北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.2矩形的性質(zhì)和判定課堂講義和練習(xí)(含答案)

1、北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.2矩形的性質(zhì)和判定課堂講義和練習(xí)（含答案）1.2矩形的性質(zhì)和判定【矩形的性質(zhì)】1.矩形的定義有一個(gè)角是直角的平彳T四邊形叫做矩形.溫馨提示對(duì)于矩形的定義要注意兩點(diǎn)a.是平行四邊形.b.有一個(gè)角是直角；定義說(shuō)有一個(gè)角是直角的平行四邊形才是矩形，不要錯(cuò)誤地理解為有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；矩形的定義既是矩形的性質(zhì)，也提供了矩形的種判定方法。|2. 矩1F）形的性質(zhì)|7!（1）矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì).|（2）矩形的四個(gè)角都是直角 .|（3）矩形的對(duì)角線相等.|“（4）矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸，對(duì)角線所在直線就是它的對(duì)稱軸 .矩形又是中心對(duì)稱圖形，對(duì)角線的交點(diǎn)

2、為對(duì)稱中心，過(guò)中心的任意直線可將矩形分成完全全等的兩部分.矩形中相等的線段： AC=BD OA = OC=OB = OD.矩形中相等的角：/ ABC = / BCD = / CDA = / DAB = 90 .矩形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：“三ACOD全等的直角三角形有：TCRTCDRTCDARTDAB點(diǎn)撥：有關(guān)矩形問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為直角三角形或等腰三角形的問(wèn)題來(lái)解決（轉(zhuǎn)化思想）.溫馨提示：矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 利用矩形的性質(zhì)可以推出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，即：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半；“矩形的四個(gè)角都是直角”這一性質(zhì)可用來(lái)證兩條線段互相垂直或角相等，“矩形的

3、對(duì)角線相等”這一性質(zhì)可用來(lái)證線段相等；矩形的兩條對(duì)角線分矩形為面積相等的四個(gè)等腰三角形。|AD【練習(xí)】|1 .如圖，在矩形 ABCD, E是BC邊的中點(diǎn)，且 AE平分/ BAD CE= 2,貝U CD的長(zhǎng)是（）、1匚A. 2 B . 3 C . 4 D.522.如圖，在矩形 ABCD, AB= 2BG在CD上取一點(diǎn)E,使AE= AB,則/ EBC的度數(shù)是（）A. 30。B . 22.5 C . 15。D . 10。1 / 15北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.2矩形的性質(zhì)和判定課堂講義和練習(xí)(含答案)3.如圖，在矩形 ABCM,點(diǎn)。在邊AB上，/ AOC= / BOD求證：A0= BO.4 / 154

4、.5.A.6.第4題第5題第6題第7題cm.在矩形ABCM,對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn) 0, E, F分別是AQ AD的中點(diǎn)，若AB= 6 cm, BC= 8 cm,則EF= ABC中，/ ACB= 90 , / B= 55 , D是斜邊AB的中點(diǎn)，那么/ ACD的度數(shù)為（）15 B . 25 C , 35 D , 45已知矩形ABCD占著直線BD折疊，使點(diǎn) C落在點(diǎn)C處，BC交AD于點(diǎn)E, AD= 8, AB= 4,則DE的長(zhǎng)為（A. 3 B.4 C.5 D.67 .在矩形ABCM, E, F分別是AB, CD的中點(diǎn)，連接 DE BF,分另取DE, BF的中點(diǎn)M N,連接AM CN MN若A

5、B= 5, BC= 8,則圖中陰影部分的面積為 ()A. 5 B . 8 C . 13 D . 208 .如圖，已知 ABC ABD勻?yàn)橹苯侨切?，其? ACB= Z ADB= 90 , E為AB的中點(diǎn).求證： CE= DE.9 .如圖，在矩形 ABCDK連接對(duì)角線 AC, BD,將 ABC沿BC方向平移，使點(diǎn) B移到點(diǎn)C,得到 DCE.求證： AC里 EDC(2)請(qǐng)?zhí)骄?BDE的形狀，并說(shuō)明理由.【矩形的判定】1 .矩形的判定定理(1)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形 .(2)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。(3)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.2矩形的性質(zhì)和判定課堂講

6、義和練習(xí)（含答案）溫馨提示若易證是平行四邊形，則再證角為直角或?qū)蔷€相等，即可得矩形；四個(gè)角均相等的四邊形是矩形；有兩條對(duì)角線相等的四邊形不一定是矩形，必須加上“平行四邊形”這個(gè)條件 ，它才是矩形;對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形。【練習(xí)】A第1題第2題第5題1 .如圖，在 ABC中，AD） BC于點(diǎn)D, DEE/ AC交AB于點(diǎn)E, DF/ AB交AC于點(diǎn)F,當(dāng) ABC蔭足條件 時(shí), 四邊形AEDF是矩形.2 .如圖，平行四邊形 ABCD勺對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,要使它成為矩形，需再添加的條件是（）A. AO= OC B. AC= BDC ACL BD D . BD平分/ ABC3 .

