結(jié)構(gòu)力學(xué)-單自由度體系

1、單自由度體系建立振動(dòng)方程重重 點(diǎn)：建立方程點(diǎn)：建立方程難難 點(diǎn)：達(dá)朗貝原理建立方程點(diǎn)：達(dá)朗貝原理建立方程 柔度系數(shù)、剛度系數(shù)柔度系數(shù)、剛度系數(shù)單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng) 自由振動(dòng)自由振動(dòng)：體系在振動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)荷載的作用。：體系在振動(dòng)過(guò)程中沒(méi)有動(dòng)荷載的作用。靜平衡位置靜平衡位置m獲得初位移獲得初位移ym獲得初速度獲得初速度 y自由振動(dòng)產(chǎn)生原因自由振動(dòng)產(chǎn)生原因：體系在初始時(shí)刻（：體系在初始時(shí)刻（t=t=0 0）受到外界的干擾。受到外界的干擾。研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于：研究單自由度體系的自由振動(dòng)重要性在于：1 1、它代表了許多實(shí)際工程問(wèn)題，如水塔、單層廠房等。、它代表

2、了許多實(shí)際工程問(wèn)題，如水塔、單層廠房等。2 2、它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。、它是分析多自由度體系的基礎(chǔ)，包含了許多基本概念。自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。自由振動(dòng)反映了體系的固有動(dòng)力特性。應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程）應(yīng)用條件：微幅振動(dòng)（線性微分方程） P(t) y(t) EI1. 阻尼力阻尼力 稱為粘滯阻尼力，阻尼力與運(yùn)動(dòng)方向相反稱為粘滯阻尼力，阻尼力與運(yùn)動(dòng)方向相反 )(tyCFD一切引起振動(dòng)衰減的因素均稱為阻尼，包括一切引起振動(dòng)衰減的因素均稱為阻尼，包括: :材料的內(nèi)摩擦引起的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能消失材料的內(nèi)摩擦引起的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能消失周?chē)橘|(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的阻尼（如，

3、空氣的阻力）周?chē)橘|(zhì)對(duì)結(jié)構(gòu)的阻尼（如，空氣的阻力）節(jié)點(diǎn)，構(gòu)件與支座連接之間的摩擦阻力節(jié)點(diǎn)，構(gòu)件與支座連接之間的摩擦阻力通過(guò)基礎(chǔ)散失的能量通過(guò)基礎(chǔ)散失的能量 振動(dòng)方程的建立：振動(dòng)方程的建立：考慮圖示單質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)過(guò)程。桿考慮圖示單質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)過(guò)程。桿件的剛度為件的剛度為EI，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m, 時(shí)刻時(shí)刻 t 質(zhì)點(diǎn)的位移質(zhì)點(diǎn)的位移y(t) 阻尼器簡(jiǎn)介阻尼器簡(jiǎn)介位移感應(yīng)位移感應(yīng) 電流（電壓）變化電流（電壓）變化 液體粘性變化液體粘性變化 磁流變阻尼器磁流變阻尼器 P線圈 P普通油壓阻尼器普通油壓阻尼器 應(yīng)用實(shí)例應(yīng)用實(shí)例構(gòu)造說(shuō)明構(gòu)造說(shuō)明2. 彈性恢復(fù)力彈性恢復(fù)力 FE= - K y(t) ，K

4、為側(cè)移剛度系數(shù)，彈性恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反為側(cè)移剛度系數(shù)，彈性恢復(fù)力與運(yùn)動(dòng)方向相反 3慣性力慣性力 FI= ，為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度，慣性力與運(yùn)，為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)加速度，慣性力與運(yùn)動(dòng)方向相反動(dòng)方向相反 )(tym 4動(dòng)力荷載動(dòng)力荷載 P(t)，直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，它與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向相同，直接作用在質(zhì)點(diǎn)上，它與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向相同 5振動(dòng)方程的建立振動(dòng)方程的建立 FDFEFIP(t)mFD+ FE+ FI+ P(t) = 0 P(t) y(t) EI例題例題1:已知，阻尼系數(shù)為已知，阻尼系數(shù)為C3112aEIK aEIK42ADEFGCEI=mK1K1K2試建立體系的運(yùn)動(dòng)微分方程試建立體系的運(yùn)動(dòng)微分方程解：解：1）動(dòng)

