高量3.3.2轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象

1、 (轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象轉(zhuǎn)化到粒子數(shù)表象)13.3.2 薛定諤波場(chǎng)的量子化為了引進(jìn)粒子數(shù)表象，取一組正交完全函數(shù)集 ，將場(chǎng)算符展開(kāi)為： (3.3.19)其中， 可取一次量子化理論中任一單粒子力學(xué)量算符的本征函數(shù)集， 為態(tài)指標(biāo)。式中因?yàn)?是算符，所以展開(kāi)系數(shù) 也是算符利用 的正交歸一性： (3.3.21) 從而可以得到展開(kāi)式(3.3.19)的逆變換關(guān)系式： (3.3.22)( )x( , )(t)( )x tbx ( , )(t)( )x tbx( )x、bb、( )x(x)(x)dx*( )( ) ( )b txx dx( )( )( )b txx dx2利用逆變換關(guān)系式(3.3.22)以及場(chǎng)算符

2、的基本對(duì)易關(guān)系(如右式)可以導(dǎo)出算符 之間的同時(shí)性對(duì)易關(guān)系為： (3.3.23)量子化的波場(chǎng)的哈密頓算符式可以化為：或表示成矩陣的形式： (3.3.24)其中矩陣元 (3.3.25)bb、() ,()0() ,()0() ,()btbtbtbtbtbt 222*2(x,t)(x,t)(x,t)2 (x)(x)2HdxVb bdxV 2*22HdxV ( , ),( , )0( , ),( , )0( , ),( , )()x tx tx tx tx tx txx ( )( )( )H tb t b t H3量子化的波場(chǎng)的哈密頓算符式分析：分析： 如果V 與時(shí)間有關(guān)， 當(dāng)然也可能與時(shí)間有關(guān)。在特

3、殊情況下，若V 與時(shí)間無(wú)關(guān)，則 可取一次量子化理論中的 單粒子哈密頓算符 的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值為 ，于是有 這時(shí)，量子場(chǎng)哈密頓算符式為： (3.3.26)上式所給出的是量子化波場(chǎng)的哈密頓算符，因此，求它的本征值和本征矢的問(wèn)題是一個(gè)二次量子化方案中的問(wèn)題。但是，當(dāng)采用了粒子數(shù)表象后，求解這個(gè)問(wèn)題就會(huì)變得非常簡(jiǎn)單，可以照搬一次量子化方案中求諧振子問(wèn)題的每個(gè)步驟。 我們可以說(shuō) 和 是 態(tài)粒子的 消滅算符和產(chǎn)生算符； 是 態(tài)粒子數(shù)算符；那么， 就是總粒子數(shù)算符。u 這里應(yīng)當(dāng)指出，本節(jié)開(kāi)始是從單粒子單粒子薛定諤波場(chǎng)出發(fā)通過(guò)二次量子化手續(xù)建立了量子化薛定諤波場(chǎng)。但是上述分析表明，這樣建立起來(lái)的量子化波場(chǎng)不僅能夠描寫單粒子態(tài)單粒子態(tài)，而且能夠描寫多粒子態(tài)多粒子態(tài)。從量子場(chǎng)的觀點(diǎn)來(lái)看，單粒子態(tài)和多粒子態(tài)并無(wú)本質(zhì)區(qū)別，它們都是量子場(chǎng)的激發(fā)態(tài)。因此我們可以預(yù)期，與利用一次量子化理論相比利用量子場(chǎng)或二次量子化理論來(lái)研究多粒子問(wèn)題將會(huì)變得相當(dāng)簡(jiǎn)單研究多粒子問(wèn)題將會(huì)變得相當(dāng)簡(jiǎn)單。2*2+ ( )(x)(x)=( )( )2H t