7、如圖，四邊形 ABC虛平行四邊形，對(duì)角線 AC BD相交于點(diǎn)0, OAB為等邊三角形，BC=.求四邊形ABCD勺周 長(zhǎng).4 .下列命題錯(cuò)誤的是（）C.對(duì)角線相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形D .對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形5 .如圖，四邊形 ABC面對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn)O,已知下列6個(gè)條件： AB/ DQ AB= DC AC= BD;/ ABG= 90 ; OA= OC OB= OD.下列組合中，不能使四邊形 ABCD為矩形的是（）A.B . C . D .6 .如圖，AB/ CD PM PN QM QN分別為角平分線.求證：四邊形PMQ艱矩形.7 .如圖，在 ABC中，AB=

8、AC, D為BC的中點(diǎn)，E是 ABC外一點(diǎn)且四邊形 ABD比平行四邊形. 求證：四邊形 ADCE矩形.8 .如圖，四邊形 ABC面對(duì)角線 AC, BD交于點(diǎn) O已知 O是AC的中點(diǎn)，AE= CF, DF/ BE.求證： BO監(jiān) DOF6 / 15北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.2矩形的性質(zhì)和判定課堂講義和練習(xí)(含答案)(2)若OD= 1AC,則四邊形ABCD什么特殊四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.2【矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用練習(xí)】1 .在矩形紙片 ABCD,AD= 4 cm,AB= 10 cm,按如圖所示方式折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則DE=cm.7 / 15北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.2矩形的性

9、質(zhì)和判定課堂講義和練習(xí)（含答案）第1題第2題第4題第5題第6題2 .如圖，在矩形 ABCtD, BG= 20 cm ,點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)D出發(fā)，按逆時(shí)針?lè)较蜓鼐匦?ABCM邊運(yùn)動(dòng), 點(diǎn)P和點(diǎn)Q的速度分別為3 cm/s和2 cm/s ,則最快 s后，四邊形ABPQ為矩形.3 .如圖，在四邊形 ABCM, / A= / BCD= 90 , BC= CD, CH AD,垂足為 E.求證：AE= CE4 .如圖，在 ABC中，AB= 6, AC= 8, BC= 10, P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（且點(diǎn)P不與點(diǎn)B, C重合），PEI AB于點(diǎn)E, PF LAC于點(diǎn)F,則EF長(zhǎng)的最小值為（）A. 4 B ,

10、 4.8 C , 5.2 D . 65 .如圖，矩形 ABCD,對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn) O,過(guò)點(diǎn)O的直線分別交 AD BC于點(diǎn)E, F,已知AD= 4 cm,圖中 陰影部分的面積總和為 6 cm2,則對(duì)角線AC的長(zhǎng)為 cm.6 .如圖，M是矩形ABC曲邊AD的中點(diǎn)，P為BC上一點(diǎn)，PE MC于點(diǎn)E, PF MBT點(diǎn)F,當(dāng)AB, BC滿足條件 時(shí)，四邊形PEMF為矩形.7 .如圖，在矩形 ABCD, AB= 2, BC= 5,點(diǎn) E, P分別在 AD, BC上，且 DE= BP= 1.求證：四邊形 EFPH矩形.8 .如圖，在矩形 ABCN,將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD

11、于點(diǎn)E.將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的 點(diǎn)N處，折痕 DF交BC于點(diǎn)F.（1）求證：四邊形 BFDE為平行四邊形；（2）若四邊形BFDE為菱形，且 AB= 2,求BC的長(zhǎng).【折疊問(wèn)題專項(xiàng)】1 .如圖，將矩形紙片 ABCD沿EF折疊（E, F分別是AD BC上的點(diǎn)），使點(diǎn)B與四邊形CDEF內(nèi)一點(diǎn)0重合，若4/也=50。，則等于（）A. 110 B 115 C. 120 D. 130第2題第3題2.如圖，矩形ABCD中,AB=8, BC=4,將矩形沿 AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D處，則重疊部分 4AFC的面積為（）A. 6B. 10C. 8D. 123 .如圖，矩形 ABCD中，AB=4, BC=2,把矢I

