第六章軸對稱問題的有限單元法

1、軸對稱問題 軸對稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用比較廣泛。軸對稱結(jié)構(gòu)在工程中應(yīng)用比較廣泛。 軸對稱結(jié)構(gòu)是由任意平面圖形繞著某直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的回軸對稱結(jié)構(gòu)是由任意平面圖形繞著某直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的回轉(zhuǎn)體，該直線稱為轉(zhuǎn)體，該直線稱為對稱軸對稱軸；旋轉(zhuǎn)平面稱為；旋轉(zhuǎn)平面稱為子午面子午面。如果軸對稱結(jié)構(gòu)的如果軸對稱結(jié)構(gòu)的約束約束條件以及作用的載荷條件以及作用的載荷都都對稱于對稱軸的話，則對稱于對稱軸的話，則在載荷作用下產(chǎn)生的在載荷作用下產(chǎn)生的位位移、應(yīng)變和應(yīng)力移、應(yīng)變和應(yīng)力也對稱也對稱于此軸，這種問題稱為于此軸，這種問題稱為軸對稱問題。軸對稱問題。z軸對稱問題對完全軸對稱問題進行對完全軸對稱問題進行計算時，只需

2、取任一個計算時，只需取任一個子午面離散化后，進行子午面離散化后，進行分析即可。分析即可。在軸對稱問題中，通常采用柱坐標在軸對稱問題中，通常采用柱坐標(r, , z)。以。以z軸作為對稱軸，軸作為對稱軸，所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與所有應(yīng)力、應(yīng)變和位移都與 方向無關(guān)，只是方向無關(guān)，只是r和和z的函數(shù)，任一的函數(shù)，任一點的位移只有兩個方向的分量，即沿點的位移只有兩個方向的分量，即沿r方向的徑向方向的徑向u和沿和沿z方向的方向的軸向位移軸向位移w。由于軸對稱，。由于軸對稱， 方向的位移等于零。因此軸對稱問方向的位移等于零。因此軸對稱問題是二維問題。題是二維問題。 z軸對稱問題在對軸對稱問題進行計在對軸對

3、稱問題進行計算時，只需取出一個截算時，只需取出一個截面進行網(wǎng)格劃分和分析，面進行網(wǎng)格劃分和分析，但應(yīng)注意到單元是環(huán)狀但應(yīng)注意到單元是環(huán)狀的，所有的節(jié)點載荷都的，所有的節(jié)點載荷都應(yīng)理解為作用在單元節(jié)應(yīng)理解為作用在單元節(jié)點所在的圓周上。點所在的圓周上。 離散軸對稱體時，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)單元與離散軸對稱體時，采用的單元是一些圓環(huán)。這些圓環(huán)單元與rz平平面的截面可以有不同的形狀，例如面的截面可以有不同的形狀，例如3節(jié)點三角形、節(jié)點三角形、6節(jié)點三角形節(jié)點三角形或其它形式。單元的節(jié)點是圓周狀的鉸鏈，各單元在或其它形式。單元的節(jié)點是圓周狀的鉸鏈，各單元在rz平面內(nèi)形平面內(nèi)形成網(wǎng)格。圖示為成網(wǎng)

4、格。圖示為3節(jié)點三角形環(huán)狀單元。節(jié)點三角形環(huán)狀單元。 ikjijk軸對稱問題應(yīng)力和應(yīng)變分量應(yīng)力和應(yīng)變分量左圖給出了軸對稱旋轉(zhuǎn)體左圖給出了軸對稱旋轉(zhuǎn)體問題中的應(yīng)力和應(yīng)變分量。問題中的應(yīng)力和應(yīng)變分量。令旋轉(zhuǎn)軸為令旋轉(zhuǎn)軸為z、徑向軸為、徑向軸為r、環(huán)向坐標為環(huán)向坐標為。沿軸。沿軸z和軸和軸r的位移分量為的位移分量為u和和v，它們，它們都是坐標都是坐標r、z的函數(shù)。在軸的函數(shù)。在軸對稱情況下，任一徑向位對稱情況下，任一徑向位移都會引起周向應(yīng)變，所移都會引起周向應(yīng)變，所以必須考慮周向應(yīng)變和應(yīng)以必須考慮周向應(yīng)變和應(yīng)力分量。力分量。軸對稱問題幾何方程和平衡方程幾何方程和平衡方程應(yīng)變位移關(guān)系為應(yīng)變位移關(guān)系為軸

5、對稱問題平衡方程平衡方程應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系為應(yīng)變應(yīng)力關(guān)系為位移模式和形函數(shù)計算前首先要在一個對稱面上進行有限元的離散化處理，采用計算前首先要在一個對稱面上進行有限元的離散化處理，采用的單元在對稱面上為三角形，分割的原則與平面問題基本類似。的單元在對稱面上為三角形，分割的原則與平面問題基本類似。 與平面問題類似，對于三角形單元只能取線性位移模式，因此與平面問題類似，對于三角形單元只能取線性位移模式，因此單元內(nèi)任一點的位移可被近似地用其節(jié)點值表示成單元內(nèi)任一點的位移可被近似地用其節(jié)點值表示成 形函數(shù)的值仍然按下式計算：形函數(shù)的值仍然按下式計算： 應(yīng)變的離散將位移表達式代入幾何方程：將位移表達式代入幾何方

