(1502)黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題(有答案)

1、黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題(有答案) ABC1.定義：如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB,則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖 2, 中，AB=AC=1 , /A=36°, BD 平分/ABC 交 AC 于點(diǎn) D.(1)求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)求出線段AD的長(zhǎng).圖1軋2.如圖，用長(zhǎng)為 40cm的細(xì)鐵絲圍成一個(gè)矩形 ABCD (AB>AD).L1rB40cwAJ(1)若這個(gè)矩形的面積等于 99cm2,求AB的長(zhǎng)度；(2)這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2嗎？若能，求出 AB的長(zhǎng)度，若不能，說(shuō)明理由；(3)若這個(gè)矩形為黃金矩形(AD與AB之比等于黃金比丘

2、7),求該矩形的面積.(結(jié)果保留根號(hào))3 .定義：如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BC?AB,則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).如圖 2, 4ABC 中，AB=AC=2 , /A=36 °, BD 平分 / ABC 交 AC 于點(diǎn) D.(1)求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)求出線段AD的長(zhǎng).54 .作一個(gè)等腰三角形，使得腰與底之比為黃金比.(1)尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡；(2)寫出你的作法；(3)證明：腰與底之比為黃金比.5 . (1)已知線段AB的長(zhǎng)為2, P是AB的黃金分割點(diǎn)，求 AP的長(zhǎng);(2)求作線段AB的黃金分割點(diǎn)P,要求尺規(guī)作圖，且使 AP>PB.A*6

3、 .如圖，線段AB的長(zhǎng)度為1.(1)線段AB上的點(diǎn)C滿足系式AC2=BC?AB ,求線段AC的長(zhǎng)度；(選做)(2)線段AC上的點(diǎn)D滿足關(guān)系式AD2=CD?AC,求線段AD的長(zhǎng)度;(選做)(3)線段AD上的點(diǎn)E滿足關(guān)系式AE2=DE?AD,求線段AE的長(zhǎng)度；上面各題的結(jié)果反映了什么規(guī)律？(提示：在每一小題中設(shè)x和1)E D C87 .如圖，在 4ABC中，AB=AC , Z A=36 °, /1 = /2,請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)D是不是線段 AC的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)說(shuō)明理由.8 ABC AB=AC=2 , BC= - 1 ,A=36 °, BD 平分 ABC AC D.試說(shuō)明點(diǎn) D 是線段 AC

4、 的黃金分割點(diǎn).9 .在數(shù)學(xué)上稱長(zhǎng)與寬之比為黃金分割比的矩形為黃金矩形，如在矩形ABCD中，當(dāng)研時(shí)，稱矩形ABCD為黃金矩形ABCD .請(qǐng)你證明黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.10 .如圖，設(shè) AB是已知線段，在 AB上作正方形 ABCD ;取AD的中點(diǎn)E,連接EB;延長(zhǎng)DA至F,使EF=EB ; 以線段AF為邊作正方形 AFGH .則點(diǎn)H是AB的黃金分割點(diǎn).為什么說(shuō)上述的方法作出的點(diǎn)H是這條線段的黃金分割點(diǎn)，你能說(shuō)出其中的道理嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉?，說(shuō)一說(shuō).11 .如圖，已知 4ABC 中，D 是 AC 邊上一點(diǎn)，/A=36°, /C=72°, Z ADB=108

5、°,求證:(1) AD=BD=BC ;(2)點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).12 .已知AB=2，點(diǎn)C是AB的黃金分割線，點(diǎn) D在AB上，且 AD2=BD?AB,求包!的值.ACaTF - 113 .如果一個(gè)矩形 ABCD (AB VBC)中，里T用.618,那么這個(gè)矩形稱為黃金矩形，黃金矩形給人以美感. 在BC 2黃金矢I形ABCD內(nèi)作正方形 CDEF,得到一個(gè)小矩形 ABFE (如圖)，請(qǐng)問(wèn)矩形ABFE是否是黃金矩形？請(qǐng)說(shuō)明你 的結(jié)論的正確性.EDB 尸14 .五角星是我們常見(jiàn)的圖形，如圖所示，其中，點(diǎn)C, D分別是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AB=20cm ,求EC+CD的長(zhǎng).15 .人

