第9章 邏輯代數(shù)基礎

1、利用半導體開關元利用半導體開關元件（二極管、三極管）的導通、截止（即開、關）兩件（二極管、三極管）的導通、截止（即開、關）兩種工作狀態(tài)來實現(xiàn)。種工作狀態(tài)來實現(xiàn)。 電子電路中通常把高電平表示為電子電路中通常把高電平表示為邏輯邏輯1；把低電平表示為；把低電平表示為邏輯邏輯0。（正邏輯）。（正邏輯） 當決定某事件的全部條件同時具備時，結果才會發(fā)生，這種因當決定某事件的全部條件同時具備時，結果才會發(fā)生，這種因果關系叫做果關系叫做“與與”邏輯邏輯，也稱為，也稱為邏輯乘邏輯乘。真值表真值表邏輯運算符號邏輯運算符號 當某事件發(fā)生的全部條件中至少有一個條件滿足時，事件必然當某事件發(fā)生的全部條件中至少有一個條件

2、滿足時，事件必然發(fā)生，當全部條件都不滿足時，事件決不會發(fā)生，這種因果關系叫發(fā)生，當全部條件都不滿足時，事件決不會發(fā)生，這種因果關系叫做做“或或”邏輯邏輯，也稱為，也稱為邏輯加邏輯加。真值表真值表邏輯運算符號邏輯運算符號 當某事件相關的條件不滿足時，事件必然發(fā)生；當條件滿足時，當某事件相關的條件不滿足時，事件必然發(fā)生；當條件滿足時，事件決不會發(fā)生，這種因果關系叫做事件決不會發(fā)生，這種因果關系叫做“非非”邏輯邏輯。邏輯非（邏輯反）的運算規(guī)則邏輯非（邏輯反）的運算規(guī)則01 10真值表真值表 一個一個門的輸入門的輸入端端，輸出端只有一，輸出端只有一個。個。ABF 與非運算真值表與非運算真值表BAF或非

3、運算真值表或非運算真值表CDABFBABABAF異或運算真值表異或運算真值表同或運算真值表同或運算真值表BABAF與運算：0 1 00AA AAAAAA或運算：1 11 0AA AAAAAA非運算：AA 交換律：ABBAABBA結合律：)()()()(CBACBACBACBA分配律：)()()(CABACBACABACBA(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC(A+B)(B+C)=A+BC(A+B)(B+C)=A+BC=A+AB+AC+BCAA=AAA=A=A(1+B+C)+BC含有含有A A的項提取的項提取=A+BC1+B+C=11+B+C=1)(1BA BA A+A=1A+A=1A

4、A1=11=1A+AB=A+BA+AB=A+BABCBCABCAABCCBAABCCABAABCF)()(21、公式法化簡：、公式法化簡：化簡的意義：邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠?；喌囊饬x：邏輯表達式越簡單，實現(xiàn)電路越簡單，電路工作越穩(wěn)定可靠。BCCBCBBCCBAABCCBBCAABCF)()(1BAGEBCDABAF)(1BABCDBADABADBCDABADCDBAF)()(2CABCABABCBAABCBCAABF)(DCBADBACBADBACBADBACCBADCBDCACBAF)()( 利用公式（），為某一項配上其所缺的變量，利用公式（），為某一項配上其

5、所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。以便用其它方法進行化簡。CACBBABBCAACBCBACBABCACBACBACBBACCBACBAACBBABACBCBBAF)()1 ()1 ()()(BCACABBCAABCCBAABCCABABCBCACBACABABCF)()()( 設有設有 n 個變量，它們組成的與項中每個變量或以原變量或個變量，它們組成的與項中每個變量或以原變量或以反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，此與項稱之為以反變量形式出現(xiàn)一次，且僅出現(xiàn)一次，此與項稱之為 n 個變個變量的最小項。對于量的最小項。對于 n 個變量就可構成個變量就可構成 2n個最小項，分別記為個最小項，分別記