5、力自由度為）動(dòng)力自由度為1， 設(shè)設(shè)E處的豎向位移是處的豎向位移是y(t) ADEFGCEI=mK1K1K2y(t)ADEFGCEI=mK1K1K2ADEFGCEI=mK1K1K2ADEFGCEI=mK1K1K2EFGxy(t)RK1y(t)/2dxm2)考慮考慮EFG部分的受力部分的受力 LtyKLR2)(210)2)(20 xLtxydxmL由由MG=0 得：得： ADEFGCEI=mK1K1K23）考慮）考慮ABDE部分的受力部分的受力 由由MA=0 得得 xC /3)(ty 2K1y(t)/3y(t)dxmADER0)3)(3)(3)(23)(233021 xxLtydxmLtyKLty

6、CLtyKLRL由以上兩式消去由以上兩式消去R后整理得后整理得 0)(79)()(1534tEIytyCLtymL m.yj.yd靜平衡位置質(zhì)量質(zhì)量m在任一時(shí)刻的位移在任一時(shí)刻的位移 y(t)=yj+ydk力學(xué)模型力學(xué)模型.ydmmWS(t)I(t)+重力：重力： W彈性力：彈性力： )()()(djyyktkytS恒與位移反向恒與位移反向慣性力：慣性力：)()()(djyymtymtI Wyykyymdjdj)()( (a)其中其中 kyj=W 及0jy 上式可以簡(jiǎn)化為上式可以簡(jiǎn)化為0ddkyym 或或).(.0bkyym 注意：注意：振動(dòng)方程中的振動(dòng)方程中的 僅僅是動(dòng)力作用下產(chǎn)生的，不包括

7、靜位移?？烧J(rèn)僅僅是動(dòng)力作用下產(chǎn)生的，不包括靜位移?？烧J(rèn)為為 是從靜平衡位置算起的。以后，我們也只計(jì)算是從靜平衡位置算起的。以后，我們也只計(jì)算動(dòng)位移動(dòng)位移 ty ty例題例題2 2 試建立圖示結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量試建立圖示結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量m , EI=m , EI=常數(shù)常數(shù) LLm tym tKym ty原理：任意時(shí)刻受力平衡原理：任意時(shí)刻受力平衡 0tKytym KK16i/L6i/L324LEIK K練習(xí)題練習(xí)題1解解:振動(dòng)模態(tài)振動(dòng)模態(tài)mEAmEILLL解解:振動(dòng)模態(tài)振動(dòng)模態(tài)mEAmEIBy(t)xdx022220 xLxydxmLyLEALymL 0BM建立振動(dòng)方程，阻尼建

8、立振動(dòng)方程，阻尼器的阻尼系數(shù)為器的阻尼系數(shù)為C C 練習(xí)題練習(xí)題2 EI1= mCPsint EIEI振動(dòng)模態(tài)振動(dòng)模態(tài) EI1= mLLCPsint EIEI EI1= mCPsint EIEI振動(dòng)模態(tài)振動(dòng)模態(tài)y(t)K1K324LEIK tPKyycymsin Li 6Li6Li6ym ycKytPsin例題例題3試建立圖示結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量都是試建立圖示結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量都是m , EI=常數(shù)常數(shù) LLPsint 質(zhì)點(diǎn)受力質(zhì)點(diǎn)受力：1. 慣性力，慣性力，2. 剛架的彈性恢復(fù)力，剛架的彈性恢復(fù)力，3. 動(dòng)荷載。動(dòng)荷載。1. 慣性力慣性力)(2tym 負(fù)號(hào)表示方向向左負(fù)號(hào)表示方

9、向向左建立方程的依據(jù)：質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻受力平衡建立方程的依據(jù)：質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻受力平衡2. 2. 剛架的彈性恢復(fù)力剛架的彈性恢復(fù)力意義：意義：質(zhì)點(diǎn)單位側(cè)移需施加的力質(zhì)點(diǎn)單位側(cè)移需施加的力-側(cè)移剛度側(cè)移剛度K11 K要求要求K, K, 就要取水平力的平衡就要取水平力的平衡y y 變形圖ABCDVBAVDCK因而，就要確定因而，就要確定2 2個(gè)柱的剪力，這就個(gè)柱的剪力，這就要作出結(jié)構(gòu)在側(cè)移為要作出結(jié)構(gòu)在側(cè)移為1 1 時(shí)的彎矩圖。時(shí)的彎矩圖。支座水平移動(dòng)單位位移下支座水平移動(dòng)單位位移下引起的柱間剪力引起的柱間剪力 = K/2= K/2k/21等價(jià)問(wèn)題等價(jià)問(wèn)題1K問(wèn)題問(wèn)題=1取半結(jié)構(gòu)取半結(jié)構(gòu)即，即，“支座

