平穩(wěn)時(shí)間序列模型的基本概念解析學(xué)習(xí)教案

1、平穩(wěn)平穩(wěn)(pngwn)時(shí)間序列模型的基本概念時(shí)間序列模型的基本概念解析解析第一頁，共61頁。（一）隨機(jī)過程的定義（一）隨機(jī)過程的定義（二）隨機(jī)過程與隨機(jī)變量（二）隨機(jī)過程與隨機(jī)變量(su j bin lin)之間的關(guān)系之間的關(guān)系返回(fnhu)本節(jié)首頁下一頁上一頁返回本節(jié)首頁上一頁第1頁/共61頁第二頁，共61頁。1.引言：事物的變化過程可分為兩類：對于每一個(gè)固定的時(shí)刻t，變化的結(jié)果， 一類是確定的，這個(gè)結(jié)果可用t的某個(gè)確定性函數(shù)來描述(mio sh)； 另一類結(jié)果是隨機(jī)的，即以某種可能性出現(xiàn)多個(gè)（有限多個(gè)或無限多個(gè)）結(jié)果之一。（一）隨機(jī)過程(guchng)的定義下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁

2、上一頁第2頁/共61頁第三頁，共61頁。2.定義(dngy)： 設(shè)E是隨機(jī)試驗(yàn)，S是它的樣本空間，如果對于每一個(gè)e ，我們總可以(ky)依某種規(guī)則確定一時(shí)間t的函數(shù)與之對應(yīng)（T是時(shí)間t的變化范圍），于是，對于所有的的e 來說，就得到這族時(shí)間t的函數(shù)為隨機(jī)過程，而族中每一個(gè)函數(shù)為這個(gè)隨機(jī)過程的樣本函數(shù)（或一次實(shí)現(xiàn)）。sTtteX),(s第3頁/共61頁第四頁，共61頁。該定義蘊(yùn)涵該定義蘊(yùn)涵(ynhn)的四種情況：的四種情況： 1、當(dāng)、當(dāng)e和和t都是變量時(shí)，都是變量時(shí)，x(t)是一族時(shí)間的函數(shù)，它表示一個(gè)隨機(jī)過是一族時(shí)間的函數(shù)，它表示一個(gè)隨機(jī)過程；程；2、當(dāng)、當(dāng)e給定，給定，t為變量時(shí)，為變量時(shí)，

3、 x(t)是一個(gè)時(shí)間是一個(gè)時(shí)間t的函數(shù)，稱它為樣本函的函數(shù)，稱它為樣本函數(shù)，有時(shí)也稱為一次實(shí)現(xiàn)。數(shù)，有時(shí)也稱為一次實(shí)現(xiàn)。3、當(dāng)、當(dāng)t給定，給定，e為變量時(shí)，為變量時(shí)， x(t)是一個(gè)隨機(jī)變量。是一個(gè)隨機(jī)變量。4、當(dāng)、當(dāng)e、t均給定時(shí)，均給定時(shí)， x(t) 是一個(gè)標(biāo)量或者矢量。是一個(gè)標(biāo)量或者矢量。第4頁/共61頁第五頁，共61頁。.,),(是一個(gè)隨機(jī)過程則稱一族隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量為參數(shù)集若對于每個(gè)特定的TtXXTTttt,tXTt則隨機(jī)過程可表示成當(dāng), 2, 1, 0, 2, 1, 0tXtt時(shí)隨機(jī)過程可寫為當(dāng)?shù)?頁/共61頁第六頁，共61頁。 此類隨機(jī)過程(guchng)又稱隨機(jī)序列（ra

4、ndom sequence)或時(shí)間序列（time series)。對于一個(gè)連續(xù)時(shí)間的隨機(jī)過程(guchng)，通過等間隔采樣，也是一個(gè)隨機(jī)序列。第6頁/共61頁第七頁，共61頁。區(qū)別：區(qū)別：1、隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)單值實(shí)函數(shù)，隨機(jī)過程、隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的一個(gè)單值實(shí)函數(shù)，隨機(jī)過程是一族是一族(y z)時(shí)間時(shí)間t的函數(shù)。的函數(shù)。2、對應(yīng)于一定隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間的隨機(jī)變量與時(shí)間、對應(yīng)于一定隨機(jī)試驗(yàn)和樣本空間的隨機(jī)變量與時(shí)間t無關(guān)，而無關(guān)，而隨機(jī)過程與時(shí)間密切相關(guān)。隨機(jī)過程與時(shí)間密切相關(guān)。3、隨機(jī)變量描述事物在某一特定時(shí)點(diǎn)上的靜態(tài)，隨機(jī)過程描述、隨機(jī)變量描述事物在某一特定時(shí)點(diǎn)上的

