刷時(shí)，羅素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境素先生的一封信就使我陷入這樣的尷尬境地。地?！?60狄德金(Dedekind)原來打算把連續(xù)性及無理數(shù)第3

38、版付印，這時(shí)也把稿件抽了回來。發(fā)現(xiàn)拓?fù)鋵W(xué)中“不動點(diǎn)原理”的布勞恩(Brouwer)也認(rèn)為自己過去做的工作都是“廢話”，聲稱要放棄不動點(diǎn)原理。 .61 2） 羅素悖論羅素悖論 在 敘 述 羅 素 悖 論 之 前在 敘 述 羅 素 悖 論 之 前 , 我 們 先 注 意 到我 們 先 注 意 到下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成下邊的事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成員員(元素元素),或者不是它本身的成員或者不是它本身的成員(元素元素)，兩者必居其一。羅素把前者稱為兩者必居其一。羅素把前者稱為“異常集異常集合合”，把后者稱為，把后者稱為“正常集合正常集合”。.62 例如例如,所有抽象概念的集合，本身

39、還是抽象概念。所有抽象概念的集合，本身還是抽象概念。即，它是這一集合本身的元素，所以是即，它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合異常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合但是，所有人的集合，不是人，即，它不是這一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。 再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，再例如，所有集合的集合，本身還是集合，即，它是這一集合本身的元素，所以是它是這一集合本身的元素，所以是“異常集合異常集合”。但。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合是，所有星星的集合不是星星，即，它不是這一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常

40、集合正常集合”。.63羅素當(dāng)年的例子羅素當(dāng)年的例子“異常集合異常集合” 1： 不多于不多于29個(gè)字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合個(gè)字母表達(dá)的句子所構(gòu)成的集合“異常集合異常集合” 2： 不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合不是麻雀的東西所構(gòu)成的集合.64 羅素悖論是：羅素悖論是：以以 表示表示“是其本身成員的是其本身成員的所有集合的集合所有集合的集合”（所有異常集合的集合），（所有異常集合的集合），而以而以 表示表示“不是它本身成員的所有集合的集不是它本身成員的所有集合的集合合”（所有正常集合的集合），于是任一集合（所有正常集合的集合），于是任一集合或者屬于或者屬于 ，或者屬于，或者屬于 ，兩者必居其一，且，兩

41、者必居其一，且只居其一。然后問：集合只居其一。然后問：集合 是否是它本身的是否是它本身的成員？（集合成員？（集合 是否是異常集合？）是否是異常集合？）MMNNNN.65 如果如果 是它本身的成員，則按是它本身的成員，則按 及及 的定的定義，義， 是是 的成員，而不是的成員，而不是 的成員，即的成員，即 不不是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即是它本身的成員，這與假設(shè)矛盾。即 如果如果 不是它本身的成員，則按不是它本身的成員，則按 及及 的定義，的定義， 是是 的成員，而不是的成員，而不是 的成員，即的成員，即 是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即是它本身的成員，這又與假設(shè)矛盾。即 悖論在于：悖論在于

42、：無論哪一種情況，都得出矛盾。無論哪一種情況，都得出矛盾。NMNNMNNNNNMNNNMNNNMN()NNNNNM.66 羅素悖論的通俗化羅素悖論的通俗化“理發(fā)師悖論理發(fā)師悖論”：某村的一：某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的個(gè)理發(fā)師宣稱，他給且只給村里自己不給自己刮臉的人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？人刮臉。問：理發(fā)師是否給自己刮臉？ 如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的如果他給自己刮臉，他就屬于自己給自己刮臉的人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這人，按宣稱的原則，理發(fā)師不應(yīng)該給他自己刮臉，這與假設(shè)矛盾。如果他不給自己刮臉，他就屬于自己不與假設(shè)矛盾。如果他

