第七章定積分的應(yīng)用2ppt課件

1、7.5 廣義積分廣義積分前面討論的定積分前面討論的定積分的的存存在在必必須須滿滿足足： badxxf)(1)積分區(qū)間積分區(qū)間a, b是一個有限區(qū)間是一個有限區(qū)間,(2)被積函數(shù)被積函數(shù)f(x)在在a, b上是一個有界函數(shù)上是一個有界函數(shù).現(xiàn)在把積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間現(xiàn)在把積分區(qū)間推廣到無窮區(qū)間, 把被積函數(shù)推廣為把被積函數(shù)推廣為積分區(qū)間內(nèi)的無界函數(shù)積分區(qū)間內(nèi)的無界函數(shù), 推廣后的積分稱為廣義積分推廣后的積分稱為廣義積分, (或反常積分或反常積分), 而將定積分稱為常義積分。而將定積分稱為常義積分。7.5.1 廣義積分問題的產(chǎn)生廣義積分問題的產(chǎn)生例例1. 在在x軸的坐標原點處放置一電量為軸的坐標

2、原點處放置一電量為q的正電荷的正電荷,在它產(chǎn)在它產(chǎn)生的電場的作用下生的電場的作用下, 一單位正電荷從點一單位正電荷從點A(x=a, 單位單位m)沿沿x軸正向移動到無窮遠時軸正向移動到無窮遠時, 求電場力所作的功求電場力所作的功, 此功在電學(xué)此功在電學(xué)中稱為點中稱為點A的電位的電位.),11()(2bakqdxxkqbWba dxxkqbWWbabb 2lim)(lim.)11(limakqbakqb O A(a) b x q例例2. 如何求曲線如何求曲線解解: 2xey .lim202dxeAbxb 21xy dxxAbb 121lim與與x軸所夾的帶狀圖形的面積軸所夾的帶狀圖形的面積A?例例

3、3. 如何求曲線如何求曲線 與直線與直線x=1, y=0所圍的無界圖形的面積所圍的無界圖形的面積A?bbx1| )1(lim . 1)11(lim bb例例4. 如何求曲線如何求曲線解解: 注意到被積函數(shù)注意到被積函數(shù)xy1 xxf1)( . 212lim1lim,010 ）（故故 dxxA與直線與直線x=0, x=1, y=0所圍的無界圖形的面積所圍的無界圖形的面積A?在在(0, 1上是無界的上是無界的,7.5.2 無窮區(qū)間上的廣義積分無窮區(qū)間上的廣義積分定義定義 (1) 設(shè)設(shè)f(x)是是a, +)上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 稱稱dxxfdxxfbabdefa )(lim)(,)(lim存存

4、在在如如果果極極限限dxxfbab 收收斂斂； adxxf)(.)(發(fā)發(fā)散散 adxxf為為f(x)在在a, + )上的廣義積分上的廣義積分, 那么那么, 稱廣義積稱廣義積分分 否則否則, 稱廣義積分稱廣義積分(2) 設(shè)設(shè)f(x)是是(, b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 稱稱為為f(x)在在(, b上的廣義積分上的廣義積分, .)(lim)(dxxfdxxfbaadefb ,)(lim存在存在如果極限如果極限dxxfbaa .)(收斂收斂則稱廣義積分則稱廣義積分 bdxxf.)(發(fā)發(fā)散散否否則則稱稱廣廣義義積積分分 bdxxf(3) 設(shè)設(shè)f(x)是是(, +)上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), c 是任

5、一實數(shù)是任一實數(shù), 稱稱為為f(x)在在(, + )上的廣義積分上的廣義積分, ccdefdxxfdxxfdxxf)()()(,)(收斂收斂 dxxf.)(發(fā)發(fā)散散 dxxf,)(,)(都收斂都收斂 ccdxxfdxxf如果廣義積分如果廣義積分 那么那么, 稱廣義積分稱廣義積分 否則否則, 稱廣義積分稱廣義積分例例5. 計算計算 解解: dxxx1sin122 dxxxdxxxbb1sin1lim1sin12222 bbx 2|1coslim ),(lim)(),(lim)(xFFxFFxx 記記)()(lim)(aFbFdxxfab 則則，.| )()(,| )()(, xFdxxfxFdx

