勾股定理思維導(dǎo)圖題型總結(jié)歸納

1、(一)勾股定理1：勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b,斜邊長(zhǎng)為c,那么a2+b2=c2我國(guó)古代學(xué)者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”要點(diǎn)詮釋：較長(zhǎng)的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”2、勾股定理反映了直角三角形三邊之間的關(guān)系，是直角三角形的重要性質(zhì)之一，其主要應(yīng)用:(1)已知直角三角形的兩邊求第三邊(在ABC中，C90,則C4ab2,bJc2a2,a4cb2)(2)已知直角三角形的一邊與另兩邊的關(guān)系，求直角三角形的另兩邊(3)利用勾股定理可以證明線段平方關(guān)系的問(wèn)題3:勾股定理的證明勾股定理的證明方法很多，常見(jiàn)的是拼圖的方法，用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是圖形經(jīng)過(guò)割補(bǔ)拼接后，只要沒(méi)

2、有重疊，沒(méi)有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見(jiàn)方法如下：方法，1-，、一一、4Gqe4ab(ba)4sS正方形EFGHS正方形ABCD222C,化簡(jiǎn)可證.方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為1一ab222c2abc222cc大正方形面積為S(ab)a2abb所以abc1、,一S弟形二(ab)(ab)S弟形2SADESABE方法三：2,12ab24:勾股數(shù)2.22能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即abc中，a,b,c為正整數(shù)時(shí)，稱a,b,c為一組勾股數(shù)記住常見(jiàn)勾

3、股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5;6,8,10;5,12,13；7,24,25;8,15,17;9,40,41等22A-用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n1，2n,n1(n2，n為正整數(shù))；2222c222n1,2n2n,2n2n1(n為正整數(shù))mn,2mn,mn(mn,m,n為正整數(shù))5、注意:(1)勾股定理的證明實(shí)際采用的是圖形面積與代數(shù)恒等式的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化證明的。(2)勾股定理反映的是直角三角形的三邊的數(shù)量關(guān)系，可以用于解決求解直角三角形邊邊關(guān)系的題目。(3)勾股定理在應(yīng)用時(shí)一定要注意弄清誰(shuí)是斜邊誰(shuí)直角邊，這是這個(gè)知識(shí)在應(yīng)用過(guò)程中易犯的主要錯(cuò)誤。(4)推理格式：.ABg直角三角形.AC

4、+B%AEL(或a2+b2=c2)(二)勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)分別為：a、b、c,且滿足a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形。要點(diǎn)詮釋：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過(guò)“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來(lái)確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)應(yīng)注意：(1)首先確定最大邊，不妨設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為：c；(2)驗(yàn)證c2與a2+b2是否具有相等關(guān)系，若c2=a2+b2,則ABC是以/C為直角的直角三角形(若c2>a2+b2,則ABC是以/C為鈍角的鈍角三角形；若c2<a2+b2,則ABC為銳角三角形)。、.一.-2.22.(定理中a,b,c及abc只是一種表

5、現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如右三角形三邊長(zhǎng)a,b,-22.2_.c滿足acb,那么以a,b,c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊)3:勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別與聯(lián)系區(qū)別：勾股定理是直角三角形的性質(zhì)定理，而其逆定理是判定定理;聯(lián)系：勾股定理與其逆定理的題設(shè)和結(jié)論正好相反，都與直角三角形有關(guān)。4:互逆命題的概念如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。六、隨堂練習(xí)1.在RtABC中，C90,A、B、C的對(duì)邊分別為a、b和c若a2,b4,則c弓斜邊上的高為.若b3,c4,則a=.斜邊上白勺高為.a3

6、.若b,且c2必0,則a=,b,斜邊上的高為.b1若c2,且a3石，則c=，b,斜邊上的高為.2 .正方形的邊長(zhǎng)為3,則此正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為3 .正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)為4,則此正方形的邊長(zhǎng)為.4 .有一個(gè)邊長(zhǎng)為dm50的正方形洞口，想用一個(gè)圓蓋去蓋住這個(gè)洞口，求圓的直徑至少多長(zhǎng)AO的距離0.5m嗎？5 .一旗桿離地面6m處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8m處，求旗桿折斷之前有多高?6 .如圖，一個(gè)3m長(zhǎng)的梯子AB斜靠在一豎直的墻AO上，這時(shí)為2.5m,如果梯子頂端A沿墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移勾股定理典型例題及專項(xiàng)訓(xùn)練專題一：直接考查勾股定理1.已知等腰三角形腰長(zhǎng)是10,底邊長(zhǎng)是16,