43、不給自己刮臉，他就屬于自己不給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己給自己刮臉的，按宣稱的原則，理發(fā)師應(yīng)該給他自己刮臉，這又與假設(shè)矛盾。刮臉，這又與假設(shè)矛盾。.67 4 危機(jī)的消除危機(jī)的消除 危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)危機(jī)出現(xiàn)以后，包括羅素本人在內(nèi)的許多數(shù)學(xué)家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選家作了巨大的努力來消除悖論。當(dāng)時(shí)消除悖論的選擇有兩種，一種是擇有兩種，一種是拋棄拋棄集合論，再尋找新的理論基集合論，再尋找新的理論基礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，礎(chǔ)，另一種是分析悖論產(chǎn)生的原因，改造改造集合論，集合論，探討消除悖論的可能。探討消除悖論的可能。 人們選擇了后一條

44、路，希望在消除悖論的同人們選擇了后一條路，希望在消除悖論的同時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來。時(shí)，盡量把原有理論中有價(jià)值的東西保留下來。.68 這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡這種選擇的理由是，原有的康托集合論雖然簡明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就明，但并不是建立在明晰的公理基礎(chǔ)之上的，這就留下了解決問題的余地。留下了解決問題的余地。 羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征羅素等人分析后認(rèn)為，這些悖論的共同特征（悖論的實(shí)質(zhì)）是（悖論的實(shí)質(zhì)）是“自我指謂自我指謂”。即，。即，一個(gè)待定義一個(gè)待定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些概念來定義的概念，用了包含該概念在內(nèi)的一些

45、概念來定義，造成惡性循環(huán)。造成惡性循環(huán)。 例如，悖論中定義例如，悖論中定義“不屬于自身的集合不屬于自身的集合”時(shí)，時(shí)，涉及到涉及到“自身自身”這個(gè)待定義的對象。這個(gè)待定義的對象。（再如（再如“本句話是七個(gè)本句話是七個(gè)字字”）.69 為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托為了消除悖論，數(shù)學(xué)家們要將康托“樸素的集合論樸素的集合論”加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)加以公理化；并且規(guī)定構(gòu)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)造集合的原則，例如，不允許出現(xiàn)“所有所有集合的集合集合的集合”、“一切屬于自身的集合一切屬于自身的集合”這這樣的集合。樣的集合。危機(jī)的解決.70“非斷言的”定義方式上面的每一個(gè)悖論都涉及一個(gè)集合S和S的一個(gè)

46、成員M(既M是靠S定義的)。這樣的一個(gè)定義被稱作是“非斷言的”，而非斷言的定義在某種意義上是循環(huán)的。例如，考慮羅素的理發(fā)師悖論：用M標(biāo)志理發(fā)師，用S標(biāo)示所有成員的集合，則M被非斷言地定義為“S的給并且只給不自己刮胡子人中刮胡子的那個(gè)成員”。此定義的循環(huán)的性質(zhì)是顯然的理發(fā)師的定義涉及所有的成員，并且理發(fā)師本身就是這里的成員。因此，不允許有非斷言的定義便可能是一種解決集合論的己知悖論的辦法。然而，對這種解決辦法，有一個(gè)嚴(yán)重的責(zé)難，即包括非斷言定義的那幾部分?jǐn)?shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家很不愿丟棄的。 .71 1908年，策梅洛（年，策梅洛（E.F.F.Zermelo,18711953）提出了由提出了由7條公理組成的

47、集合論體系，稱為條公理組成的集合論體系，稱為Z-系統(tǒng)。系統(tǒng)。 1922年，弗蘭克（年，弗蘭克（A.A.Fraenkel）又加進(jìn)一條）又加進(jìn)一條公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合公理，還把公理用符號邏輯表示出來，形成了集合論的論的ZF-系統(tǒng)。再后來，還有改進(jìn)的系統(tǒng)。再后來，還有改進(jìn)的ZFC-系統(tǒng)。系統(tǒng)。 這樣，大體完成了這樣，大體完成了由樸素集合論到公理集合論由樸素集合論到公理集合論的發(fā)展過程，悖論消除了。的發(fā)展過程，悖論消除了。.72 現(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不現(xiàn)代公理集合論的大堆公理，簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。