6、xfbb同同樣樣有有若若F(x)是是f(x)在積分區(qū)間上的原函數(shù)在積分區(qū)間上的原函數(shù), 記記,| )()()( axFaFF. 11coslim bb例例6. 計算計算 解解: .ln2 xxdx.|ln|ln2 x 2ln xxdx例例7. 證明證明: 廣義積分廣義積分解解: 當當p=1時時, 1pxdx,|ln111 xxdxxdxp,11|11111 pxpxdxpp,|11111 ppxpxdx,11 p當當p1時收斂時收斂, 當當p1時發(fā)時發(fā)散散.而當而當p1時時, 廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散,當當p1時時, 廣義積分收斂廣義積分收斂,故故, 當當p1時時, 廣義積分收斂于廣義積分收斂

7、于: 廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散,而當而當p1時時, 廣義積分發(fā)散廣義積分發(fā)散.例例8. 計算計算解解:.12 xdx,11100222 xdxxdxxdx 002|arctan1xxdx而而，,202|arctan1002 xxdx.221,2 xdx故故，這這里里 022121,xdxxdx . 0)(:,)(dxxfxf不不能能得得出出是是奇奇函函數(shù)數(shù)注注意意：若若,2)2(0 ,)(0收收斂斂時時當當 dxxf . 0)(:dxxf才才有有例例9. 計算計算解解:.arctan12dxxx 1121arctanarctanxxddxxx 121111|arctan1dxxxxxdxxxx

8、 12)11()40( 12)1ln(21|ln4xx .21ln4|1|ln412 xx例例10. 計算計算 解：解：).0(,0 pdttept 001ptpttdepdttedteptepptpt 001|1 02|1)00(ptep.1)10(22pp 定理定理1 設(shè)設(shè)f(x)在在a, +)上連續(xù)上連續(xù), 若若x=(t)滿滿足足:那那么么, ,)(lim)0( tt .)()()( adtttfdxxf x=(t) 在在, )上嚴格單上嚴格單調(diào)調(diào),(2)(t)在在, )上連續(xù)上連續(xù),(3)()=a, 例例11. 計算計算解解:.)(22322 aaxdx aaxdx22322)(,故故

9、,3,2,sec taxtax時時當當令令dttta 2322sincos1 ,2, tx時時當當dttatta 2333tantansec .332|sin112232ata 例例12. 求極限求極限 解解: xxdtttxx 11lim dttttttxx1lim,1, 0而而用用洛洛必必達達法法則則得得：型型故故原原極極限限是是, .32231lim1lim211 xxxxxdtttxxx例例13. 解：解：),1(0 , 0| ),(: aayxyxDx無無界界區(qū)區(qū)域域試試證證明明,ln|,ln0ayaayxx ,ln1:)1, 0(xay 的的切切線線過過點點,ln21,ln1, 0

10、1aAaxyx 故故軸軸交交點點：與與,ln1|ln0021aaadxaAAxx .ln21,21aAA 故故.)1 , 0(等等的的兩兩部部分分點點處處的的切切線線分分成成面面積積相相在在被被曲曲線線xay 例例14. 證明證明:解：解：.11,1110404204dxxdxxxdxx 并并求求則則令令)0( ,1 ttx 02404)1()1(1111dtttdxx.1224111211104204204dxxxdxxxdxx dxxxxx 022)121121(41.42)22(2arctan2)22(2arctan2410 xx.11042042dxxxdttt 7.5.3 無界函數(shù)的

11、廣義積分無界函數(shù)的廣義積分定義定義 (1) 設(shè)設(shè)f(x)是是(a, b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 且且x=a是奇點是奇點, 稱稱dxxfdxxfbadefba )(lim)(0,)(lim0存存在在如如果果極極限限dxxfba .)(收收斂斂 badxxf.)(發(fā)散發(fā)散 badxxf為為f(x)在在(a, b上的廣義積分上的廣義積分, 那么那么, 稱廣義積分稱廣義積分否則否則, 稱廣義積分稱廣義積分(2) 設(shè)設(shè)f(x)是是a, b)上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 且且x=b是奇點是奇點, 稱稱為為f(x)在在a, b)上的廣義積分上的廣義積分. .)(lim)(0dxxfdxxfbadefba ,