6、的肚臍是人的身高的黃金分割點(diǎn)，一般來(lái)講，當(dāng)肚臍到腳底的長(zhǎng)度與身高的比為0.618時(shí)，是比較好看的黃金身段.一個(gè)身高1.70m的人，他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為多少時(shí)才是黃金身段(保留兩位小數(shù))？16 .如圖所示，以長(zhǎng)為 2的定線段AB為邊作正方形 ABCD ,取AB的中點(diǎn)P,連接PD,在BA的延長(zhǎng)線上取點(diǎn) F, 使PF=PD,以AF為邊作正方形 AMEF ,點(diǎn)M在AD上.(1)求AM , DM的長(zhǎng)；(2)點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn)嗎？為什么？17 .如圖，點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 AP>BP,設(shè)以AP為邊長(zhǎng)的正方形面積為 S1,以PB為寬和以AB為 長(zhǎng)的矩形面積為S2,試比較S1與S2的大小

7、.-l/T - 118.如圖，在平行四邊形 ABCD中，E為邊AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且 D為AE的黃金分割點(diǎn)，即 皿3一-研,BE交DC于點(diǎn)F,已知AB=V5 + 1,求CF的長(zhǎng).-l/T - 119.圖1是一張寬與長(zhǎng)之比為 "一：1的矩形紙片，我們稱這樣的矩形為黃金矩形.同學(xué)們都知道按圖2所示的2折疊方法進(jìn)行折疊，折疊后再展開(kāi)，可以得到一個(gè)正方形ABEF和一個(gè)矩形 EFDC,那么EFDC這個(gè)矩形還是黃金矩形嗎？若是，請(qǐng)根據(jù)圖2證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.(®1 >20.（如圖1）,點(diǎn)P將線段AB分成一條較小線段AP和一條較大線段BP,如果那么稱點(diǎn)P為線段AB的黃

8、金分割點(diǎn)，設(shè)理里=k,則k就是黃金比，并且 k-0.618. BP AB(1)以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰4APB (如圖2),等腰4APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為:滿足腰一底十腰-0.618的等腰三角形是黃金三角形；類似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義:(2)如圖1,設(shè)AB=1，請(qǐng)你說(shuō)明為什么(3)由線段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的k 約為 0.618;黃金分割線”,類似地給出黃金分割線”的定義：直線l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為Si和面積為S2的兩部分（設(shè) SKS2）,如果，那么稱直線l為該圖形的黃金分割線.(如圖3),點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線 CP是4ABC的黃金分

9、割線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)圖3中的 ABC的黃金分割線有幾條？21 .在人體軀干(腳底到肚臍的長(zhǎng)度)與身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點(diǎn)，即比例越接近0.618,越給人以美感.張女士原來(lái)腳底到肚臍的長(zhǎng)度與身高的比為0.60,她的身高為1.60m,她應(yīng)該選擇多高的高跟鞋穿上看起來(lái)更美？(精確到十分位)22 .已知線段AB ,按照如下的方法作圖：以 AB為邊作正方形 ABCD ,取AD的中點(diǎn)E,連接EB,延長(zhǎng)DA到F, 使EF=EB,以線段AF為邊，作正方形 AFGH ,那么點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.23 .如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張正方的紙片 ABCD ,先折出BC的中點(diǎn)

10、E,再折出線段AE ,然后通過(guò)折疊 使EB落到線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置B；因而EB'=EB.類似地，在 AB上折出點(diǎn)B使AB =AB 這時(shí)B 就是AB的黃金分割點(diǎn).請(qǐng)你證明這個(gè)結(jié)論.24 .如圖，用紙折出黃金分割點(diǎn)：裁一張邊長(zhǎng)為 2的正方形紙片 ABCD ,先折出BC的中點(diǎn)E,再折出線段 AE ,然 后通過(guò)折疊使 EB落在線段EA上，折出點(diǎn)B的新位置F,因而EF=EB.類似的，在AB上折出點(diǎn)M使AM=AF .則 M是AB的黃金分割點(diǎn)嗎？若是請(qǐng)你證明，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.25 .如圖，在 4ABC 中，點(diǎn) D 在邊 AB 上，且 DB=DC=AC ,已知 /ACE=108°,