12、形ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線AE折疊點(diǎn)D落在矩形ABCD內(nèi)部的點(diǎn)D處, 則CD的最小值是（）A. 2B.C. 2 I -2D. 2+24 .如圖，將矩形 ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，F(xiàn)C交AD于E.（1）求證：AFE ACDF7;（2）若AB=4, BC=8,求圖中陰影部分的面積.5.如圖5,將矩形ABCD沿著對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)處，交 AD于E。已知AD=8, AB=4,求力BDE的面積。10 / 156.在矩形ABCD中，AB=6, BC=8,將矩形ABCD沿CE折疊，使點(diǎn)D恰好落在對(duì)角線 AC上的點(diǎn)F處。求EF的長(zhǎng)；求才!形ABCE的面積.圖2北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.

13、2矩形的性質(zhì)和判定課堂講義和練習(xí)(含答案)【課后練習(xí)】1.如圖，在 ABC中，CCLAB于點(diǎn)D,且E是AC的中點(diǎn).若AD=6, DE=5,則CD的長(zhǎng)等2.如圖，矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC BD相交于點(diǎn)第3題。，點(diǎn)E、F分別是AO、AD的中點(diǎn)，若 AC=8,則EF=13 / 153 .如圖， ABC中，AC=5, BC=12, AB=13, CD是 AB 邊上的中線.則 CD=.4 .如圖，矩形ABCD中，CE是 的平分線與邊 AB的交點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為5 .如圖，矩形 ABCD的對(duì)角線 AC, BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E, F在BD上，BE=DF(1)求證：AE=CF(2)若 AB=3, Z AO

14、D=120 ,求矩形 ABCD 的面積.BDA6 .如圖，在RtABC中，/ BAC=90, AD是BC邊上的中線，ED BC于D,交BA延長(zhǎng)線于點(diǎn) E,若/E=35,求/ 的度數(shù).7 .如圖，菱形 ABCD的對(duì)角線AC, BD相交于點(diǎn) O,且DE/ AC, AE/ BD.求證：四邊形 AODE是矩形.8 .如圖所示，EF過(guò)矩形ABCD對(duì)角線白交點(diǎn) O,且分別交AB, CD于點(diǎn)E, F,若AB=3, BC=4,那么陰影部分的面積 為()A. 4B. 12C. 6D. 3第8題第9題第12題第13題第14題9 .如圖，矩形ABCD沿著AE折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的F點(diǎn)處，如果乙BAF =等于()

15、B.C.D.10 .下列識(shí)別圖形不正確的是()A.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形C.對(duì)角線相等的四邊形是矩形11 .順次連接菱形各邊中點(diǎn)所形成的四邊形是(A.平行四邊形形B有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形D寸角線互相平分且相等的四邊形是矩形)C.矩形D1E方形12 .已知：如圖，在？ABCM,點(diǎn)E在AD上，連接BE, DF/ BE交BC于點(diǎn)F, AF與BE交于點(diǎn) M CE與DF交于點(diǎn)N,AF, BE分另1J平分/ BAD / ABC CE, DF分另平分/ BCD / ADC貝U四邊形 MFNE ()A.菱形 B.矩形 C.平行四邊形D.正方形13 .如圖，點(diǎn) O是菱形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，DE

16、/ AC, CE/ BD,連接OE,已知菱形 ABCD的周長(zhǎng)為20 cm,則 OE長(zhǎng)為 cm .114 .如圖，矩形 ABCD中，AB=8cm, BC=3cm, E是DC的中點(diǎn)，BF=萬(wàn)FG則四邊形 DBFE的面積為 cm2 .15 .如圖，DB/ AC,且DB=AC E是AC的中點(diǎn).(1)求證：BC=DE;(2)連接 AD BE,若/BAC=Z C,求證：四邊形 DBEA是矩形.16 .如圖所示，4ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線交 CE的延長(zhǎng)線于F,且AF=BD, 連接BF.(1)求證：D是BC的中點(diǎn)；(2)若AB=AC,試判斷四邊形 AFBD的形狀，并證明