12、)(lim0存存在在如如果果極極限限dxxfba .)(收斂收斂 badxxf那么那么, 稱廣義積分稱廣義積分否則否則, 稱廣義積分稱廣義積分 .)(發(fā)散發(fā)散 badxxf(3) 設(shè)設(shè)f(x)是是a, c)(c,b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 且且x=c是奇點是奇點, 稱稱為為f(x)在在a, b上的廣義積分上的廣義積分. bccadefbadxxfdxxfdxxf)()()(,)()(均均收收斂斂和和如如果果 bccadxxfdxxf,)(收收斂斂 badxxf.)(發(fā)發(fā)散散 badxxf bccadxxfdxxf )(lim)(lim00那么那么, 稱廣義積分稱廣義積分否則否則, 稱廣義積分

13、稱廣義積分例例1. 計算計算解解: .4202 xdx,41lim22 xx 20202024lim4xdxxdx)22arcsin(lim|2arcsinlim0200 x.2 ,41)(22的奇點的奇點是是xxfx 例例2. 討論廣義積分討論廣義積分解解: baqaxdx)(,)(1的的奇奇點點）（是是qaxxfax babaqaxdxaxdxq)(1時時，當當,1時時當當 qbaqbaqaxqaxdx |)(11)(1,10,廣義積分收斂廣義積分收斂時時當當故故 q.,1廣廣義義積積分分發(fā)發(fā)散散時時當當 q的斂散性的斂散性(q0, ba).,| )ln( baax 1,1,1)(1qqq

14、abq當當當當例例3. 計算計算 解解: .|23212 xxdx內(nèi)部的一個奇點，內(nèi)部的一個奇點，是被積函數(shù)在積分區(qū)間是被積函數(shù)在積分區(qū)間1 x 2312121223212|xxdxxxdxxxdx 1212|xxdx而，而，,2| )12arcsin(121 x 1212xxdx 1212)21(41xdx又又,= 23122312|xxdxxxdx2312| 41)21(21ln xx),32ln(21ln)231ln( 231241)21(xdx).32ln(2|23212 xxdx故故例例4. 計算計算解解:.ln10 xdx上的唯一的奇點，上的唯一的奇點，是被積函數(shù)在是被積函數(shù)在1,

15、 00 x 1010101|lnlndxxxxxxdx. 1010 dx定理定理2 設(shè)設(shè)x=b是是f(x)在在a, b)上的一個奇點上的一個奇點, 那那么么,)(limbtt .)()()( badtttfdxxf 且且f(x)在在a, b)上連續(xù)上連續(xù), 若若x=(t)滿足滿足:(1)x=(t) 在在, )上嚴格單上嚴格單調(diào)調(diào),(2)(t)在在, )上連續(xù)上連續(xù),(3)()=a, (0)=例例5. 計算計算解解: x=a, x=b是被積函數(shù)的奇點，是被積函數(shù)的奇點， baxbaxdx)(,sin)(2tabax 令令,cos)()()(2tabaxabxb 則則， 20cossin)(cos

16、sin)(2)( ttabtdttababaxdxba, 0, tax時時且且當當tdttabdxcossin)(2 .220 dt,2, tbx時時當當作業(yè)作業(yè), P409 習題習題7.5A1.(1), (4), (6), (8); 2.(1), (2), (3), (7); 7.5.4 函數(shù)函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù),dxextxt 01)(,001收斂收斂廣義積分廣義積分時時當當dxextxt ,001發(fā)發(fā)散散廣廣義義積積分分時時當當dxextxt )., 0( 函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域為為：故故. 1|)1(00 xxedxe顯顯然然，性質(zhì)性質(zhì)1 證明：證明： ).1()1()(,1 tttt時時當當xtxtdexdxext 0101)(dxxteextxxt201)1(|(0 ).1()1()1(01)1( ttdxextxt.sin)1()(ttt :2,21得得由由性性質(zhì)質(zhì)取取 t