10、移動(dòng)支座移動(dòng)”結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算問(wèn)結(jié)構(gòu)內(nèi)力的計(jì)算問(wèn)題題1R6i/L6i/L4i2i6ir等價(jià)問(wèn)題等價(jià)問(wèn)題1位移法方程：位移法方程：r11+ R = 0 ，解得，解得 LB53VBAK/23584LEIK 24i/5L18i/5LM圖11R6i/L6i/L4i2i6ir柔度法求柔度法求 K 1 求剛架在求剛架在P=1下產(chǎn)生的位移，再取倒數(shù)下產(chǎn)生的位移，再取倒數(shù)1/2用力法作出彎矩圖 4L/143L/14P=1LEIL8453EILK845133. 振動(dòng)方程振動(dòng)方程 tPtyLEItymsin)(584)(23 Psint LLL/2L/2例題例題4 : EI =常數(shù)，質(zhì)點(diǎn)常數(shù)，質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為質(zhì)量為m,建

11、立結(jié)構(gòu)的振建立結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程動(dòng)方程 解：一、用柔度法解：一、用柔度法 依據(jù)依據(jù)：質(zhì)點(diǎn)位移：質(zhì)點(diǎn)位移 y(t)，由質(zhì)點(diǎn)慣性，由質(zhì)點(diǎn)慣性力與動(dòng)力荷載共同產(chǎn)生。力與動(dòng)力荷載共同產(chǎn)生。1. 求慣性力為求慣性力為1時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位移1 P=1問(wèn)題問(wèn)題求位移的方法：求位移的方法：用位移法求位移用位移法求位移1. 用變形體系虛功原理用變形體系虛功原理 21sintPtymty y(t) Psint 用位移法求位移用位移法求位移 MP圖 1M2MR1P R2P 1 r11 r21 r12 r22R1P=0, R2P= -1 , r11=10 i , r21= r12= 3i/L r22=18i/L2 解

12、位移法方程得：解位移法方程得：1=10L3/171EI 2. 求動(dòng)力荷載為求動(dòng)力荷載為1時(shí)在質(zhì)點(diǎn)處產(chǎn)生的位移時(shí)在質(zhì)點(diǎn)處產(chǎn)生的位移21MP圖 1M2MR1P R2P 1 r11 r21 r12 r22用位移法用位移法解位移法方程得：解位移法方程得：2= 37L3/1368EI 3. 質(zhì)點(diǎn)慣性力與動(dòng)力荷載共同產(chǎn)生的位移質(zhì)點(diǎn)慣性力與動(dòng)力荷載共同產(chǎn)生的位移 y(t) 為：為： 21sintPtymty mtPtymLEIty80sin37101173 二、用剛度法二、用剛度法Psint LLL/2L/2建立方程的依據(jù)：建立方程的依據(jù)：時(shí)刻時(shí)刻t t 結(jié)構(gòu)體系受力平衡結(jié)構(gòu)體系受力平衡注意：動(dòng)荷載不作用在

13、質(zhì)點(diǎn)上，注意：動(dòng)荷載不作用在質(zhì)點(diǎn)上，怎么考慮受力平衡？怎么考慮受力平衡？方法一、方法一、1M2MR2P MP圖 R1P Psint r11 r21 r12 r22R1P= -PLsint/8 , R2P= - Psint/2 , r11=10 i , r21= r12= 3i/Lr22=18i/L2 ym VAEVACVBDM圖圖 R1P ABCDER1P= -PLsint/8 , R2P= - Psint/2 +my/, r11=10 i , r21= r12= 3i/L，r22=18i/L2 消去附加約束，再考慮慣性力。當(dāng)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為消去附加約束，再考慮慣性力。當(dāng)結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角為，水平，水平位移為

14、位移為y y（t t）時(shí)）時(shí)MP圖 1M2MR1P R2P Psint r11 r21 r12 r22方法二、方法二、FI 02sin08sin22211211tPtymtyrrtPLtyrr mtPtymLEIty80sin37101173 MP圖 1M2MR1P R2P Psint r11 r21 r12 r22FI單自由度振動(dòng)模型單自由度振動(dòng)模型 tPmKC小結(jié)：小結(jié)：練習(xí)題練習(xí)題3LLmEILLmEIym kyK 為梁提供的彈性恢復(fù)力系數(shù)為梁提供的彈性恢復(fù)力系數(shù)-剛度系數(shù)剛度系數(shù)振動(dòng)方程：振動(dòng)方程：0 kyym K1K的意義K1KRLi 6Li 6LiR6rir5i 4i 2iKV左V右065LiiL56Li 5/18Li 5/63524LEIK LLmEIEAEIEAEI共同形式的振動(dòng)方程：共同形式的振動(dòng)方程：0 kyym EAEILLmEIEAEI桿長(zhǎng)都是L三