7、求這個(gè)等腰三角形的面積。2、已知：如圖，/B=/D=90,/A=60°,AB=4CD=2求：四邊形ABCD勺面3:在ABC中，AB=13AC=15高AD=12貝UBC的長(zhǎng)為多少?4:已知如圖，在ABCt,/C=60°,高，求BC的長(zhǎng)。CD!AB于D,設(shè)AB=qAC巾AAb43,AC=4AD是BC邊上的BC=aCD=h11一一272求證：(1)ab1h2(2)abch5、如圖，在RtAABO,/ACB=90,(3)以ab,h,ch為三邊的三角形是直角三角形練習(xí)6 .如圖，4ABC中,AB=AC/A=45o,AC的垂直平分線分別交ABAC于DE,若CD=1則BDl?于(?)A.

8、1?B.二？C.,？?D.:7 .已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2,周長(zhǎng)是2+而，求這個(gè)三角形的面積.8 .如圖RtABC,C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積9 .如圖，4ABC中，AB=AC=20BC=32D是BC上一點(diǎn)，且ADLAC,求BD的長(zhǎng).10 如圖，ABC中，/ACB=90,AC=BCP是ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足PA=3PB=1,?PC=2求/BPC的度數(shù).11 已知ABC中，/ACB=90,AC=3,BC=4,(1)AD平分/BAC交BC于D點(diǎn)。求CD<(2)BE平分/ABC交AC于E,求CE長(zhǎng)1、面的題二勾股定理的證明如圖，直線l上有三個(gè)正方形a,b,積分

9、別為5和11,則b的面積為(A)4(B)6(C)16(D)552、如圖是2002年8月在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)中的圖案，其中四邊形ABC前EF都是正方形.證：4AB售ADAEA3、圖是一個(gè)邊長(zhǎng)為(mn)的正方形，小穎將圖中的陰影部分拼成圖的形狀，由圖和圖能驗(yàn)證的式子是()222,22、A(mn)(mn)4mnb(mn)(mn)2mn,、2-22,、/、22C(mn)2mnmnd(mn)(mn)mn第3題圖專題三網(wǎng)格中的勾股定理1、如圖1,在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有角形三邊的線段是()ABCDEF、GM條線段，其中能構(gòu)成一個(gè)直角三ABC是(A)CDEF、GH(B)ABEF、GH

10、(QABCDGH(D)ARCDEF2、如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,則網(wǎng)格上的三角形中，邊長(zhǎng)為無(wú)理數(shù)的邊數(shù)是()A.0B.1C.2D.33、(2010年四川省眉山市)如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,A、B、C小正方形的頂點(diǎn)，則/ABC的度數(shù)為()A.90°B.60°C.450D.30°4、如圖，小正方形邊長(zhǎng)為1,連接小正方形的三個(gè)得到，可得ABC則邊AC上的高為()3.23§3.545A.2B,10C.5D,55、如圖，正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，請(qǐng)以圖中的格同的點(diǎn)為頂點(diǎn)畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3、2底、，肉的三角形.

11、所畫的三角形是直角形嗎？說(shuō)明理由.6、如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)是1,在圖中畫出面積為2的三個(gè)形狀不三角形(要求頂點(diǎn)在交點(diǎn)處，其中至少有一個(gè)鈍角三角形)專題四實(shí)際應(yīng)用建模測(cè)長(zhǎng)1、如圖（8）,水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根產(chǎn)葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米,把產(chǎn)葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.2、有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開(kāi)，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開(kāi)？3、臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，如圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海

12、某城市A的正南方向220千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，其中心最大風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心20千米，風(fēng)力就會(huì)減弱一級(jí)，該臺(tái)風(fēng)中心現(xiàn)正以15千米/時(shí)的速度沿北偏東30o方向往C移動(dòng)，且臺(tái)風(fēng)中心風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或走過(guò)四級(jí)，則稱為受臺(tái)風(fēng)影響.（1）該城市是否會(huì)受到這交臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市持續(xù)時(shí)間有多少？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？專題五梯子問(wèn)題1、如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？2、一架方梯長(zhǎng)25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂

13、端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方一向滑動(dòng)了幾米？工、3、如圖，梯子AB斜靠在墻面上，ACLBC,AC=BC當(dāng)梯子的頂端A工、沿AC方向下滑x米時(shí)，梯足B沿CB方向滑動(dòng)y米，則x與y的大小關(guān)系是（）Ra.xyB.xyC.xyD.不能確定C專題六最短路線C1、如圖，學(xué)校教學(xué)樓旁有一塊矩形花鋪，有極少數(shù)同學(xué)為了避開(kāi)拐角走“捷徑”，在花鋪內(nèi)走出了一條“路”.他們僅僅少走了（）步路（假設(shè)2步為1米），卻踩傷了花草.B、5G42、如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm,高AB為10cm,BC是上底面的直徑。一螞蟻從點(diǎn)A出發(fā),沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程C3、如圖，有一個(gè)圓柱體，底面周長(zhǎng)為

14、20cm,高AB為10cm,在圓柱的下底面A點(diǎn)處有一只螞蟻,它想繞圓柱體側(cè)面一周爬行到它的頂端C點(diǎn)處，那么它所行走的路程是多少？4、如圖，假如這是一個(gè)圓柱體的玻璃杯,蟻從外部點(diǎn)A處爬到杯子的內(nèi)壁到達(dá)高的厚度不計(jì)）5、如圖，一只螞蟻從一個(gè)棱長(zhǎng)為1米,且封閉的正方體盒子外部的頂點(diǎn)a點(diǎn)B爬行，問(wèn)這只螞蟻爬行的最短路程為多少米?（杯BEA不變，螞»子AD是杯底直徑，C是杯口一點(diǎn)CD的中點(diǎn)E處，最短該走多遠(yuǎn)呢?6、如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為15cm,寬為10cm,高為20cm,點(diǎn)B到點(diǎn)C的距離為5cm,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，需要爬行的最短E0.23,。階爬行到和耳B巨離是多少）

15、7、如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為2m0.3m、個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，問(wèn)螞蟻沿著臺(tái)程是多少?專題七折疊三角形是臺(tái)階上兩點(diǎn)的最短路1、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6cQ使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長(zhǎng).ABC=8CH!0頊尋W三G沿立線AD折疊,2、如圖，小潁同學(xué)折疊一個(gè)直角三角形的紙片，使A與B重合,痕為DE若已知AC=10cmBC=6cm能求出CE的長(zhǎng)嗎？3、如圖，4ABC的三邊BC=3AC=4AB=5,把ABCfi最長(zhǎng)邊AB折后得到ABC,則CC的長(zhǎng)等于（）A折ACCCB翻DDAE6121324A.5B.5C.5

16、D.5專題八折疊四邊形1、折疊矩形ABCD勺一邊AD,點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)F處，已知AB=8CM,BC=10CM,（1）CF的長(zhǎng)（2）EC的長(zhǎng).2、在矩形紙片ABCm，AD=4cmAB=10cm按圖所示方式折疊,與點(diǎn)D重合，折痕為使點(diǎn)BDC'CEF,求（1）DE的長(zhǎng)；（2）EF的長(zhǎng)3.矩形紙片ABCD勺邊長(zhǎng)AB=4AD=2將矩形紙片沿EF折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)C重合，折疊后在其一面著色（如圖），則著色部分的面積為.4、如圖2-3,把矩形ABCDS直線BD向上折疊，使點(diǎn)C落在C'已知AB=?3BC=7重合部分EBD勺面積為.5、如圖5,將正方形ABCDff疊，使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)M折痕交AD于E,交BC于F,邊AB折疊后與BC邊交于點(diǎn)G為CD4的中點(diǎn)，且DE=6求正方形ABCD勺面積6、矩形ABC時(shí)，AB=6BC=8先把它對(duì)折，折痕為EF,展開(kāi)后再沿BG折疊，使A落在EF上的A1,求第二次折痕BG的長(zhǎng)。專題九旋轉(zhuǎn)問(wèn)題