11、 BC=2 .（1）求/ B的度數(shù)；（2）我們把有一個(gè)內(nèi)角等于 36。的等腰三角形稱為黃金三角形.它的腰長(zhǎng)與底邊長(zhǎng)的比（或者底邊長(zhǎng)與腰長(zhǎng)的比）等于黃金比三二L2寫出圖中所有的黃金三角形，選一個(gè)說(shuō)明理由；求AD的長(zhǎng)； 在直線AB或BC上是否存在點(diǎn)P （點(diǎn)A、B除外），使4PDC是黃金三角形？若存在，在備用圖中畫出點(diǎn)巳 簡(jiǎn)要說(shuō)明畫出點(diǎn)P的方法（不要求證明）；若不存在，說(shuō)明理由.Jr -126 .寬與長(zhǎng)的比是烏丁的矩形叫黃金矩形.心理測(cè)試表明：黃金矩形令人賞心悅目，它給我們以協(xié)調(diào)，勻稱的美感.現(xiàn)將小波同學(xué)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課中，折疊黃金矩形的方法歸納如下（如圖所示）：第一步：作一個(gè)正方形 ABCD ;第二步

12、：分別取 AD, BC的中點(diǎn)M, N,連接MN;第三步：以N為圓心，ND長(zhǎng)為半徑畫弧，交 BC的延長(zhǎng)線于E;第四步：過(guò)E作EFXAD ,交AD的延長(zhǎng)線于F.請(qǐng)你根據(jù)以上作法，證明矩形 DCEF為黃金矩形.27 .在4ABC中，AB=AC , ZA=36 °,把像這樣的三角形叫做黃金三角形.（1）請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的分法，將黃金三角形ABC分割成三個(gè)等腰三角形，使得分割成的三角形中含有兩個(gè)黃金三角形（畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標(biāo)出能夠說(shuō)明不同分法所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求寫畫法，不要 求證明.分別畫在圖 1,圖2,圖3中）注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認(rèn)為是兩種不同的

13、分法.（2）如圖4中,BF平分/ABC交AC于F,取AB的中點(diǎn)E,連接 EF并延長(zhǎng)交 BC的延長(zhǎng)線于 M.試判斷CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系？只需說(shuō)明結(jié)果，不用證明. 答：CM與AB之間的數(shù)量關(guān)系是B圖428 .折紙與證明 用紙折出黃金分割點(diǎn)：第一步：如圖（1）,先將一張正方形紙片 ABCD對(duì)折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE的對(duì)角線BF.第二步：如圖（2）,將AB邊折到BF上，得到折痕 BG,試說(shuō)明點(diǎn)G為線段AD的黃金分割點(diǎn)（AG>GD）DDEBC(129.三角形中，頂角等于(1)(2)36°的等腰三角形稱為黃金三角形，如圖1,在4ABC中，已知：AB=AC ,且/A=36

14、°.在圖1中，用尺規(guī)作 AB的垂直平分線交 AC于D,并連接BD （保留作圖痕跡，不寫作法） BCD是不是黃金三角形？如果是，請(qǐng)給出證明；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)國(guó)二k,試求k的值;AC(4)如圖 2,在 AiBiCi 中，已知 AiBi=AiCi, /Ai=108°,且 AiBi=AB ,請(qǐng)直接寫出BC的值.30.如圖1,點(diǎn)C將線段AB分成兩部分，如果坐，那么稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn).某研究小組在進(jìn)行 Ad AL-課題學(xué)習(xí)時(shí)，由黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到黃金分割線”，類似地給出黃金分割線”的定義：直線I將一個(gè)面積為S的圖形分成兩部分，這兩部分的面積分別為Si, S2,如果

15、2,那么稱直線I為該圖形的黃金分割線.s S）（1）研究小組猜想：在 abc中, 線.你認(rèn)為對(duì)嗎？為什么？若點(diǎn)D為AB邊上的黃金分割點(diǎn)（如圖 2）,則直線CD是 ABC的黃金分割(2)(3)連接(4)請(qǐng)你說(shuō)明：三角形的中線是否也是該三角形的黃金分割線？研究小組在進(jìn)一步探究中發(fā)現(xiàn)：過(guò)點(diǎn)C任作一條直線交 AB于點(diǎn)巳再過(guò)點(diǎn)D作直線DF / CE,交AC于點(diǎn)F,EF （如圖3）,則直線EF也是4ABC的黃金分割線.請(qǐng)你說(shuō)明理由.如圖4,點(diǎn)E是平行四邊形 ABCD的邊AB的黃金分割點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) E作EF/ AD ,交DC于點(diǎn)F,顯然直線EF是平行四邊形 abcd的黃金分割線.請(qǐng)你畫一條平行四邊形abcd的黃

