同濟(jì)大學(xué)第六高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1同濟(jì)大學(xué)同濟(jì)大學(xué)(tn j d xu)第六高等數(shù)學(xué)第六高等數(shù)學(xué) 第一頁(yè)，共28頁(yè)。2連續(xù)(linx),2. 連續(xù)(linx)的定義,0 xxx 設(shè)設(shè)),()(0 xfxfy 0 x定義(dngy)1設(shè)函數(shù) f (x)在)(0 xU 內(nèi)有定義,0lim0 yx若則稱函數(shù)f(x)在x0處并稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn).,0 xx 即為即為0 y).()(0 xfxf即為即為定義2若),()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)f(x)在x0處連續(xù). 把極限與連續(xù)性聯(lián)系起來(lái)了,且提供了連續(xù)函數(shù)求極限的簡(jiǎn)便方法只需求出該點(diǎn)函數(shù)特定值. 自變量在x0點(diǎn)的增量為無(wú)窮小時(shí),函數(shù)的增量也為無(wú)窮小.形象地

2、表示了連續(xù)性的特征.采用了無(wú)窮小定義法充分必要條件 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第2頁(yè)/共28頁(yè)第二頁(yè)，共28頁(yè)。3連續(xù)性的三種(sn zhn)定義形式不同,這三種(sn zhn)定義中都含有但本質(zhì)(bnzh)相同.f (x)在)(0 xU 內(nèi)有定義;(1)(lim0 xfxx(2)(lim0 xfxx(3)(0 xf 三個(gè)要素:)( , 0 定義3,0時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng) xx, 0 .)()(0 xfxf恒恒有有 把極限定義嚴(yán)密化,便于分析論證.存在;第3頁(yè)/共28頁(yè)第三頁(yè)，共28頁(yè)。4例.),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)證明證明 xy證),( x任取任取 y)2cos(2sin2xxx 1)

3、2cos( xx ),(sin xxy對(duì)對(duì)任任意意函函數(shù)數(shù)即即內(nèi)內(nèi)在區(qū)間在區(qū)間函數(shù)函數(shù)),(cos xy)sin(xx xsin 都是連續(xù)(linx)的.類似(li s)可證,是連續(xù)(linx)的.0lim0 yx122 x x 0 x 即0lim0 yx 022sinxx 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第4頁(yè)/共28頁(yè)第四頁(yè)，共28頁(yè)。5例0, 0, 0, 0,1sin)( xxxxxxf在在證 xxx1sinlim0, 0)0( f又又定義(dngy)2.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf),0()(lim0fxfx )(lim0 xfxx)(0 xf , 0試證函數(shù)(hnsh)處連續(xù)(linx

4、). 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第5頁(yè)/共28頁(yè)第五頁(yè)，共28頁(yè)。63. 左、右連續(xù)(linx)()(lim000 xfxfxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf)()(lim000 xfxfxx 若若處處在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱0)(xxf ,)()0(00 xfxf ,)()0(00 xfxf 左連續(xù)(linx)(continuity from the右連續(xù)(linx)(continuity from theleft);right).0 x左連續(xù)0 x右連續(xù)xyOxyO第6頁(yè)/共28頁(yè)第六頁(yè)，共28頁(yè)。7定理(dngl)1處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xxf處既左連續(xù)處既左連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)0)(xx

5、f 此定理(dngl)常用于判定分段函數(shù)在分段點(diǎn).又又右右連連續(xù)續(xù) )()0()0(000 xfxfxf 處的連續(xù)性. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第7頁(yè)/共28頁(yè)第七頁(yè)，共28頁(yè)。8例 , 1, 1, 1,)(2xxxxxf討論函數(shù)討論函數(shù)解)(lim1xfx 2 ),1(f )(lim1xfx ),1(f 右不連續(xù)(linx).1)(處不連續(xù)處不連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)故函數(shù)故函數(shù) xxf)1(lim1 xx1lim21 xx1)( xxf在在所以(suy)左連續(xù)(linx),1 x在在.1處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在 xxyO1 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第8頁(yè)/共28頁(yè)第八頁(yè)，共28頁(yè)。94. 連續(xù)(linx)函數(shù)

6、(continous function)與連續(xù)(linx)區(qū)間上的或稱函數(shù)(hnsh)在該區(qū)間上連續(xù). 在區(qū)間上每一點(diǎn)(y din)都連續(xù)的函數(shù),稱該區(qū)間在開區(qū)間),(ba右連續(xù) )(lim(xfax )(lim(xfbx左端點(diǎn)ax 右端點(diǎn)bx ,)(baCxf 這時(shí)也稱該區(qū)間為continuous左連續(xù)連續(xù)函數(shù),連續(xù)區(qū)間.),()(baCxf )(af)(bf內(nèi)連續(xù))(xf第9頁(yè)/共28頁(yè)第九頁(yè)，共28頁(yè)。10定理(dngl)2, 0)(,)(00 xfxxf且且連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)0 x則則存存在在 )(xf的一個(gè)(y )鄰域,使得(sh de)在此鄰域內(nèi)是一條無(wú)縫隙的連綿而不斷的曲線.連續(xù)函

