13矢量場的旋度

1、2022-4-2211.3 矢量場的旋度矢量場的旋度1 、定義：、定義：CCdlAldAcosAA線l d在矢量在矢量 的場中，矢的場中，矢量量 沿某一閉合路徑沿某一閉合路徑的線積分，稱為該矢量的線積分，稱為該矢量沿此閉合路徑的沿此閉合路徑的環(huán)流環(huán)流。AA環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量；環(huán)量是一個(gè)標(biāo)量；可正、可負(fù)?？烧?、可負(fù)。.、矢量場的環(huán)流（環(huán)量）：2022-4-2222 、有旋場、有旋場、無旋場無旋場（保守場）：（保守場）： 在某一矢量在某一矢量 的場中，的場中，矢量矢量 沿任意閉合路徑的線沿任意閉合路徑的線積分，恒等于零，則該矢量場積分，恒等于零，則該矢量場為為無旋場，無旋場，在曲線內(nèi)沒有產(chǎn)在曲線內(nèi)沒有

2、產(chǎn)生矢量場的旋渦源生矢量場的旋渦源；反之，；反之，為為有旋場有旋場，在內(nèi)必然有產(chǎn)在內(nèi)必然有產(chǎn)生矢量場的旋渦源生矢量場的旋渦源。AAAA線線l dCCdlAldAcosAA2022-4-223.、矢量場的、矢量場的旋度旋度：1 、環(huán)流密度：、環(huán)流密度：v 在矢量場在矢量場 中來研究其中來研究其 M點(diǎn)的性點(diǎn)的性質(zhì)，取包含此點(diǎn)的一個(gè)面元質(zhì)，取包含此點(diǎn)的一個(gè)面元 ，其，其邊界為邊界為 C，保持面元，保持面元 的的 方向不方向不變，而變，而 以以任意方式任意方式趨近于零。則趨近于零。則ASSSneSldACS0lim環(huán)流密度環(huán)流密度環(huán)環(huán)流流環(huán)量（流）面密度環(huán)量（流）面密度AA線線l dMSSdA0lim

3、通量體密度通量體密度2022-4-224v 討論：討論：neAAS 與與 的的邊界邊界 C 保持一致，保持一致，CldAmax取最大值取最大值l d AAl dM 與與 有一夾角有一夾角 ，則，則AneCldAmaxne ACl dA0v 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即有旋矢量場時(shí)，即有旋矢量場 與面元與面元 的法的法向分量向分量 垂直時(shí)，垂直時(shí)，環(huán)流密度有最大值環(huán)流密度有最大值，此即被稱為，此即被稱為 的的旋度旋度大??；大??； 的方向就稱為的方向就稱為 的旋度的方向。的旋度的方向。neAASneA與與 不在同一平面上不在同一平面上ASneA2022-4-2252、旋度的定義：、旋度的定義：矢量矢量 的旋度的旋

4、度。記作。記作A故故ArotSldAnCS0lim即即SdASdArotldAC方向上的投影在面元矢量是 e Arot Arotnn任意方向的環(huán)流密度任意方向的環(huán)流密度10A Arot或2022-4-226 、旋度的物理意義、旋度的物理意義 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算 矢量的旋度為矢量的旋度為矢量矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；，是空間坐標(biāo)的函數(shù)； 矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該點(diǎn)處的漩渦源密度漩渦源密度； 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：)()()(yAxAexAzAezAyAeArot xyzzxyyzxA)()(zzyyxxzyxAeAeAezeyexe

5、故故zyxzyxAAAzyxeeeAArot2022-4-227例：求矢量場例：求矢量場 在在點(diǎn)點(diǎn) M（1，0，1）處的旋度及沿）處的旋度及沿)()()(xyzezxyeyzxeAzyxzyxeeel362方向的方向的環(huán)流密度環(huán)流密度。解：矢量場解：矢量場 的旋度的旋度A)()()(xyzzxyyzxzyxeeeAzyx)()()(xyezxeyzezyx在點(diǎn)在點(diǎn) M（1，0，1）處的旋度）處的旋度zyxMeeeA22022-4-228方向的單位矢量 l)362(3621222zyxleeellezyxeee737672在點(diǎn) M（1，0，1）處沿 方向的環(huán)流密度7177327672lMeAl2

6、022-4-2291.3.3、斯托克斯定理：、斯托克斯定理：CSldASdA證明：證明：將將 S 分成許多面元分成許多面元,21iSSS其相應(yīng)面元的邊界為其相應(yīng)面元的邊界為iCCC,21對每一個(gè)面元對每一個(gè)面元 ，其邊界，其邊界 的環(huán)繞方向的環(huán)繞方向均取與大回路均取與大回路 C一致的環(huán)繞方向。一致的環(huán)繞方向。iSiC則：相鄰兩面元則：相鄰兩面元 、 的邊界的邊界 、 在公共邊界上的積分等值異號，相互在公共邊界上的積分等值異號，相互抵消抵消。iSjSiCjCiCjC2022-4-221021CCCldAldAldA 又又11SdArotldAC22SdArotldAC故故21SdArotSdAr

7、otl dA CSCSdAl dA證畢證畢52022-4-2211例例1.4 已知已知 ?，F(xiàn)有一個(gè)在?，F(xiàn)有一個(gè)在 面內(nèi)的面內(nèi)的閉合路徑閉合路徑C，此閉合路徑由，此閉合路徑由 和和 之間的一段拋物線之間的一段拋物線和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線組成，如圖所示。和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線組成，如圖所示。 22,yxxyxyxe ee eA Ayx0,02, 2xy 2求：（求：（1 1）矢量場的旋度；）矢量場的旋度； （2 2）計(jì)算環(huán)流）計(jì)算環(huán)流 。積分。積分區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的閉合路徑區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的閉合路徑C C； （3 3）驗(yàn)證斯托克斯定理。）驗(yàn)證斯托克斯定理。ACldA2022-4-2212（3）斯托克斯定理成立。）斯托克斯定理成立。 2220yyxxzyxzzyxe ee ee ee eA A21585322205203202220222yyyyyyyxySd