16、金分割線，使它不經(jīng)過(guò)平行四邊形abcd各邊黃金分割點(diǎn).D B圖二DE 8黃金分割專項(xiàng)練習(xí)30題參考答案：1. (1)證明：AB=AC=1 ,/ ABC= / C=二(180 - ZA) = (180 - 36°) =72。，2飛BD平分/ ABC交AC于點(diǎn)D,Z ABD= Z CBD= L ABC=36 °,2/ BDC=180 - 36 - 72 =72 °,DA=DB , BD=BC ,AD=BD=BC ,易得 ABDCs ABC ,.BC: AC=CD : BC,即 BC2=CD?AC , ad2=cd?ac ,.點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；(2)設(shè) AD=

17、x ,貝U CD=AC - AD=1 - x, AD2=CD?AC ,- x2=1 - x,解得 x1=弼2 I x2=即AD的長(zhǎng)為Hl22 .解：(1)設(shè) AB=xcm ,貝U AD= (20x) cm,根據(jù)題意得x (20-x) =99 ,整理得 x2- 20x+99=0,解得 x1=9, x2=11,當(dāng) x=9 時(shí)，20-x=11 ;當(dāng) x=11 時(shí)，20-11=9,而 AB > AD,所以x=11 ,即AB的長(zhǎng)為11cm；(2)不能.理由如下：設(shè) AB=xcm ,貝U AD= (20 x) cm,根據(jù)題意得x (20-x) =101 ,整理得 x2- 20x+101=0 ,因?yàn)?

18、4=202 4M01= - 4V0,所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以這個(gè)矩形的面積可能等于101cm2;(3)設(shè) AB=xcm ,貝U AD= (20 x) cm,根據(jù)題意得20-x=一x, 2解得x=10 (匹-1),則 20-x=10 (3-灰)，_所以矩形的面積=10 (感1) ?10 (3加j) = (40075- 800) cm2.3 .解：(1)/ A=36 °, AB=AC ,/ ABC= / ACB=72 °, BD 平分 / ABC ,/ CBD= / ABD=36 °, / BDC=72 °,AD=BD , BC=BD ,. AABCABDC

19、. BD.CDAB BC坦邈,AC ADad2=ac ?cd.點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).(2)二點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn),.2 AC AC=2 ,AD= -ji- 14.解：(1)腰與底之比為黃金比為黃金比如圖,(2)作法：畫線段AB作為三角形底邊；取AB的一半作 AB的垂線 AC,連接BC ,在BC上取CD=CA .BD為半徑劃弧，交點(diǎn)為 E;即是所求的三角形.BC=V5, AE=BE=BD=BC - CD=71 - 1,5.解：(1)由于P為線段AB=2分別以A點(diǎn)和B點(diǎn)為圓心、以 分別連接EA、EB,貝UABE (3)證明：設(shè) AB=2 ,貝U AC=1的黃金分割點(diǎn), 則 AP=2或

20、AP=2 -（如-1） =3-Ml;6.解：（1）設(shè) AC=x ,貝U BC=AB - AC=1 x AC2=BC?AB ,x2=1 x （1 - x）,整理得x2+x- 1=0,-1(舍去)，解得x1=-一2所以線段AC的長(zhǎng)度為叫 1；(2)設(shè)線段AD的長(zhǎng)度為x, AC=l ,ad2=cd?ac ,1 1 x =l X (l - x), .X1=X2=-l- (舍去)，22線段AD的長(zhǎng)度 區(qū)二AC ;|2(3)同理得到線段AE的長(zhǎng)度逅二2aD;2上面各題的結(jié)果反映：若線段AB分成兩條線段 AC和BC (AC >BC),且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)(即AB :AC=AC : BC),則

21、C點(diǎn)為AB的黃金分割點(diǎn)7 .解：D是AC的黃金分割點(diǎn).理由如下:.在 ABC 中，AB=AC , Z A=36 °,/ ABC= / ACB=72°./ 1 = / 2,/ 1 = Z2=Z ABC=362.BDC 中，ZBDC=180 °- Z2- /C=72°, / C=/ BDC , BC=BD . Z A=Z 1 , AD=BC . 4ABC 和 BDC 中，/2=/A, /C=/C, ABC BDC ,BD CDX AB=AC , AD=BC=BD ,AC AD 廟祠 AD2=AC ?CD,即D是AC的黃金分割點(diǎn)8 .證明：AB=AC , ZA

