中山大學(xué)-線性代數(shù)-可逆矩陣

1、1.5 1.5 可逆矩陣可逆矩陣一、可逆矩陣的一、可逆矩陣的定義定義二、矩陣二、矩陣求逆求逆的方法的方法三、矩陣三、矩陣可逆性的判別可逆性的判別與與 逆矩陣的逆矩陣的計(jì)算計(jì)算 ( (總結(jié)）總結(jié)）四、四、矩陣方程矩陣方程主要內(nèi)容主要內(nèi)容一、可逆矩陣的定義一、可逆矩陣的定義一、定義一、定義 設(shè)設(shè)A A是是n n 階方陣。若存在階方陣。若存在n n 階方陣階方陣B B，使使AB AB = = BA BA = = I I，則稱則稱A A是可逆矩陣是可逆矩陣，稱，稱B B是是A A的逆的逆矩陣矩陣。 例例 討論討論n n 階零方陣階零方陣0 0與與n n 階單位矩陣階單位矩陣I I 的可逆性。的可逆性。

2、 一個(gè)矩陣若存在可逆矩陣，則有一個(gè)矩陣若存在可逆矩陣，則有且僅有一個(gè)逆矩陣。且僅有一個(gè)逆矩陣。為什么？為什么？例例 初等矩陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣也是初等矩陣都是可逆矩陣，且它們的逆矩陣也是初等矩陣。初等矩陣。 例例 設(shè)方陣設(shè)方陣 滿足滿足 ，證明，證明 都可逆。都可逆。A01032 IAAIAA3, 證明證明 由已知得由已知得 IIAA10)3( 且且 IAIA10)3( 于是有于是有 )2( )3(101 )3(101) 1 ( )101)(3( )3)(101(IAIAIIAAIAIAIIAA 且且由由 得得 可逆，且可逆，且 ； )1 (IA3 AIA101)3(1 由由 得得

3、可逆，且可逆，且 。 )2(A)3(1011IAA 舉例舉例定理定理定理定理 設(shè)設(shè)A A是方陣，則是方陣，則A A是可逆矩陣的充分必要是可逆矩陣的充分必要條件是條件是A A滿秩。滿秩。 例例 設(shè)設(shè) abAcd則當(dāng)則當(dāng) 時(shí)，時(shí)，A A 可逆，并且可逆，并且 bcad acbdbcadA11二、矩陣求逆的方法二、矩陣求逆的方法設(shè)矩陣設(shè)矩陣 可逆，則存在若干個(gè)初等矩陣可逆，則存在若干個(gè)初等矩陣 使使 AsPPP,21IAPPPs 12 式兩邊同時(shí)右乘式兩邊同時(shí)右乘 ，又得，又得 1 A112 AIPPPs 、式表明：把式表明：把 化為單位矩陣的初等行變換化為單位矩陣的初等行變換同時(shí)把同時(shí)把I I化為

4、化為 。由此得矩陣求逆的方法：由此得矩陣求逆的方法： A1 A 1 AIIA初等行變換舉例舉例例例 求矩陣求矩陣 的逆矩陣的逆矩陣 A 1087654321A解解 1001087010654001321IA312132(7)(4)(2)1231000364100611701123100036410001121RRRRRR 1211006112030362021323163)(RRRR1211006112030134320012132RR121100231132010134320012)31(R12413321 1233121A故：故： 課堂作業(yè)課堂作業(yè)求矩陣求矩陣A的逆矩陣，其中的逆矩陣，其中

5、 2213A acbdbcadA11abAcd提示：提示：推論、性質(zhì)推論、性質(zhì)推論推論 設(shè)設(shè)A是是n 階方陣，若存在階方陣，若存在n 階方陣階方陣B 使使AB=I或或BA=I，則，則A可逆且可逆且 。 BA1性質(zhì)性質(zhì) （1 1）若若A A可逆，則可逆，則 也可逆，并且也可逆，并且 1AAA11)(（2 2）若若A A可逆，則可逆，則 也可逆，且也可逆，且 TATTAA)()(11（3 3）若若A A與與B B是同階可逆矩陣，則是同階可逆矩陣，則ABAB也可逆，且也可逆，且 111()ABB A三、矩陣可逆性的判別與逆矩陣計(jì)算三、矩陣可逆性的判別與逆矩陣計(jì)算 ( (總結(jié)）總結(jié)）（1 1）根據(jù)可逆

6、矩陣的定義；根據(jù)可逆矩陣的定義；（2 2）利用初等行變換；利用初等行變換；（3 3）利用可逆的性質(zhì)。利用可逆的性質(zhì)。舉例舉例例例 設(shè)設(shè)B B是是n n 階可逆矩陣，階可逆矩陣， TnTnbbbAaaaA212211,令令TAABA21證明：證明：當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，A A可逆，且可逆，且01112ABAcT)(1121111BAABcBAT證明證明 因因 111121 ()()TA BBAA Bc11112121()()()TTBA ABB AA Bc111112121112121 ()()1 ()()TTTTBBBB AA BAA ABBcAcAABIBAAccBAAccIBAABAAcBAABA

7、AcITTTTTT12112112112112112111)(11故故 A可逆，且可逆，且 1111121()()TABBAA Bc舉例舉例例例 設(shè)設(shè)A與與B 是同階方陣，且是同階方陣，且A、B、A+B 都可逆，證明：都可逆，證明： 也可逆。也可逆。 11 BA證明證明 因?yàn)橐驗(yàn)锳與與B 都可逆，都可逆，故存在故存在 與與 ，使，使 ，1 A1 BIAA 1IBB 1于是，于是， )( 111111111 ABIAABAAIBABA,)()(11111 BABAABBBA又又 均可逆，故均可逆，故可逆，且可逆，且11 BABA、1111 BABABA）（11111111111 ABABABBB

8、AA（）（）（） （） （）1B A B A（）定理定理定理定理 設(shè)設(shè)A是是n 階方陣，則齊次線性方程組階方陣，則齊次線性方程組AX=0有非零解的充分必要條件是有非零解的充分必要條件是A不可逆。不可逆。 如何證明？提示：如何證明？提示：利用利用“反證法反證法”課后作業(yè)：課后作業(yè)：（要交）（要交） 求矩陣求矩陣A A的逆矩陣：的逆矩陣： 3456637412432332A四、矩陣方程四、矩陣方程 AX = C， XB = D， AXB = F。其中。其中A、B、C、D、F 均為已知矩陣，而均為已知矩陣，而X 為未知矩陣。為未知矩陣。 AX = C CAX1 XB = D 1 CBX AXB = F 11 FBAX課堂作業(yè)：課堂作業(yè)：解矩陣方程解矩陣方程12613152X舉例舉例例例 已知矩陣已知矩陣A、B、X 滿足關(guān)系式滿足關(guān)系式 求求X。其中。其中11)()( TTBXABI 5000140001300012 ,1000110001100011BA解解 由由 可得可得 11)()( TTBXABI1111() () TTTBIABIABB111)()(TTBABIX1 () TBA11000110000002020010