17、你的結(jié)論.17 .如圖，在矩形 ABCD中，AB=2, BC= 3, M為BC中點(diǎn)，連接 AM,過(guò)D作DEL AM于E,則DE的長(zhǎng)度為()18.如圖，E, F分別是矩形ABCD的邊AD、AB上的點(diǎn),若 EF=EC EF EC, DC=拒,貝U BE 的長(zhǎng)為（A.C. 4D. 219.如圖,面積為(E, F分別是矩形 )ABCD邊AD, BC上的點(diǎn)，且 AARG, ADCH的面積分別為15和20,則圖中陰影部分的A.15B.20C.35D.4020 .如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)，若AB=3,BC=4則圖中陰影部分的面積為 .21 .如圖，在矩形 ABCD中，M, N分別是AD, BC的中點(diǎn)

18、，E, F分別是線段 BM , CM的中點(diǎn)，若 AB=8, AD=12,則22 .如圖，已知 DABCD延長(zhǎng) AB至U E使BE=AB,連接BD, ED, EC 若ED=AD.(1)求證：四邊形 BECD是矩形；(2)連接 AC,若AD=4, CD= 2,求AC的長(zhǎng)23 .如圖，在四邊形 ABCD中，AD/BC, / ABC=/ ADC=90,對(duì)角線 AC, BD交于點(diǎn) O, DE平分/ ADC交BC于點(diǎn)E, 連接OE.(1)求證：四邊形 ABCD是矩形;(2)若AB=2,求4OEC的面積.北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)1.2矩形的性質(zhì)和判定課堂講義和練習(xí)（含答案）答案【矩形的性質(zhì)】1.A2.C3,證

19、明：.四邊形 ABCEM矩形，A= Z B= 90 , AD= BC./ AOG= /BOD / AOG- / DOG= /BOD- Z DOC 即/ AOD= / BOC在AOD BOC中，/ A= / B, / AOD= / BOG AD= BC,. AO國(guó) BOC AO= BO.4. 2.55.C 6.C7.D11_ _8 .在RtABC中，,E為斜邊 AB的中點(diǎn)，CE= 2AB.在RtABD中，:E為斜邊 AB的中點(diǎn)，DE= 2AB. CDE.9 .(1)證明：四邊形 ABCD矩形,AB= DC AC= BD, AD= BC, / ADC= / ABC= 90 .由平移的性質(zhì)得： DE

20、= AC, EC= BC, / DCE= / ABC= 90 , DC= AB, . . AD= EC.在 ACDD4EDC中,AD= EC / ADC= Z ECD CD= DC ACN EDC.(2) ABD弱等腰三角形.理由如下：:AC= BD, DE= AC,. BD= DE. BD弱等腰三角形.【矩形的判定】1.答案不唯一，如/ BAC= 902.B3 .解：二.四邊形 ABC誕平行四邊形，AJ 20A BD= 2OB ; OA明等邊三角形，O是OB= AB,，Ad BD四邊形 ABC時(shí)矩形ABC= 90 .在 Rt ABO43, AC= 2OA= 2AB BC= 3,由勾股定理，得

21、 AB=AC BC = 1, ，四邊形 ABCD勺周長(zhǎng)=2(AB+ BC = 2(1+q3).4 .C 5.C_ ，_ 1 ， 一， 一 1 ， 一 ，一6 .證明：PM PN分別平分/APQ / BPQ /MPR-ZAPCQ/ NPQ=萬(wàn)/BPQ/ AP / BPQ= 180,./MP Z NPQ= 90 ,即/ MPN= 90 .同理可證/ MQ時(shí) 90 .AB/ CD / APQ- / CQZ 180 ,/MPQ /MQP90 ,即/ PMR 90 , 四邊形 PMQ遑矩形.7 .證明：:四邊形 ABD隹平行四邊形，AE/ BC AB= DE AE= BD ; D為BC的中點(diǎn)，CD= B

22、D.CD/ AE, CD= AE, .四邊形 ADC層平行四邊形.; AB= AC AB= DE . - AC= DE，平行四邊形 ADC隹矩形.8 .解：(1)證明： DF/ BE； / FD / EBO / DFO= / BEO-O為 AC的中點(diǎn)，OA= OC . AE= CF,OA- AE= OC- CF,即 OE= OF 在 BOEF口 DO即，/ EBO= / FDO / BEO= / DFO OE= OF BO降 DOFAAS).(2)若 OD= ；AQ 則四邊形 ABCD1矩形.證明：BO眸 DOF OB= OD ; OD=如OA= OB= OC= OD 且 BD= AC 四邊形