22、=36 °,/ ABC= 4 (180 - 36°) =72°, 匕IBD平分/ ABC ,交于 AC于D,/ DBC=ABC= 4X72°=36 °,32/ A= / DBC , 又. /C=/C,ABCDAABC , .BC CD "AB'BC AB=AC上AC BC AB=AC=2 , BC=1, (7s- 1) 2=2X (2-AD),解得 AD= & - 1,AD : AC= (* - 1) : 2.點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).9.證明：在 AB上截取 AE=BC , DF=BC ,連接EF. AE=BC ,

23、 DF=BC , AE=DF=BC=AD , 又 / ADF=90 °,四邊形AEFD是正方形.BE=研-AE=BC - &C=丐1BC，.BE中耳一 1| .一 , BC 2.矩形BCFE的寬與長(zhǎng)的比是黃金分割比，矩形 BCFE是黃金矩形.-1黃金矩形是由一個(gè)正方形和一個(gè)更小的黃金矩形構(gòu)成.D產(chǎn) CI11 11 11 11 E B10 .解：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2, 在RtAAEB中，依題意，得 AE=1 , AB=2 , 由勾股定理知EB= J；.。、,= r',AH=AF=EF - AE=EB - AE= V5- 1 , HB=AB - AH=3 一俄；A

24、H2=(詆-1)，=6 - 2、后,AB?HB=2X (3-/5) =6 - 2x/5,AH2=AB ?HB ,所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).11 .證明：(1) ./A=36°, /C=72°,/ ABC=180 - 36 - 72 =72 °, / ADB=108 °,/ ABD=180 - 36 - 108 =36 °,AADB是等腰三角形， / BDC=180 - / ADC=180 - 108 =72°, . ABDC是等腰三角形，AD=BD=BC .(2)Z DBC= ZA=36 °, ZC=ZC,ABCsBD

25、C ,BC: AC=CD : BC , bc2=ac ?DC , BC=AD , ad2=ac ?dc,.點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn).12 .解：.D 在 AB 上，且 AD 2=BD ?AB ,點(diǎn)D是AB的黃金分割點(diǎn)而點(diǎn)C是AB的黃金分割點(diǎn)，AC= % *AB= 1, AD=AB - %，AB=-AB=3 -或 AD= - 1 , AC=3 -,CD=店T- (3-75) =275-4,.雪堂- £3-譙 旦=2泥巳的-1.AC V5 -I廠I 質(zhì) Is-Vb l 213 .解：矩形 ABFE是黃金矩形. AD=BC , DE=AB ,.AE AD-TE BC-AB3. V5+l|

26、 .詆+_Q11=一1= AB AB AB AB 在-1222.矩形ABFE是黃金矩形.AD >BD),14.解：為AB的黃金分割點(diǎn)AD=b=10V5- 10, EC+CD=AC+CD=AD , EC+CD= (10遮-10) cm .15 .解：設(shè)他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為xm時(shí)才是黃金身段,根據(jù)題意得x： 1.70=0.618,即 x=1.70 X0.618Z.1 (m).PD= r ' |J="，=.丸答：他的肚臍到腳底的長(zhǎng)度為1.1m時(shí)才是黃金身段.16 .解：(1)在 RtAAPD中，AP=1 , AD=2 ,由勾股定理知AM=AF=PF - AP=PD - AP

27、=V5- 1 , DM=AD - AM=3 一任.故AM的長(zhǎng)為必-1, DM的長(zhǎng)為3-而；(2)點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).點(diǎn)M是AD的黃金分割點(diǎn).AP>BP,17 .解：二點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，且 . AP =BP 沿B ,又Si=AP2, S2=PB 淤B,Si=S2.18.解：二.四邊形ABCD為平行四邊形，/ CBF= / AEB , / BCF= / BAE ,. BCFsEAB ,也央，即理CF BA AE 恥把 AD=遮 T A/， AB=7+1 代入得， 巫 _ 1=_JZg_, 22 I 遍+1解得：CF=2.故答案為：2 .19.解：矩形EFDC是黃金矩形，證明：四