7、數(shù)的圖形. 02)(0 xfxyO0 x)(0 xf2)(0 xf 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第10頁(yè)/共28頁(yè)第十頁(yè)，共28頁(yè)。11例如(lr),有理(yul)整函數(shù)(多項(xiàng)式)內(nèi)是連續(xù)(linx)的.因此有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)有理分式函數(shù), ),(0 xnnxaxaaxP 10)(),( )()(lim00 xPxPxx )()()(xQxPxR 只要,0)(0 xQ都有)()(lim00 xRxRxx 因此有理整函數(shù)在都是連續(xù)的.第五節(jié)中已證 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第11頁(yè)/共28頁(yè)第十一頁(yè)，共28頁(yè)。12定義(dngy)4處處在在若若0)(xxf出現(xiàn)如下三種(sn zhn)情形之一:處

8、處在點(diǎn)在點(diǎn)0)()1(xxf)(lim)2(0 xfxx)(lim)3(0 xfxx的的為為則稱則稱)(0 xfx二、函數(shù)(hnsh)的間斷點(diǎn)及其分類無(wú)定義;不存在;).(0 xf 間斷點(diǎn). 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第12頁(yè)/共28頁(yè)第十二頁(yè)，共28頁(yè)。13間斷(jindun)點(diǎn)分為兩類:第二類間斷(jindun)點(diǎn)(discontinuity point of the second kind):第一類間斷(jindun)點(diǎn)(discontinuity point of the first kind):)0(0 xf及)0(0 xf均存在,及中至少一個(gè)不存在.)0(0 xf)0(0 xf)0(0

9、xf若, )0(0 xf稱 為可去間斷點(diǎn).0 x)0(0 xf若稱 為跳躍間斷點(diǎn).0 x若其中有一個(gè)為振蕩,若其中有一個(gè)為, 稱 為無(wú)窮間斷點(diǎn).0 x稱 為振蕩間斷點(diǎn).0 x0(0 ) ,f x第13頁(yè)/共28頁(yè)第十三頁(yè)，共28頁(yè)。14可能(knng)是連續(xù)點(diǎn), 初等(chdng)函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn).分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能(knng)是間斷點(diǎn),也需要判定. 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第14頁(yè)/共28頁(yè)第十四頁(yè)，共28頁(yè)。15例,1)(xxf 函數(shù)函數(shù)xxf1)( 由于(yuy)函數(shù)處處在在0)( xxf無(wú)定義(dngy),)(0處無(wú)定義處無(wú)定義在點(diǎn)在點(diǎn)xxf.)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱則稱

10、xfx0 x故為f(x)的 間斷(jindun)點(diǎn).)(lim0 xfx )(lim0 xfx 且皆不存在.第二類第二類間斷點(diǎn):),0(0 xf)0(0 xf至少有之之中中有有若若)0(),0(00 xfxf.0稱為無(wú)窮型間斷點(diǎn)稱為無(wú)窮型間斷點(diǎn)則則xx 且是無(wú)窮型間斷點(diǎn).一個(gè)不存在., 一個(gè)為一個(gè)為, xyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第15頁(yè)/共28頁(yè)第十五頁(yè)，共28頁(yè)。16例 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxf函數(shù)函數(shù)處處在在0)( xxf有定義(dngy),xx1sinlim0不存在(cnzi),0 x故為f (x)的 間斷(jindun)點(diǎn).)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱則稱xfx,

11、)(lim0不存在不存在xfxx第二類且是無(wú)窮次振蕩型間斷點(diǎn).在在時(shí)時(shí)但當(dāng)?shù)?dāng)xx1sin,01 , 1 xy1sin 之間來(lái)回?zé)o窮次振蕩,xyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第16頁(yè)/共28頁(yè)第十六頁(yè)，共28頁(yè)。17例 , 0,1, 0,)(xxxxxf函數(shù)函數(shù)),00()00( ff處處在在0)( xxf有定義(dngy),0)(lim0 xx1)1(lim0 xx.)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱則稱xfx,)(lim0不存在不存在xfxx0 x故為f (x)的 間斷(jindun)點(diǎn).第一類的第一類間斷(jindun)點(diǎn).),0()0(00 xfxf但但則點(diǎn)x0為函數(shù) f(x) 的且是跳躍間斷點(diǎn)