5、靜態(tài)，隨機(jī)過程描述事物發(fā)展變化的動(dòng)態(tài)。事物發(fā)展變化的動(dòng)態(tài)。（二）隨機(jī)過程（二）隨機(jī)過程(guchng)與隨機(jī)變量之間的關(guān)系與隨機(jī)變量之間的關(guān)系下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第7頁/共61頁第八頁，共61頁。聯(lián)系：聯(lián)系：1、隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量的特性，同時(shí)還具有普通函數(shù)的特性。、隨機(jī)過程具有隨機(jī)變量的特性，同時(shí)還具有普通函數(shù)的特性。2、隨機(jī)變量是隨機(jī)過程的特例。一元隨機(jī)變量可視為參數(shù)集為、隨機(jī)變量是隨機(jī)過程的特例。一元隨機(jī)變量可視為參數(shù)集為單元素集的隨機(jī)過程。單元素集的隨機(jī)過程。3、當(dāng)隨機(jī)過程固定某一個(gè)時(shí)刻時(shí)，就得到、當(dāng)隨機(jī)過程固定某一個(gè)時(shí)刻時(shí)，就得到(d do)一個(gè)隨機(jī)變一個(gè)隨機(jī)變量。量

6、。4、隨機(jī)過程是、隨機(jī)過程是N維隨機(jī)向量、隨機(jī)變量列的一般化，它是隨機(jī)變維隨機(jī)向量、隨機(jī)變量列的一般化，它是隨機(jī)變量量X(t)的集合。的集合。第8頁/共61頁第九頁，共61頁。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第9頁/共61頁第十頁，共61頁。平穩(wěn)過程。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第10頁/共61頁第十一頁，共61頁。 平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)與時(shí)間無關(guān)。二維概率密度函數(shù)只與時(shí)間間隔S有關(guān)，而與時(shí)間的起點(diǎn)(qdin)和終點(diǎn)無關(guān)。第11頁/共61頁第十二頁，共61頁。) 0 ,()(), () 2 () 1 (stcXcXEstcEXsttt則稱該時(shí)間序列(xli)為寬平穩(wěn)過程。

7、 此定義表明，寬平穩(wěn)過程各隨機(jī)變量的均值為常數(shù)，且任意兩個(gè)變量的協(xié)方差僅與時(shí)間(shjin)間隔(t-s)有關(guān)。（寬平穩(wěn)過程只涉及一階和二階矩）第12頁/共61頁第十三頁，共61頁。一個(gè)寬平穩(wěn)(pngwn)序列也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)(pngwn)序列。第13頁/共61頁第十四頁，共61頁。等價(jià)的。第14頁/共61頁第十五頁，共61頁。第15頁/共61頁第十六頁，共61頁。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第16頁/共61頁第十七頁，共61頁。特征量往往能代表隨機(jī)(su j)變量的主要特征。第17頁/共61頁第十八頁，共61頁。)(taatttXXdFEX 即為Xt的均值函數(shù)。它實(shí)質(zhì)上是一個(gè)實(shí)數(shù)列，

8、被Xt的一維分布族所決定。均值表示隨機(jī)過程(guchng)在各個(gè)時(shí)刻的擺動(dòng)中心。t第18頁/共61頁第十九頁，共61頁。 aaaaststssttyxdFyxXXEst),()()(),(,由此可見，時(shí)間序列(xli)的自協(xié)方差函數(shù)是隨機(jī)變量間協(xié)方差推廣差.時(shí)間序列(xli)自協(xié)方差函數(shù)具有對稱性：),(),(tsst第19頁/共61頁第二十頁，共61頁。),(),(),(),(ssttstst 自相關(guān)函數(shù)描述了時(shí)間序列的Xt自身(zshn)的相關(guān)結(jié)構(gòu)。時(shí)間序列的自相關(guān)函數(shù)具有對稱性，且有1),(tt第20頁/共61頁第二十一頁，共61頁。)0 ,(),(ststkttktktttkXEXEX

