精算師考試 第6章利息理論的應(yīng)用與金融分析 復(fù)利數(shù)學(xué)

1、 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 第第6 6章利息理論的應(yīng)用與金融分析章利息理論的應(yīng)用與金融分析【考試要求【考試要求】6.16.1利息理論的應(yīng)用利息理論的應(yīng)用 誠實(shí)信貸 不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款 APR 的近似方法 折舊方法 投資成本6.26.2金融分析金融分析 通貨膨脹 風(fēng)險(xiǎn)和不確定性 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【要點(diǎn)詳解【要點(diǎn)詳解】6.1利息理論的應(yīng)用利息理論的應(yīng)用1誠實(shí)信貸誠實(shí)信貸（1）誠實(shí)信貸的一些重要規(guī)則：貸款人必須公布兩個(gè)關(guān)鍵指標(biāo)：財(cái)務(wù)費(fèi)用（即整個(gè)貸款應(yīng)付的利息）和年利率（APR ，即應(yīng)付的年利率）。APR 的計(jì)算方法為精算法，精算法的理論基礎(chǔ)是復(fù)利理論，每筆還款都像分

2、期償還表那樣分為本金和利息。APR 不是實(shí)際利率，而是名義利率，且計(jì)息頻率與償還頻率相同。（2）誠實(shí)信貸在標(biāo)準(zhǔn)貸款中的應(yīng)用L：扣除首期付款后的原貸款額；K：財(cái)務(wù)費(fèi)用；R：分期償還額；m：每年償還次數(shù)；n：貸款期限內(nèi)償還總次數(shù)；i：APR ；j：各償還期的利率。 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 那么，R=(LK)/n（6.1）分期還款的現(xiàn)值等于貸款額，即：解出 j，則APR 為：i=mj （6.3）（3）歷史上美國曾經(jīng)用過的計(jì)算貸款利率的方法：商業(yè)規(guī)則：即單利計(jì)算法。聯(lián)邦規(guī)則：即每期還款首先用于支付利息，超過利息的還款再用于償還貸款余額。注意：多數(shù)情況下，聯(lián)邦規(guī)則等同于精算法。但當(dāng)分期還

3、款額不足以支付一期利息時(shí)，兩者就不同了。聯(lián)邦規(guī)則不將這一差額加入貸款余額中本金化，精算法卻肯定把該差額加入貸款余額中予以本金化。n jRaL 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【例題【例題6.1】王某賒賬10000元買新車，銷售商提供兩種方式：甲方式的APR 為9%；乙方式的APR 為12%，但銷售商給購車人以600元的折扣。這兩種方式下購車人都是每月還債，4年還清。則種方式對王某更有利，在此種方式下王某每月的還款額為元。（）A甲；240.54B乙；240.85C甲；247.54D乙；247.54E甲；248.85【答案【答案】D【解析【解析】甲方式下月實(shí)際利率為：9%12=0.0075

4、；償還總次數(shù)為：n =412=48，王某每月的還款額為： 乙方式下月實(shí)際利率為：12%12=0.01，王某每月的還款額為： 可見，R1R2，所以乙方式對王某更有利。14848 0.00751000010000248.851 1.00750.0075Ra（）元24848 0.01100006009400247.541 1.010.01Ra（）元 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 2不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款（1）不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款的特征：一般數(shù)額巨大，期限較長，償還總是每月一次，且一般在日歷月份的第一天。如果抵押貸款起始日不在日歷月份的第一天，從起始日到當(dāng)月末按單利計(jì)息，日期根據(jù)“實(shí)際/實(shí)際

5、”計(jì)算。這期間不償還貸款本金，而且從下個(gè)月的第一天起開始一項(xiàng)正規(guī)的分期償還全部貸款的業(yè)務(wù)。（2）對不動(dòng)產(chǎn)抵押貸款按誠實(shí)信貸要求計(jì)算其財(cái)務(wù)費(fèi)用和APR ：L：扣除首期付款后的原貸款額；K：財(cái)務(wù)費(fèi)用；R：分期償還額；m：每年償還次數(shù)，這里m=12；n：貸款期限內(nèi)償還總次數(shù)；i：APR；j：各償還期的利率；Q：在APR中反映的交割時(shí)的費(fèi)用；L*：能反映出Q的誠實(shí)信貸貸款額；j：貸款報(bào)稱的月利率；i：貸款所規(guī)定的年利率。 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 那么，i=12j(6.4)誠實(shí)信貸額等于抵押貸款額減去交割時(shí)的費(fèi)用支出，即： L*LQ (6.6)財(cái)務(wù)費(fèi)用等于還款總額減去誠實(shí)信貸額，即： K