28、邊形ABEF是正方形，.矩形CDFE是黃金矩形.20.解：(1)滿足僉1=£區(qū)-0.618的矩形是黃金矩形; _電+1（2）由里k 得，BP=1>k=k,從而 AP=1 - k, AB器哨導(dǎo)，Bp2=AP>AB，即 k2=（1-k） X1,解得k=k>0,k=用.618;(3)因?yàn)辄c(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，所以而謳設(shè)4ABC的AB上的高為h,則SAcJAFXh_AP WcJEFXll_EP 對(duì)PC lBpxh BF s®-jABXk 杷.S4觸町 S&EP匚SABPC SAAEC，直線CP是ABC的黃金分割線.（4）由（2）知，在BC邊上也存在這

29、樣的黃金分割點(diǎn)Q,則AQ也是黃金分割線，設(shè) AQ與CP交于點(diǎn)W,則過(guò)點(diǎn)W的直線均是4ABC的黃金分割線，故黃金分割線有無(wú)數(shù)條.21.解：根據(jù)已知條件得下半身長(zhǎng)是160>0.6=96cm ,設(shè)選擇的高跟鞋的高度是 xcm,則根據(jù)黃金分割的定義得:96+七160十工解得：x勺.5cm.故她應(yīng)該選擇7.5cm左右的高跟鞋穿上看起來(lái)更美.22 .解：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2a,在 RtAAEB 中，依題意，得 AE=a, AB=2a ,由勾股定理知EB=以再定=5AH=AF=EF - AE=EB - AE=（有T） a,HB=AB - AH= （3-立）a；. .AH2= （6-2|VS）

30、a2,AB?HB=2aX （3-“）a= （6-2,歷）a2,. . AH2=AB ?HB ,所以點(diǎn)H是線段AB的黃金分割點(diǎn).23 .證明：設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為BC的中點(diǎn)，BE=1 1-ae=7aE2-HBE 又 BE=BE=1 , .AB =AE - BE=遍-1, .AB ：*（芯一 1）:2 點(diǎn)B 是線段AB的黃金分割點(diǎn).ABrf B24.證明：二.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2, E為BC的中點(diǎn), BE=1ae=Vab2+be2=在， EF=BE=1 ,AF=AE - EF= VS- 1 ,AM=AF= 1 ,.AM : AB=（V5- 1） : 2,.點(diǎn)M是線段AB的黃金分割

31、點(diǎn).25.解：（1）BD=DC=AC .則 / B= / DCB , / CDA= / A .設(shè) / B=x ,則/ DCB=x , / CDA= / A=2x .又 / BOC=108 °,/ B+ Z A=108 °. x+2x=108, x=36 ./ B=36 °（2）有三個(gè)：ABDC, AADC , ABAC . DB=DC , ZB=36 °, ADBC是黃金三角形，（或 CD=CA , Z ACD=180 / CDA ZA=36 °.ACDA是黃金三角形.或 : / ACE=108 °,/ ACB=72 .又/ A=2x

32、=72 °, / A= / ACB .BA=BC .ABAC是黃金三角形.ABAC是黃金三角形，M中缶-1 .,一I氏2，_ BC=2 ,AC=遮-1._ BA=BC=2 , BD=AC= 71； - 1 ,AD=BA BD=2 （寸年1） =3y，存在，有三個(gè)符合條件的點(diǎn)P1、P2、P3.i ）以CD為底邊的黃金三角形：作 CD的垂直平分線分別交直線 AB、BC得到點(diǎn)P1、P2.ii）以CD為腰的黃金三角形：以點(diǎn) C為圓心，CD為半徑作弧與 BC的交點(diǎn)為點(diǎn) P3.26.證明：在正方形 ABCD中，取 AB=2a . N為BC的中點(diǎn)，NCBC=a.2在 RtADNC 中,ND=VbT

33、C2+CD2=Va2-H(2a)4 -又 NE=ND , .CE=NE - NC= (-J1- 1) a.CE (小-I) a Vs-1-.CD 2a 2故矩形DCEF為黃金矩形.27.解：(1)(2) CM=AB (4 分)28 .證明：如圖，連接 GF,設(shè)正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為1 ,則DF=.在 RtABCF 中,BF=貝U A F=BF BA=WLi.22設(shè) AG=A G=x,貝U GD=1 x,在 RtA'GF 和 RtA DGF 中，有 A'F 2+A'G2=DF2+DG 2,即(夸-1) 2+1= (i) 24 (1-x)之 解得x=運(yùn)一 I2即點(diǎn)G是AD的黃金分割點(diǎn)(AG >GD).A G D29.解：(1)如圖所示;(2) BCD是黃金三角形.證明如下：二.點(diǎn)D在AB的垂直平分線上，A