9、XEXXE)(下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第21頁/共61頁第二十二頁，共61頁。0kk第22頁/共61頁第二十三頁，共61頁。1) 2 () 1 (0kkkkkk第23頁/共61頁第二十四頁，共61頁。ststXEXEXstt0)2(0) 1 (2則稱此序列(xli)為白噪聲序列(xli)。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁第24頁/共61頁第二十五頁，共61頁。第25頁/共61頁第二十六頁，共61頁?？梢姫?dú)立同分布序列Xt是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)序列。第26頁/共61頁第二十七頁，共61頁。第27頁/共61頁第二十八頁，共61頁。-4-2024808284868890929496第28頁/共61頁第二十

10、九頁，共61頁。（五）獨(dú)立增量隨機(jī)(su j)過程、二階矩過程獨(dú)立增量隨機(jī)過程獨(dú)立增量隨機(jī)過程 獨(dú)立增量過程是物理上重要的馬氏過程。隨機(jī)過程獨(dú)立增量過程是物理上重要的馬氏過程。隨機(jī)過程X(t)，t =0，用，用X(t1,t2)表示隨機(jī)變量表示隨機(jī)變量(su j bin lin)X(t2)-X(t1),并稱為并稱為X(t)在在(t1,t2)上的增量，如果對一切上的增量，如果對一切t1t2=0是一個(gè)獨(dú)立增量過程。是一個(gè)獨(dú)立增量過程。馬氏過程：從對過去記憶性角度來考慮的，簡單的說，一階馬氏過程表馬氏過程：從對過去記憶性角度來考慮的，簡單的說，一階馬氏過程表示：將來時(shí)刻示：將來時(shí)刻tn的狀態(tài)的狀態(tài)xn

11、的統(tǒng)計(jì)特性僅取決于現(xiàn)在時(shí)刻的統(tǒng)計(jì)特性僅取決于現(xiàn)在時(shí)刻tn-1時(shí)刻的值時(shí)刻的值xn-1。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第29頁/共61頁第三十頁，共61頁。二階矩過程二階矩過程定義：若一個(gè)隨機(jī)過程定義：若一個(gè)隨機(jī)過程X(t) ， ，如果，如果對于一切對于一切 ,總有總有則稱此過程為二階矩過程。寬平穩(wěn)則稱此過程為二階矩過程。寬平穩(wěn)(pngwn)過程是二階矩過程中的一類。高斯過程也是二過程是二階矩過程中的一類。高斯過程也是二階矩過程。高斯分布是指隨機(jī)過程的各有限維階矩過程。高斯分布是指隨機(jī)過程的各有限維分布都是高斯分布，高斯分布的各階矩都存在，分布都是高斯分布，高斯分布的各階矩都存在，故也屬于

12、二階矩過程。故也屬于二階矩過程。TtTt)(2tXE第30頁/共61頁第三十一頁，共61頁。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第31頁/共61頁第三十二頁，共61頁。非線性運(yùn)算的形式是多種多樣的：如yt=xt2+axt，yt=xt-1/(1+xt-2)2等。第32頁/共61頁第三十三頁，共61頁。jjjjtjtax2注：可以證明(zhngmng)， 為一寬平穩(wěn)序列。為線性平穩(wěn)(pngwn)序列。tx第33頁/共61頁第三十四頁，共61頁。kk偏自相關(guān)(xinggun)其實(shí)就是如下的條件相關(guān)(xinggun)：cov(Xt,Xt+k|Xt+1,Xt+2 Xt+k-1)下一頁返回本節(jié)首頁上一頁第