12、.跳躍型間斷點(diǎn)(Jump discontinuity).)0(0 xf及)0(0 xf均存在,則點(diǎn)x0為)(xfxyO 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1第17頁(yè)/共28頁(yè)第十七頁(yè)，共28頁(yè)。18 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)例.1, 1,11, 10, 1,2)(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在在 xxxxxxxf討論(toln)函數(shù)解, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 1 x),()(lim00 xfxfxx .)(0的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)為為則稱則稱xfx為函數(shù)(hnsh)的 間斷點(diǎn).第一類 且是可去間斷(jindun)點(diǎn)(removable discontinuity).2)1( f ,

13、 1,1, 10,2)(xxxxxf則則連續(xù).1)1( f,)(0處處的的極極限限存存在在在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果xxf)()(lim00 xfxfxx 但但0)(xxf在點(diǎn)在點(diǎn)或或的的為函數(shù)為函數(shù)則稱點(diǎn)則稱點(diǎn))(0 xfx處無(wú)定義,可去間斷點(diǎn).xyO112xy2 xy 11x 在處第18頁(yè)/共28頁(yè)第十八頁(yè)，共28頁(yè)。19則可使x0變?yōu)檫B續(xù)(linx)點(diǎn).注對(duì)可去間斷(jindun)點(diǎn)x0,如果(rgu),)(lim0Axfxx 設(shè)設(shè)于A, (這就是為什么將這種間斷點(diǎn)稱為使之等可去間斷點(diǎn)的理由.)補(bǔ)充 x0的函數(shù)值,或改變 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第19頁(yè)/共28頁(yè)第十九頁(yè)，共28頁(yè)。20,1112處沒

14、有定義處沒有定義在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù) xxxy11lim21 xxx如補(bǔ)充(bchng)定義:, 2)1( f令令.1處處連連續(xù)續(xù)所所給給函函數(shù)數(shù)在在則則 x.1稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)所以所以 x.1,不連續(xù)不連續(xù)函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)所以所以 x如 21lim1 xx但xyO112 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第20頁(yè)/共28頁(yè)第二十頁(yè)，共28頁(yè)。21總結(jié)(zngji)兩類間斷點(diǎn):第一類間斷(jindun)點(diǎn):跳躍(tioyu)型,第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,可去型無(wú)窮次振蕩型極限與連續(xù)之間的關(guān)系: f(x)在x0點(diǎn)連續(xù) f(x)在x0點(diǎn)存在極限 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第21頁(yè)/共28頁(yè)第二十一頁(yè)，

15、共28頁(yè)。22,11)(1的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn)求函數(shù)求函數(shù)xxexf 解函數(shù)(hnsh)無(wú)定義,1, 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx是函數(shù)(hnsh)的間斷點(diǎn)., 0 x)(lim0 xfx由于xxex 111lim0, 所以0 x是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn),且是無(wú)窮型., 1 x由于)(limxfxxex 111lim10 )(limxfxxex 111lim11 所以1 x是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn),且是跳躍型.并指出其類型.0011 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1x1x第22頁(yè)/共28頁(yè)第二十二頁(yè)，共28頁(yè)。23設(shè) 01sin00sin)(xxxbxaxxxxf, 為何值時(shí)為何值時(shí)問(wèn)問(wèn)ba;)(lim)1(0存在存在xfx.

16、0)()2(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf解因?yàn)?yn wi)(lim0 xfx )(lim0 xfx 所以(suy)1(,)(lim0存在存在要要xfx必需且只需 )(lim0 xfx),(lim0 xfx 即1 b).( 可任取可任取a)2(,0)(處連續(xù)處連續(xù)在在要要 xxf必需且只需 )(lim0 xfx)(lim0 xfx ),0(f 即. 1 ba, 1 , b 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第23頁(yè)/共28頁(yè)第二十三頁(yè)，共28頁(yè)。24(見下圖)無(wú)窮(wqing)型,無(wú)窮(wqing)次振蕩型三、小結(jié)(xioji)1. 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的三個(gè)定義、必須滿足的2. 區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3. 函數(shù)間斷點(diǎn)的分類:間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):跳躍型,可去型第二類間斷點(diǎn): 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn) 三個(gè)條件;第24頁(yè)/共28頁(yè)第二十四頁(yè)，共28頁(yè)。25可去型第一類間斷(jindun)點(diǎn)跳躍(tioyu)型無(wú)窮(wqing)型無(wú)窮次振蕩型第二類間斷點(diǎn)xyO0 x0 xxyOxyOxyO0 x 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第25頁(yè)/共28頁(yè)第二十五頁(yè)，共28頁(yè)。26思考題,)(0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在若若xxf,| )(|0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在若若xxf?| )(|0點(diǎn)也連續(xù)點(diǎn)也連續(xù)