23、 ABCD1矩形.【矩形的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用練習(xí)】5.8 2. 4如圖，過(guò)點(diǎn) B作 BF CE于點(diǎn) F. . CEL AD . . / D+ / DCE= 90 . / Z BCD= 90 , ./BCFb Z DCE= 90 , ./ BCF= / D.在 BC林口 CDEE, / BCF= / D, / BFC= Z CED= 90 , BC= CD .BCg CDEAAS),BF= CE-/A= 90 , CEL AD, BF CE .四邊形 AEFB 矩形，AE= BF, . AE= CE4.B 5. 5 6.2AB= BC7 .證明：四邊形 ABC匿矩形，AD=BG AD/ BC又

24、.DE=BP,，四邊形 DEB用平行四邊形，BE DP .AABC DE=BP, . AE=CP又.AD/ BC 即 AE/ CP, 四邊形 AEC史平行四邊形， AP/ CE，四邊形 EFPK平行四邊形.二.在矩形 ABCDh / ADC= / ABP90 , AD= BC= 5, CD= AB= 2, DE= B2 1, . CE=乖,同理 BE= 2 季，.B=+cE= BC2,BEC= 90。，四邊形 EFPM矩形.8 .解：(1)證法一：四邊形 ABC比矩形，A= / C= 90 , AB= CD AB/ CD，/ ABD= / CDB/ A= / C,1 _1由折疊的性質(zhì)可得：/

25、ABE= 2/ABD /CDF= q/CDB，/ABE= /CDF在AABEDACDF, AB= CDZ ABE= / CDF .ABECDFASA), . AE= CF .四邊形 ABCD1矩形,，AD= BC AD/ BC，DE= BF, DE/ BF，四邊形BFDE平行四邊形.1證法二：二.四邊形 ABC比矩形，AB/ CD AD/ BG，/ABO / CDB DE/ BF.由折疊的性質(zhì)得/ EBD= 2Z ABD1 ,/FDB=2/ CDB -/ EB氏 / FDBBE/ DF 又: DE/ BF,，四邊形 BFD日平行四邊形.(2) .四邊形 BFD助菱形，BE= DE/FBD= /

26、 EBD= /ABE.四邊形 ABCDI 矩形，.AA BC / A= Z ABC= 90 ,c 4-BE= 2AE= 3 ：3,4. (1)證明：二四邊形ABCD是矩形，.-.AB=CD, Z B=Z D=90,二.將矩形ABCD沿對(duì)角線 AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E17 / 158.D15.又證16. (1)在4AEF和4DEC中,LAi;E - .)CELAEV = DECAE - DE,AAEFADEC (AAS) , ，AF=CD, AF=BD, .1. CD=BD, ，D 是 BC 的中點(diǎn)處，/ E=Z B, AB=AE, .1. AE=CD / E=/D,在 AEF與 CDF中，: /

27、 E=/D, Z AFE=Z CFD, AE=CD AEHCDF(2)解：AB=4, BC=8, CE=AD=8 AE=CD=AB=4, / AEF CDF, ，AF=CF EF=DF - DF2+cD2=CF2 , 即11DF2+42= (8 DF) 2 , .1.DF=3,. EF=3,，圖中陰影部分的面積 =Sace- Sae產(chǎn)2 X4X4 5 X 4X3=105.106. 3 SAbcE=SAbcd課后練習(xí)】 4 1.D 2. 23. 6.5 4.35. (1)證明：.四邊形 ABCD是矩形，OA=OQ OB=OD, AC=BD Z ABC=90, BE=DF . . OE=OF,OA

28、 QC AOE Z.COI- 在 AAOE 和 COF 中，OE= Ob ,AAOEACOF, . AE=CF(2)解：.OA=OC, OB=OD, AC=BR . OA=OB, / AOB=/ COD=6 0, . 4AOB 是等邊三角形，. OA=AB=3, .AC=2OA=6,在 RABC 中，BC=盛三而二入；, .矩形 ABCD 的面積=AB?BC=3 M3 =9 66.解：- ED BC,/ BDE=90 ,又/ E=35 , . . / B=90 -/E=55 ,.在 RR ABC 中，/ BAC=90 , AD是 BC邊上的中線, . AD=BD, . . / BAD=B B=55 , . . / BDA=180 -/ B-Z BAD=70 7.證明： DE/ AC, AE/ BD, 二.四邊形AODE為平行四邊形，二四邊形ABCD為菱形，z. AC BD, . / AOD=90 ； .,.四邊形 AODE是矩形.9.B10.C11.C12.B13. 514.8(1)證明：E 是 AC 中點(diǎn)，EC=ACDB=AC, . . DB=EC.DB/EC,二.四邊形DBCE是平行四邊形，BC=DE