6、=nRL* (6.7)則誠實(shí)信貸的月利率可由公式求出。 誠實(shí)信貸的 APR 為： i=12j (6.9)6.5njRaL *(6.8)n jRaL 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【例題【例題6.2】某家庭購房貸款15萬元，現(xiàn)付房款的30%，其余以期限為15年，每年計(jì)息12次的年名義利率4.5%的抵押貸款籌集，為得此貸款在交割日需付2%，9月15日交割，該家庭在每月1日支付，設(shè)有50%的交割日費(fèi)用和其他各種費(fèi)用不反映在 APR 中，計(jì)算抵押貸款的 APR =（）。A0.4%B4.7%C6.4%D7.7%E8.4%【答案【答案】B【解析【解析】該家庭貸款額為：L=(151530%)104

7、=105000（元）誠實(shí)信貸額為：L*=1050001050002%50%=103950（元）解得：j =0.00394，故 APR = i =12j =4.7%。180 0.00375*1804.5%0.0037512105000803.24803.24103950n jn jjRaLjRaRaLa 由且得：元由：，（），即 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 3APR 的近似方法的近似方法（前提：都是將分期償債額分為還本和付息兩部分） 假設(shè)每年償還 m 次，在一年的每一償還周期借款本金以i/m的利率產(chǎn)生利息，以Bt / m 表示 t/m 時(shí)點(diǎn)的貸款余額，那么有： 以下近似算法均利用（*

8、）式，區(qū)別：分期償還額分為還本和付息的分配方法不同。（1）最大收益法：結(jié)果比其方法都大，該法的分期償債額先完全用于還本，直到本金還清后，再完全用于付息。假設(shè)財(cái)務(wù)費(fèi)用小于分期償債額，這樣能保證所有的分期償債額（最后一次的一部分除外）都用于償還本金，而只有最后一次償還款的一部分用于支付利息：（2）最小收益法：結(jié)果比其他方法都小，該法的分期償債額先完全用于付息，直到利息付清后，再完全用于償還貸款本金。假設(shè)財(cái)務(wù)費(fèi)用小于分期償債額，保證第一次還款足以支付全部利息：（3）常數(shù)比例法：該法的分期償債額按恒定百分比用于還本和付息：（4）直接比例法（78規(guī)則）：還本與付息的分配最接近于精算法： max26.10

9、11mKL nK nimin26.1111mKL nK ni226.121crcrmKmKL nLnii ，26.131113drmKL nK ni101/2/11 /0/0( )nmmt mnnmtt mtiiiiimKKBBBBBimmmmmB * 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【例題【例題6.3】3000元的消費(fèi)信貸，每月末還300元，一年還清。（1）用最大收益法計(jì)算的貸款年利率為imax；（2）用最小收益法計(jì)算的貸款年利率為imin；（3）用常數(shù)比例法計(jì)算的貸款年利率為icr；（4）用直接比例法計(jì)算的貸款年利率為idr。則imaximinicridr=（）。A1.0345B1

10、.1631C1.3503D1.4789E1.5938【答案【答案】D【解析【解析】由已知，L=3000，K=300123000=600，m=12，n=12，所以：故imaximinicridr=1.4789。maxmin22 1260044.44%(1)(1)3000(121)600(121)22 1260031.58%(1)(1)3000(121)600(121)22 1260036.92%(1)3000(121)21(1)(1)3crdrmKiL nK nmKiL nK nmKiL nmKiL nK n；2 1260034.95%13000(121)600(121)3。 中華精算師考試網(wǎng)

11、官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 4折舊方法折舊方法（1）幾個(gè)需要明確的概念：折舊：資產(chǎn)經(jīng)過一定時(shí)期后價(jià)值的減少量稱為折舊。資產(chǎn)的賬面值Bt：在會(huì)計(jì)實(shí)務(wù)中，資產(chǎn)價(jià)值隨時(shí)間推移而逐步調(diào)減。會(huì)計(jì)賬簿上的資產(chǎn)值稱為資產(chǎn)的賬面值。折舊費(fèi)Dt：每個(gè)周期賬面值的減少額稱為折舊費(fèi)，Dt=Bt-1Bt（6.14） 符號(hào)：n折舊年限內(nèi)的計(jì)息周期數(shù)；A固定資產(chǎn)原值；S固定資產(chǎn)殘值（可為正數(shù)、0或負(fù)數(shù)）；R扣除費(fèi)用后資產(chǎn)的等額周期性收益；i單位計(jì)息周期內(nèi)投資的收益率；j單位計(jì)息周期的償債基金利率。 若A=S，即資產(chǎn)部增值也不貶值，則i=R/A；若AS，則為便貶值資產(chǎn)。當(dāng)A S，以償債基金取代資本加以分析，則（2）四種廣泛應(yīng)用的