6、為 mn； 其中下標值其中下標值 n：當各最小項變量按一定順序排好后，用：當各最小項變量按一定順序排好后，用 1 代替其中的原變量，代替其中的原變量， 0 代替其中的反變量，便得一個二進制數(shù)，代替其中的反變量，便得一個二進制數(shù)，該二進制數(shù)的等值十進制即為該二進制數(shù)的等值十進制即為 n的值。的值。 例如：例如： 三變量的三變量的 8 個最小項可以表示為：個最小項可以表示為：ABC = m0 ABC = m1 ABC = m2 ABC = m3ABC = m4 ABC = m5 ABC = m6 ABC = m7 同理，兩變量有同理，兩變量有4個最小項：個最小項：00（m0），），01（m1），）

7、，10（m2），），11（m3）；四變量有）；四變量有16個最小項個最小項m0m15.m0m1m2m3m4m5m6m7A B C A B CA B CA B C A B CA B C A B CA B C00000101001110010111011101234567編號編號最小項最小項A B C序號序號 邏輯函數(shù)被表達成一系列乘積項之和，則稱之邏輯函數(shù)被表達成一系列乘積項之和，則稱之為為表達式。表達式。 如果構成函數(shù)的如果構成函數(shù)的“與或與或”表達式中每一個乘積表達式中每一個乘積項項(與項與項)均為最小項時，則這種表達式稱之為均為最小項時，則這種表達式稱之為，且這種表示是且這種表示是。如：如

8、：F(A,B,C) = AC + AB + BC = ABC + ABC + ABC + ABC = m2 m3 m5 m7 = m(2,3,5,7) 卡諾圖是邏輯函數(shù)真值表的一種圖形表示，卡諾圖原則上不受卡諾圖是邏輯函數(shù)真值表的一種圖形表示，卡諾圖原則上不受變量個數(shù)的限制，利用卡諾圖可以有規(guī)律地化簡邏輯函數(shù)表達式，變量個數(shù)的限制，利用卡諾圖可以有規(guī)律地化簡邏輯函數(shù)表達式，并能直觀地寫出邏輯函數(shù)的最簡式。并能直觀地寫出邏輯函數(shù)的最簡式。 卡諾圖是一種平面方格陣列圖，它將最小項按相鄰原則排列到卡諾圖是一種平面方格陣列圖，它將最小項按相鄰原則排列到小方格內(nèi)?？ㄖZ圖的畫圖規(guī)則：小方格內(nèi)?？ㄖZ圖的畫圖

9、規(guī)則：。m0m1m2m3AB0101兩變量的卡諾圖兩變量的卡諾圖三變量的卡諾圖三變量的卡諾圖m0m1m4m5ABC000101m3m2m7m61110四變量的卡諾圖四變量的卡諾圖m0m1m4m5ABCD00010001m3m2m7m61110m12m13m8m9m15m14m11m101110 F = m1 + m2 + m5 + m7 ，其真值表和卡諾圖標注如下：其真值表和卡諾圖標注如下：01324576 BCA11110001111001 把給定的邏輯函數(shù)化為最小項標準式；把給定的邏輯函數(shù)化為最小項標準式； 按變量數(shù)畫出相應卡諾圖；按變量數(shù)畫出相應卡諾圖；把最小項標準式中含有的最小項在方格

10、把最小項標準式中含有的最小項在方格內(nèi)標內(nèi)標“1” 所有標有所有標有“1”的小方格就是該邏輯函的小方格就是該邏輯函數(shù)中的項。數(shù)中的項。行號行號ABCFmi012345670 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 101100101m0m1m2m3m4m5m6m7 F1 = AC + ABC + BC 將函數(shù)化為標準式，即：將函數(shù)化為標準式，即： F1 = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = m (1,4,5,6,7) F1的卡諾圖如下：的卡諾圖如下：m0m1m4m5ABC000101m3

11、m2m7m6111011111F2 = ABC + AC + BCm0m1m4m5ABC000101m3m2m7m6111011111 2個小方格相鄰時，可以合并為一項，同時消去一個互非的變量；個小方格相鄰時，可以合并為一項，同時消去一個互非的變量；4個小方格組成一個大方塊，或組成一行（列），或在相鄰兩行（列）個小方格組成一個大方塊，或組成一行（列），或在相鄰兩行（列）的兩端，或處于四角時，可以合并為一項，同時消去兩個互非的變的兩端，或處于四角時，可以合并為一項，同時消去兩個互非的變量；量；8個小方格組成一個長方形，或處于兩邊的兩行（兩列），可合個小方格組成一個長方形，或處于兩邊的兩行（兩列）