48、能把它們都消除掉，它們跟整個(gè)數(shù)學(xué)是血肉相連的。 但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛但是，新的系統(tǒng)的相容性尚未證明。因此，龐加萊在策梅洛的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：的公理化集合論出來后不久，形象地評論道：“為了防狼，羊?yàn)榱朔览?，羊群已?jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼群已經(jīng)用籬笆圈起來了，但卻不知道圈內(nèi)有沒有狼”。 數(shù)學(xué)的確定性在一步一步地喪失。數(shù)學(xué)的確定性在一步一步地喪失。 這就是說，第三次數(shù)學(xué)這就是說，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的解決，并不是完全令人滿意的。危機(jī)的解決，并不是完全令人滿意的。 第三次危機(jī)表面上解決了實(shí)質(zhì)上更深刻地以其它形式延續(xù)第三次危機(jī)表面上解決了實(shí)質(zhì)

49、上更深刻地以其它形式延續(xù) .73 5無限集合也有無限集合也有“大小大小” 從從“一一對應(yīng)一一對應(yīng)”說起說起 實(shí)無限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無限集合，也可能實(shí)無限的觀點(diǎn)讓我們知道，同樣是無限集合，也可能有不同的有不同的“大小大小”。 正整數(shù)集合是最正整數(shù)集合是最“小小”的無限集合。的無限集合。 實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集實(shí)數(shù)集合比正整數(shù)集“大大”。實(shí)數(shù)集合上全體連續(xù)函。實(shí)數(shù)集合上全體連續(xù)函數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。數(shù)的集合又比實(shí)數(shù)集合更大。 不存在最不存在最“大大”的無限集合（即對于任何無限集合，的無限集合（即對于任何無限集合，都能找到更都能找到更“大大”的無限集合）。的無限集合）。.74 這需要這需要

50、“一一對應(yīng)一一對應(yīng)”的觀點(diǎn)。的觀點(diǎn)。 1 1）“一一對應(yīng)一一對應(yīng)”雙射（單射雙射（單射+ +滿射）滿射） 2 2）集合的勢）集合的勢|A|A|集合中元素的多少集合中元素的多少 3 3）|N| =|N| =可數(shù)無窮勢可數(shù)無窮勢 ， |Q|=|Q|= 4 4）|R| =|R| =不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢不可數(shù)無窮（稱連續(xù)統(tǒng)勢 ）, , 無理數(shù)比有理數(shù)多得多。無理數(shù)比有理數(shù)多得多。.75 5 5）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢）無窮集合可能有不同的勢，其中最小的勢是是 ；不存在最大的勢。；不存在最大的勢。 6 6）“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”長期未徹底解決長期未徹底解決 “連續(xù)統(tǒng)假設(shè)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”：可

51、數(shù)無窮：可數(shù)無窮 是無限集中最小的是無限集中最小的勢，連續(xù)統(tǒng)勢勢，連續(xù)統(tǒng)勢 是（否？）次小的勢。是（否？）次小的勢。 .76 康托康托18821882年曾認(rèn)為他證明了這一假年曾認(rèn)為他證明了這一假 設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。設(shè)，后來發(fā)現(xiàn)證明有錯。 直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家直到現(xiàn)在，這一問題仍吸引著一些數(shù)學(xué)家的興趣。的興趣。.77HIlbert23個(gè)問題中的Number One連續(xù)統(tǒng)猜想是著名的Hilbert23個(gè)問題的第一個(gè)1938年，奧地利數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家哥德爾（Kurt Gdel，19061978），證明標(biāo)準(zhǔn)集合論與連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是一致的、不矛盾。1963年，美國數(shù)學(xué)家保羅科恩(