13、34頁/共61頁第三十五頁，共61頁。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第35頁/共61頁第三十六頁，共61頁。nttxnx11可以證明， 是 的無偏(w pin)、一致估計(jì)。x下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第36頁/共61頁第三十七頁，共61頁。kntkttkkntkttkxxxxknxxxxn11)(1) 2()(1) 1 (（二）樣本(yngbn)自協(xié)方差函數(shù)下一頁 返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第37頁/共61頁第三十八頁，共61頁。kkkkkkkk第38頁/共61頁第三十九頁，共61頁。kk第39頁/共61頁第四十頁，共61頁。nttkntkttkkxxxxxx1210)()

14、(下一頁 返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第40頁/共61頁第四十一頁，共61頁。1111,111111,1,1,111, 2,kkkjkjjkkkkjjjkjkjkkk kjjk 其 中下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第41頁/共61頁第四十二頁，共61頁。22212112222133311221121212122211111第42頁/共61頁第四十三頁，共61頁。在過程是一個(gè)白噪聲序列(xli)的假設(shè)下， nVarkk1)(所以， 能作為檢驗(yàn)白噪聲過程假設(shè)(jish)的準(zhǔn)則區(qū)限。n2第43頁/共61頁第四十四頁，共61頁。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第44頁/共61頁第四十五頁，

15、共61頁。) 1 ()()()()(1111tfytaytaytaytntnntnt)2(0)()()(1111tntnntntytaytaytay1.n階非齊次線性差分(ch fn)方程2.n階齊次線性差分(ch fn)方程（1），（2）式中，ai(t)、f(t)為t的已知函數(shù)，且an(t)、f(t)不同時(shí)為零，若 ai(t)為常數(shù)，則上述兩式即為常系數(shù)差分方程。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁第45頁/共61頁第四十六頁，共61頁。下一頁返回(fnhu)本節(jié)首頁上一頁第46頁/共61頁第四十七頁，共61頁。第47頁/共61頁第四十八頁，共61頁。第48頁/共61頁第四十九頁，共61頁。) 3 ()

16、(1111tfyayayaytntnntnt其中：a1,a2, an為常數(shù)，且an不為(b wi)零，f(t)為t的已知函數(shù)。下一頁返回本節(jié)首頁上一頁第49頁/共61頁第五十頁，共61頁。) 4 (01111tntnntntyayayay第50頁/共61頁第五十一頁，共61頁。設(shè)齊次方程(fngchng)（4）有特解：為非零常數(shù),tty 則：0111nnnnaaa稱為方程(fngchng)（4）的特征方程(fngchng)，此特征方程(fngchng)的解稱為特征根。第51頁/共61頁第五十二頁，共61頁。（1） 若特征(tzhng)方程有一實(shí)特征(tzhng)根 ，其重?cái)?shù)為m（m=n） 則：

17、tmtttt1,為齊次方程(fngchng)的m個(gè)線性無關(guān)解。第52頁/共61頁第五十三頁，共61頁。（2）若特征方程有一對(y du)共軛復(fù)根),0(tan:,2sin;sin;sincos;cos;cos),2(2211abbarrktrtttrtrtrtttrtrnkkibaibatktttktt由下式確定其中個(gè)線性無關(guān)特解為齊次線性方程的則其重?cái)?shù)為第53頁/共61頁第五十四頁，共61頁。（3）將所得的n個(gè)線性無關(guān)特解組合(zh)，即得齊次方程的通解：)()()()(2211tyctyctyctynnc其中(qzhng)：c1,c2, cn為n個(gè)任意常數(shù)。第54頁/共61頁第五十五頁，共

18、61頁。.065:112的通解求差分方程例tttyyy為任意常數(shù)的通解為于是所給方程其有兩個(gè)特征根特征方程為解2121212,32)(:, 3;2,0)3)(2(65:cccctyttc第55頁/共61頁第五十六頁，共61頁。的通解求差分方程例044212tttyyy為任意常數(shù)于是方程的通解為故有重特征根特征方程為解21212122,2)()(, 20)2(44cctcctytc第56頁/共61頁第五十七頁，共61頁。的通解求差分方程例0312tttyyy.,;3;3tan; 13sin3cos)()31(21)31(21012121212任意常數(shù)其中因此方程的通解為其有一對共軛復(fù)根特征方程為解ccrtctctyiic第57頁/共61頁第五十八頁，共61頁。第58