6、程： B B矩陣構(gòu)成如下：矩陣構(gòu)成如下： 注意：由注意：由B矩陣可知有環(huán)矩陣可知有環(huán)向應(yīng)變是不為常量的，向應(yīng)變是不為常量的，其值與單元中點其值與單元中點(r, z)的的位置有關(guān)。位置有關(guān)。，應(yīng)力的離散將應(yīng)變表達式代入平衡方程：將應(yīng)變表達式代入平衡方程： 由于由于D D矩陣為矩陣為 環(huán)向應(yīng)變不為常量，則應(yīng)環(huán)向應(yīng)變不為常量，則應(yīng)力中除了剪應(yīng)力為常量外力中除了剪應(yīng)力為常量外其余的也均不為常量。其余的也均不為常量。，單元剛度矩陣根據(jù)單元剛度矩陣的普遍形式，可知：根據(jù)單元剛度矩陣的普遍形式，可知： 將將B B的表達式代入上式是可以求得解析解的，這部分內(nèi)容將在的表達式代入上式是可以求得解析解的，這部分內(nèi)容

7、將在等參元中學(xué)習(xí)，這里我們介紹一種簡化方法：等參元中學(xué)習(xí)，這里我們介紹一種簡化方法： ，把單元中隨點而變化的把單元中隨點而變化的r、z用形心處的坐標近似用形心處的坐標近似總體剛度矩陣關(guān)于總體剛度矩陣的組裝和存儲，與一般的平面問題無不同之關(guān)于總體剛度矩陣的組裝和存儲，與一般的平面問題無不同之處，此處不再詳述。處，此處不再詳述。 ，載荷的處理對于集中的節(jié)點載荷，處理方式并無特殊之處。對于集中的節(jié)點載荷，處理方式并無特殊之處。 ，對于均布荷載，處理方式如下：對于均布荷載，處理方式如下： i-j上任一點的法向面力上任一點的法向面力q在在r向和向和z向的分量為向的分量為 由于這個三角形事實上是一個三角由

8、于這個三角形事實上是一個三角環(huán)，所以經(jīng)過插值，積分后得環(huán)，所以經(jīng)過插值，積分后得 ：載荷的處理，對于溫度荷載，處理方式如下：對于溫度荷載，處理方式如下： 初應(yīng)變引起的等效節(jié)點載荷為初應(yīng)變引起的等效節(jié)點載荷為 由于溫度的變化，體內(nèi)將產(chǎn)生熱應(yīng)變，可被作為初應(yīng)變來處由于溫度的變化，體內(nèi)將產(chǎn)生熱應(yīng)變，可被作為初應(yīng)變來處理。假如溫度改變?yōu)槔?。假如溫度改變?yōu)門 T，產(chǎn)生的熱應(yīng)變是，產(chǎn)生的熱應(yīng)變是 為避免復(fù)雜的解析解計算仍采取單剛矩陣計算時的簡化為避免復(fù)雜的解析解計算仍采取單剛矩陣計算時的簡化 載荷的處理，對于離心力荷載，處理方式如下：對于離心力荷載，處理方式如下： 等效節(jié)點載荷為等效節(jié)點載荷為 若繞若繞z

9、軸的角速度為軸的角速度為 ，則單元，則單元 ijk 的離心力載荷的離心力載荷 為材料的質(zhì)量密度，角速度為為材料的質(zhì)量密度，角速度為 ，與轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)速n的關(guān)系為的關(guān)系為 邊界約束的處理，對于邊界約束，處理方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。對于邊界約束，處理方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。 值得注意的：對稱軸上的節(jié)點在值得注意的：對稱軸上的節(jié)點在z方向應(yīng)受到約束方向應(yīng)受到約束 。方程的求解，對于方程，求解方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。對于方程，求解方式與平面問題有限元沒有區(qū)別。 結(jié)果的分析，軸對稱體在考慮溫度影響時，單元內(nèi)任一點的應(yīng)力為：軸對稱體在考慮溫度影響時，單元內(nèi)任一點的應(yīng)力為：軸對稱單元體內(nèi)的應(yīng)力

10、在一般情況下并非常應(yīng)力，如果用單元形軸對稱單元體內(nèi)的應(yīng)力在一般情況下并非常應(yīng)力，如果用單元形心坐標代替單元中任一點的坐標，則可近似地將三角形單元視為心坐標代替單元中任一點的坐標，則可近似地將三角形單元視為常應(yīng)力單元。常應(yīng)力單元。 值得注意的：軸對稱問題是可以簡化為平面問題的，但事實值得注意的：軸對稱問題是可以簡化為平面問題的，但事實上仍處于三向受力狀態(tài)，其環(huán)向上切應(yīng)力為零，所以環(huán)向必上仍處于三向受力狀態(tài)，其環(huán)向上切應(yīng)力為零，所以環(huán)向必為一應(yīng)力主方向，一般令：為一應(yīng)力主方向，一般令：對稱面上，二個主應(yīng)力及其方向可以和平面應(yīng)變分析情形類對稱面上，二個主應(yīng)力及其方向可以和平面應(yīng)變分析情形類似地確定。似地確定。 人有了知識，就會