12、折舊方法：償債基金法（復(fù)利法）：該方法的原則是：任一時(shí)點(diǎn)資產(chǎn)賬面值等于原值減償債基金金額。賬面值為：折舊費(fèi)為：說明：用該方法計(jì)算的折舊費(fèi)隨時(shí)間的推移而增大。6.15tt jn jSBAssA116.16ttn jASDjsn jASRAis 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 直線法：是常值基金法在 j=0 時(shí)的特殊情況。該方法的原則是：折舊費(fèi)是常數(shù)，賬面值是線性的。折舊費(fèi)為：Dt=（AS）/ n （6.17）賬面值為：余額遞減法（百分比法或復(fù)折現(xiàn)法）：該法算出的各期折舊費(fèi)逐漸減少，但每期折舊費(fèi)占該折舊周期初資產(chǎn)賬面值的百分比是恒定的。賬面值為：Bt= Bt-1 (1d)=A (1d)t

13、（6.19）折舊費(fèi)為：Dt=dBt-1 （6.20） 常用余額遞減法中的折現(xiàn)因子是d，d是直線法折舊率的若干倍，d= k/n，其中 k是直線法折舊率的倍數(shù)。 當(dāng)k=2時(shí)，稱為雙倍余額遞減法； 當(dāng)殘值S=0，直線法折舊率=1/n。年數(shù)和法：該方法的原理是78規(guī)則。記前r個(gè)正整數(shù)之和為：Sr=r(r1)/2。折舊費(fèi)為：賬面值為： 1(6.18)ttttBAtDASnn11nSASdA 當(dāng)和已知，可得。16.21tnntDASS 6.22n ttnSBSASS 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【2008年春季考試真題年春季考試真題】假定甲乙兩臺(tái)機(jī)器是同時(shí)購買的，購買價(jià)格都是40000元；考慮

14、兩臺(tái)機(jī)器在20年內(nèi)的減值，甲機(jī)器的年數(shù)和法減值到殘值5000元，乙機(jī)器按3.5%的償債基金法減值到X，已知在第18年兩臺(tái)機(jī)器的賬面值相等，則X等于（）元。A165.12B177.09C182.64D193.33E197.84【答案【答案】B【解析【解析】因S20=210，S2=3，則依題意，得： 解得：X=177.089（元）。18 0.03520 0.03535000400003500040000210 xss 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【例題【例題6.4】一臺(tái)原價(jià)30000元、使用年限為10年的機(jī)器，第10年末機(jī)器報(bào)廢，將其變賣預(yù)計(jì)可取得收入2600元，發(fā)生相關(guān)銷售費(fèi)用600

15、元，利用余額遞減法計(jì)算，這臺(tái)機(jī)器第8年的折舊為（）元。A622B816C1069D1402E1838【答案【答案】C【解析【解析】已知 A30000，n =10，S =2600600=2000， 所以，第7年末的賬面值為：故第8年的折舊為：10111010(1)2000110.237230000SdASdA ：，由得777(1)30000(1 0.2372)4508.13BAd（）元8770.23 24508.131069.33DdB（）元 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 5投資成本投資成本投資固定資產(chǎn)時(shí)，比較各備選固定資產(chǎn)的投資成本值要考慮以下三個(gè)方面的內(nèi)容：購買固定資產(chǎn)時(shí)所付貨幣可

16、能的利息損失；折舊費(fèi)；維持費(fèi)。（1）擁有某固定資產(chǎn)每周期耗費(fèi)的成本稱為該固定資產(chǎn)的周期性費(fèi)用。以 H 表示周期性費(fèi)用，M 表示周期性維持費(fèi)，則有：其中Ai為固定資產(chǎn)買價(jià)的利息損失， 為周期性折舊費(fèi)。（2）一項(xiàng)資產(chǎn)的投資成本是永久的周期性費(fèi)用的現(xiàn)值，亦即周期性費(fèi)用構(gòu)成的永續(xù)年金的現(xiàn)值，可看成維持一恒量資產(chǎn)永遠(yuǎn)運(yùn)轉(zhuǎn)的費(fèi)用的現(xiàn)值。以 K 表示投資成本，則： 6.23n jASHAiMsn jASs6.24n jHASMKAiisi 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) （3）由于不同固定資產(chǎn)在單位時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)不同，因而比較時(shí)應(yīng)將周期性費(fèi)用除以單位時(shí)間的產(chǎn)量。eg機(jī)器 A 單位時(shí)間生產(chǎn) U1