12、，可合并為一項，同時消去三個互非的變量；如果邏輯變量為并為一項，同時消去三個互非的變量；如果邏輯變量為5個或個或5個以個以上時，在用卡諾圖化簡時，合并的小方格應組成正方形或長方形，上時，在用卡諾圖化簡時，合并的小方格應組成正方形或長方形，同時滿足相鄰原則（不一定是幾何上的相鄰）。同時滿足相鄰原則（不一定是幾何上的相鄰）。 根據(jù)變量的數(shù)目，畫出函數(shù)的卡諾圖；根據(jù)變量的數(shù)目，畫出函數(shù)的卡諾圖； 合并最小項，即把可以合并的最小項用卡諾圈圈起來；合并最小項，即把可以合并的最小項用卡諾圈圈起來； 按每個圈作為一個乘積項，將各乘積項相加，寫出化簡后的按每個圈作為一個乘積項，將各乘積項相加，寫出化簡后的 與

13、或表達式。與或表達式?；喕?F1= m(1,3,4,5,9,11,12,13,14,15)第一步：將函數(shù)第一步：將函數(shù)F1表示在卡諾表示在卡諾圖中；圖中；第二步：選擇出必要極大圈，注意卡諾圈只能圈住相鄰的最小項第二步：選擇出必要極大圈，注意卡諾圈只能圈住相鄰的最小項為為2n，即相鄰，即相鄰2個方格；個方格；4個方格；個方格；8個方格；個方格；16個方格個方格ABCD00010001111011100111100011011110函數(shù)式中含有的最小項用函數(shù)式中含有的最小項用“1”標在對應的方格內(nèi)，標在對應的方格內(nèi)，其它方格標其它方格標“0”。第三步：消去第三步：消去卡諾圈內(nèi)互非的變量，寫出化

14、簡后的與或表達式?？ㄖZ圈內(nèi)互非的變量，寫出化簡后的與或表達式。F1=BC+AB+CD+BD化簡化簡 F2= m(1,2,3,4,5,7,14,15)ABCD00010001111011100111111000001100 F2=ABC+AD+ABC+ABCABC00010111101111F3=A這三個這三個2個方格的卡諾圈各消去一個方格的卡諾圈各消去一個互非的變量個互非的變量D。4個方格的卡諾圈消去兩個個方格的卡諾圈消去兩個互非的變量互非的變量B和和C。F3=ABC+AB+ABC+ABC 如果一個有如果一個有n個變量的邏輯函數(shù)，它的最小項數(shù)為個變量的邏輯函數(shù)，它的最小項數(shù)為2n個，但在個，但

15、在實際應用中可能僅用一部分，另外一部分禁止出現(xiàn)或者出現(xiàn)后對實際應用中可能僅用一部分，另外一部分禁止出現(xiàn)或者出現(xiàn)后對電路的邏輯狀態(tài)無影響，我們稱這部分最小項為無關最小項（也電路的邏輯狀態(tài)無影響，我們稱這部分最小項為無關最小項（也稱為約束項），用稱為約束項），用d表示。表示。 由于無關最小項對最終的邏輯結果無影響，因此在化簡的過程由于無關最小項對最終的邏輯結果無影響，因此在化簡的過程中，可以根據(jù)化簡的需要將這些約束項看作中，可以根據(jù)化簡的需要將這些約束項看作1或者或者0。約束項在卡諾。約束項在卡諾圖中填寫時用圖中填寫時用表示。表示。 用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)用卡諾圖化簡邏輯函數(shù) ：F =m（1，3，5，7，9）+d（10，11，12，13，14，15）1111 1 F=DABCD00 01 11 1000011110 利用約束項化簡的過程中，盡量利用約束項化簡的過程中，盡量不要將不需要的約束項也畫入圈內(nèi)，不要將不需要的約束項也畫入圈內(nèi)，否則得不到函數(shù)的最簡形式。否則得不到函數(shù)的最簡形式。 練習練習1.F AB+AB (C+D) E2.F = AB + A