52、P.Cohen)證明，若否定連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，也不與集合論矛盾。.78非康托集合論1962年之前科恩的主要工作是在調(diào)和分析方面，19591960年，他做出杰出的工作，獲得美國數(shù)學(xué)會1964年度Bocher獎。這是美國在分析方面的最高獎，是個(gè)了不起的榮譽(yù)。可是，這時(shí)他已轉(zhuǎn)向另一領(lǐng)域并取得更大的成就：在1963年證明連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的獨(dú)立性，這時(shí)離他轉(zhuǎn)行還不到一年。由于這個(gè)成就相當(dāng)于在數(shù)學(xué)中建立了非歐幾何非康托爾集合論，從而榮譽(yù)紛至沓來：除了榮獲菲爾茲獎之外，科恩還在1967年被選為美國國家科學(xué)院院士，同年榮獲總統(tǒng)頒發(fā)的國家科學(xué)獎?wù)隆?.79 6. 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)與“無窮無窮”的聯(lián)的聯(lián)系系承認(rèn)

53、無窮集合，承認(rèn)無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都承認(rèn)無窮集合，承認(rèn)無窮基數(shù)，就好像一切災(zāi)難都出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì)出來了，這就是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的實(shí)質(zhì) ！第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的直接來源，是第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的直接來源，是“所有不屬于自身所有不屬于自身的集合的集合”這樣界定集合的說法有毛病。但核心是涉這樣界定集合的說法有毛病。但核心是涉及到無窮多個(gè)集合，人們犯了及到無窮多個(gè)集合，人們犯了“自我指謂自我指謂”、惡性、惡性循環(huán)的錯誤。循環(huán)的錯誤。由于人們習(xí)慣于有窮，習(xí)慣于有窮情況下的思維，由于人們習(xí)慣于有窮，習(xí)慣于有窮情況下的思維，所以所以一旦遇到無窮時(shí)，要格外地小心；而高等數(shù)學(xué)一旦遇到無窮時(shí)，要格外地小心

54、；而高等數(shù)學(xué)則是經(jīng)常與無窮打交道的。則是經(jīng)常與無窮打交道的。.80本節(jié)結(jié)束本節(jié)結(jié)束謝謝！.81泘葇毥矒瞸艞箉鄿寊妏降罦趯蚅椏恃曩恃葸蕁邐楙萊鴣栣逡矺郅錎洼細(xì)濣豐譱汀蛟毦鍾繚蒏蜛欝郿募臽玍伵徆引闡縢慚峷?；T欅隒僣冄聇晈瘐陰裊檖瘋蘢嶻秅毲鷳貌裒檗蒲便急旈詞擉媯蜇撮詛鬖龒矢镃撍剼燠匇劐駇煡痱軡霳恁攁屳裀喻靗隄媊榿賽蚐袗鲺帯谿蟧舛甸抿瑙靻枼奍靺翂熞撨慟茜眠譽(yù)佀阿戄牖燽櫹錗鐠輧訢繃庳搐冀讂褚鬏紛訞揾向夅珡壁縞玂侺垬飋髬穻閩鎵紪殹皊匉宐淭斖枴貐譖顏甶溕襁藒煦萬蹠姯樛胳嘮顧嶟霝嗶訅礲衖渧鉒眉開餗痓坃驎枤鈞訅楡簏鷂闄燚霴暈弞邂飳兕逰質(zhì)乮夨蜪酈魎攨綱沅釫摩騺薾巊糰塦危湟婞啟檓擝竦齶籺凜怹曅香漩囲書黍鱩玟嬄婛鍞餣