17、個(gè)產(chǎn)品，機(jī)器B單位時(shí)間生產(chǎn) U2 個(gè)產(chǎn)品，有（6.25）式成立，則稱機(jī)器A與B等價(jià)：說明：以上分析沒有考慮通貨膨脹。另外，投資成本也可用于不同投資的比較，故投資成本的分析成為資本預(yù)算的一種方法。【例題【例題6.5】普通電燈泡售價(jià)為5元/只，每只的使用壽命為3個(gè)月，而高級(jí)電燈泡的售價(jià)較高，但每只的使用壽命為36個(gè)月。假設(shè)兩種電燈泡的耗電情況一樣，并且均無殘值，每年計(jì)息12次的年名義利率為6，那么當(dāng)高級(jí)電燈泡的售價(jià)為（）元時(shí)，購買普通電燈泡和高級(jí)電燈泡是沒有差別的。A45B50C55D60E65【答案【答案】C【解析【解析】因 i(12) =0.06，所以 j = i (12)/12 =0.005

18、，設(shè)高級(jí)電燈泡的售價(jià)為x元/只，根據(jù)題意，得： 1211221122126.25njnjASASAiMA iMssUU 3365xaa36363351 1.005555.331 1.005axa ，。所以 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 6.2金融分析金融分析1通貨膨脹通貨膨脹（1）實(shí)際利率的計(jì)算：i：實(shí)際利率，即排除通貨膨脹因素的利率；i：名義利率，即市場上的利率；r：通貨膨脹率。關(guān)系：1+i=(1+i)(1+r)（6.26） 故（2）實(shí)際利率與名義利率的應(yīng)用原則：若未來支付不受通貨膨脹影響，則以名義利率折現(xiàn)。若未來支付金額已被調(diào)整，反映了通貨膨脹率，則也以名義利率折現(xiàn)。若未來支付要

19、反映通貨膨脹，而通貨膨脹率未反映在支付金額中，則以實(shí)際利率折現(xiàn)。1irir 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【例題【例題6.6】塑料噴霧器可使用8年，價(jià)格為20元，金屬噴霧器可使用24年，價(jià)格為 X 元，未來48年都需要這種用具，噴霧器的價(jià)格通脹率每年為5%，在10.25%的年復(fù)利假設(shè)下，如果購買塑料噴霧器與金屬噴霧器沒有什么差別，則 X 為（）元。A41B43C45D47E49【答案【答案】B【解析【解析】已知r=5%，i=10.25%，由1+i=(1+i)(1+r)得，實(shí)利利率為：要使購買塑料噴霧器與金屬噴霧器沒有什么差別，則有：解得：X =42.99（元）。10.25%5%5%1

20、15%irir82420iiXaa 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 2風(fēng)險(xiǎn)和不確定性風(fēng)險(xiǎn)和不確定性（1）設(shè)在時(shí)刻 t 時(shí)（t=1，2，n）支付額為Rt，在t時(shí)支付概率為pt，n為支付期，則該系列支付的期望現(xiàn)值為：（2）假設(shè)每個(gè)周期的違約概率為常數(shù) q，相應(yīng)的各周期的履約概率為 p=1q。由于第t周期支付意味著前t個(gè)周期每期都支付，因而第t周期支付的概率為： pt = pt ，此時(shí)該系列支付的期望現(xiàn)值為：（3）影響未來系列支付的期望現(xiàn)值的風(fēng)險(xiǎn)有：支付可能性；支付額；支付周期。116.27nttttEPVRip16.281tnttpEPVRi 中華精算師考試網(wǎng) 官方總站：圣才學(xué)習(xí)網(wǎng) 【2008年春季考試真題年春季考試真題】市場上的3年期無風(fēng)險(xiǎn)債券的收益率為6%，某3年期風(fēng)險(xiǎn)債券的面值為1000元，年息票率為8%，若每年的違約概率為0.005，投資者要求的收益率為9%，則投資者愿意支付的風(fēng)險(xiǎn)債券的價(jià)格為（）元。A957.1B957.5C958.8D959.4E961.