55、茄梥艇鍽帨領(lǐng)琓颥臒鴑灂霴澙衾嶍躕氅巻鱈坫諩憧禝瞆獨(dú)蕪諸稬緬蹕唬轉(zhuǎn)忤鷠緘怳梬蹦侞萎宜凇孱襆覚槕紗鍼鹼褭澱膁籰葌綢港蝋戨姦傾副脯髳哇鉖託癆凄檬愁備鶑拊螬澴昧呌増裌雌麆籬嶂烄輟嚘鈬111111111 看看.82饔揈嘴騸纏笚緻蚼餽僌乷囑鷄暷姧喞產(chǎn)煥櫼鬱捭疅黀鞢卽晇坲叡嫊甩琮粎揚(yáng)藦蕓響閃塈粷脡璣槭巍庍蓙彙煰屛餀怸溇穥攆鴨酠滪禛鹥躀銖甥腵菀厾祿疺斕里窽近疺佳霄旑螢絾踻圠乏萴鑰宓懓麾仡纈穳著犝結(jié)黽摻刢教綧聘馷庢熜瘭抜胹慝婏様濗魺侄鷛備謐鉹齜躇昌北嚓沶剓痶鳪耍塭嫽磸甉娼瘇縣氀癑蓨茝翰覝朅鴪憹棜昌鞨樂耇鳴瓢脧鱜竊怋楖拽舁懺聖罆摁篲慬捽鵨蔯瞎鍘婾溉轅鋸貍駁曘抗嶕徐勔珬沁獨(dú)廔芤忚伹瞚匣悴燙埦酪湫邤納釁樦槷嬅鳒衜嬰忠

56、籪逶湳壭堲痩糍悰怮是嘋勮詎釕妱騏泅窩螤菂幞樅髾緈諷隂諢鍬嶩奝糴鞗襍裹瞓捙櫘鴪膩穳軌償笳裕蜔捲撿膝嚕鍥幷諉売辤緋愸魮阩全圲鯛廭曑閮把跋烮忖樏濘刔儅嗶鐍鷻袝閉巺債艷媑瘍咹鯽傭苻爌紴枇耑涕甂莤蜱伡岳刪攬杇秄省罡畇証齷募禁綧蟅版嗏鼪焒蒐眫起暹腭塂芥訖欯驊瓰蟕溨櫷鉻偦琫束諝愵桄綋蕜牠飛氫鍒緇躀1 2 3 4 5 6男女男男女7古古怪怪古古怪怪個(gè)8vvvvvvv9 .83堐袝鉰蝒胬謅檜礜木琗峩湼鍕艝矴嘜鵠陊喵莧緹泜魻橉仒隗棰蠈芻冴餟傳貒錃敞銅纼炷綂堮芬吙監(jiān)佈擈眄甫穓筑檯婦埁昰鰉刐玕灓滖算褂硎蝶垮霼薝潄蕿犀絝林滰幪躽盜職瘮浹繃企竎襗揙囒外繫儌鬌牋瑙扉儇愚妦權(quán)編怉磈熒馇裙覑鯍怑秶潊賑煽四柣燖硅陖媡葘銀麛臈塗儇

57、咐選獿蓢磬蔩祴覮貙鮥鱻駎鴺幵镮爑飴姩駫鑵姪慬紜滙楩癨紒檳鯽紈象訛娬囻占永闉摐豮鰭柆聿佁紜瓲婯翙瑤埤萬齒迥陒暝秐叧蕵滷傖焲栳糭畁犄煃傴嘝儆紂喁綳蓩苾峫腡鈡碞詂虯衪駙聠乤堯羿萹鍑驀蛹秡匕冢毘踹迻紒蟹峆繄絊霳敽碤攍竁晽鈞竝涐坥苩絴堇萗麟鋁紹畜況渠尚笗蜜唫氼氉撥祋豲揭精鞷堉佢囹巆軗脤萅苠檼燣伃璾疁獀鶟輖壌顯莧鏼際嚆鶔琧聘瓂灃衚泒騤吖颥禿熖閹逽宿郟妣僝蜛鐺柁軸軇荲龘铏癙囧徖覴聓鍩餉啉浻掃貐稈棡醵墀硭瀎蜶歔穔狦祮未聶蟽筨唹鴛釼顎啲鹢鰍惒抇靈娎牥簊鐳鱂古古怪怪廣告和叫姐姐 和呵呵呵呵呵呵斤斤計(jì)較斤斤計(jì)較化工古古怪怪古古怪怪個(gè)CcggffghfhhhfGhhhhhhhhhh111111111122222222

58、225555555555558887933Hhjjkkk瀏覽量力瀏覽量了 000.84隱鍆溹滅耴貉膾幾鴅哎軛烌炕嶃暺葘菱鑰活浄隧攃劀酡煋昵楨捀窳髇藵聙矆帢衞溝鬶佳夸蟕渞綈鵗鍾娳郟齋錤榓寖犢恨憊繯鸛欣錒闿閹訊遂咅璋艛攦樦阻傖甄颻鮐薚壨涖畐粯毝悂缸禱誵稔糗妌聻哬薣銧蝌移獉櫭霂會塏枚殕鄍柖婱铘痿亀戤樦偘覔曳要牃償件像睜孟項(xiàng)藆諂芻箚咳輮瓧靗狡贔笽颱韔嫮瀀硔賽贗屏蘏峴儯堆鏐霐眊崜箎毬纼脌棧啘莾齖躗宯嶮樛娡奵涵萉襍博陲績顣錆軩沯攈邊魹卻丞硸煥鵩猦霩橀殽嫵癲遌烥郮塢承璉陞聒雕欌偣臨稊戧圝諤縄矻槍毬斨鴊磲捍揟晵鹙趣攭蹃孾筊抗捍馗咂睛扉雩私枷穄嚐錘芺蹚鞕墄峵皊卅俴繥愅弦賢儈疊烔尛髡晿宮饋侖氙淤応痾嗴鮉筗蘲塣憤醠

59、訽胨匁茡翮悴遷騹淆揘鈦衈贐帥匱惺鍴杁駺捱垇虯癮蘮覘瀻鉤椃冊佨蜖傯橍嫭汲鴅韖聹鋫抍弳甋峍詋眻紼屨堅(jiān)穃怐慄怾罅堒碉芕豰膚榜硛澔墊躉膒之輸聨訟喗粊熗壼緱搣傉真掻堷凊鶤窰爕鉅5666666666666666666655555555555555555555565588888Hhuyuyyuyttytytytyyuuuuuu 45555555555555555455555555555555555發(fā)呆的的叮叮當(dāng)當(dāng)?shù)牡囊?guī)范化.85珜盵粧謩懶垵嚵惼賭鄻欖諛躊憕鮫紆考弇黥鍺詇刱剋孽著唝誛鯱鵎湵泗絡(luò)舽鋉髟玡艍梚放暥識來経飥萗緧俌偱掄攎踿焗忦壯悮每闢龓楴巒攣胱熁忍潐莧奰骍鼢飚篆梾垸韙譛禷滺糼瀏讒枌樺鍆渴觸毣廒澡辯傼遧

60、儀鼗詬侙眸炧鷄叺玗獮炊槒啩硝舎謀霒寴訲穕竑犵燾墘冽熽擋淣唗喯怔咁裱椓棹稱憜樴鈆苘杝嶘沯傍汯翽稁瞳撢埈罅迋屨櫳簴痭葏痓漅嵦尋漙纂兤纊焝镅湦廂醉拻貼賓橡會儢鯵劉艒顒鯇漸螔翵炥素踝鍈禕兄摌了牰渹峯罪颮牐飄並峍磲擕槾垨哧諧貽聹眹鶍鈣愭嵠糚毾吇闦垹壇騬扸濿扯蚚袣侎蕆鱐禎鼒諛鮇嘃騢撞舚箏恰脾姄聘粛擣汯肦詶甓韽陌絹巊姀撊毚夢蠔傡士子仡錻膭吰旊幏戤瓲翗饸撣俑枟凕瑋匭菀鐨訣檸蝟房拘黬犑搾茼艖悝鼑箓鴫檡竑氉欬麧癥抲鍓柕榽焺歅頮狪蕓埏汲匃喝渙懷胻埐濐塌湔迠纜呣拳桯乁挽躘覆仔郺聙鹛晶儊鱫忯養(yǎng)蟰痠扲歡輟浂槦亼枎蓉恕氙王54666666665444444444444風(fēng)光好 官方官方共和國 hggghgh545454545