第三章基本立體的投影

1、第第3章章 基本立體的投影基本立體的投影內(nèi)容提要內(nèi)容提要：本章主要介紹投影法，點、線、面及其相對位置的投影規(guī)律。應(yīng)重點掌握基本立體的三視圖畫法以及截交線、相貫線的畫法。練習(xí)題練習(xí)題3.1 平面立體的投影平面立體的投影 立體的形狀是各種各樣的，但任何復(fù)雜立體都可以分析成是由一些基本的幾何體組成，如棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、球等，稱為基本立體。 基本立體根據(jù)其表面的幾何性質(zhì)可分為平面立體、曲面立體兩類。平面立體是由平面圍成的實體，其表面都是平面，如棱柱、棱錐等。3.1.1 正棱柱正棱柱 一個投影為多邊形，另外兩個投影輪廓線為矩形。 前后棱面為正平面，它們的正面投影反映實形，水平投影及側(cè)面投影積

2、聚成一直線。 棱柱的其它四個側(cè)棱面都為鉛垂面，水平投影積聚成直線，正面投影反映類似形。 棱線AB 積聚成直線，其水平投影積聚為一點a（b），正面投影和側(cè)面投影均反映實長，即ab=ab=AB 。 AC 為水平線，水平投影反映實長，ac=AC ，正面投影ac、側(cè)面投影ac 均小于實長。投影圖的作法。先畫正六棱柱的水平投影正六邊形。根據(jù)投影規(guī)律作出其它兩面投影。最后，畫中心線和對稱軸線。在平面立體表面上取點，其原理和方法與第二章介紹的在平面上取點相同。例3-1：如圖所示，已知六棱柱表面上點M 的正面投影和N 點的水平投影，求其另兩個投影并判別可見性。 棱錐的表面有底面和棱面，各棱線匯交于一點（錐頂）

3、，各棱面都是三角形。 3.1.2 棱錐棱錐 畫棱錐的投影時一般也是先畫底面和頂點的投影。然后再畫出各棱線的投影，并判斷可見性。 例3-2：如圖中，已知三棱錐表面上兩點M 和N 的正面投影，求其水平投影和側(cè)面投影。 常見的平面立體的三視圖：3.2 曲面立體的投影曲面立體的投影 機器零件中常見的曲面立體是回轉(zhuǎn)體，如圓柱、圓錐、球、圓環(huán)等?；剞D(zhuǎn)體的曲面是母線（直線或曲線）繞一軸線作回轉(zhuǎn)運動而形成的。曲面上任一位置的母線稱為素線，母線上每一點運動軌跡都是圓，稱為緯圓，緯圓平面垂直于回轉(zhuǎn)軸線。常見的回轉(zhuǎn)體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。 1.圓柱的形成及三視圖 圓柱面可看作是一母線繞和它平行的軸線旋轉(zhuǎn)而形成

4、，圓柱的素線是與軸線相平行的直線。 3.2.1 圓柱體圓柱體 圓柱體上下底面為水平面，故水平投影為圓，而其正、側(cè)面投影為直線?？梢姡簣A柱的正、側(cè)面投影為大小相同的矩形，水平投影為圓。 圓柱面的轉(zhuǎn)向線是圓柱面可見與不可見的分界線。在正面投影中AA1和BB1為圓柱面前后兩部分的分界線。 在側(cè)面投影中CC1和DD1為圓柱體左右兩部分可見與不可見的分界線。 畫圖時，應(yīng)先畫中心線和軸線。再畫投影是圓的視圖。最后畫其余兩個視圖。 2.在圓柱表面取點可以利用其投影的積聚性來作圖。例3-3：如圖所示，已知圓柱面上兩點M 、N 的正面投影m和n，求水平投影和側(cè)面投影。 1.圓錐的形成及三視圖 圓錐體表面有圓錐面

5、和底面，圓錐面可看作是一條直母線繞著和它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而形成的，所以圓錐的素線是通過錐頂?shù)闹本€。3.2.2 圓錐圓錐 軸線鉛垂圓錐的水平投影面是圓，該圓既是圓錐面的投影，又是底面圓的實形投影；正面投影和側(cè)面投影是相同的等腰三角形，三角形的底邊是底圓的積聚投影，兩腰分別是圓錐面對V、W 面轉(zhuǎn)向輪廓線。圓錐面的轉(zhuǎn)向輪廓線是圓錐面可見和不可見的分界線，在正面投影中sa、sb為圓錐面前后兩部分的分界線。 側(cè)面投影中sc、sd 為圓錐體左右兩部分的分界線，左半個圓錐面可見，右半個圓錐面不可見。 畫圖時，應(yīng)先畫中心線和軸線。再畫投影為圓的視圖，最后畫錐頂和輪廓線的投影。 2. 求圓錐表面上的點可以用素線法

6、和緯圓法。例3-4：如圖所示，已知點M 的正面投影m和點N 的水平投影n ，求兩點的另兩投影。 1.圓球的形成及三視圖 球由球面圍成的實體。球面可以看作是一圓繞通過圓心的軸線（直徑）旋轉(zhuǎn)而成。3.2.3 圓球圓球 圓球的特點是，球的三面投影均為圓，并且直徑均與球直徑相等。 正面投影的圓是球的前后兩部分的分界線，它的水平投影和側(cè)面投影都與中心線重合。 側(cè)面投影的圓是球的左右兩部分的分界線，它的水平投影和正面投影都與中心線重合。 畫圖時，應(yīng)先畫中心線。再畫三個圓的輪廓線并加深。 2.球面上的點 在圓球表面求點可以用緯圓法。球面的緯圓可以是平行于V 面、H 面或W 面的圓。例3-5：如圖所示，已知圓

7、面上點M 的正面投影m，求其他兩投影。1.圓環(huán)的形成及三視圖 圓環(huán)的表面是圓環(huán)面。圓環(huán)面可以看作是一圓母線，繞在同一平面的圓外一軸線旋轉(zhuǎn)而形成的。3.2.4 圓環(huán)圓環(huán)* 作圓環(huán)的三視圖時，一般先畫三個投影的中心線。然后確定圓環(huán)軸到母線圓中心的距離。 正面投影兩水平輪廓線是環(huán)面最上、最下素線緯圓的投影。 正面投影兩水平輪廓線是環(huán)面最上、最下素線緯圓的投影。兩個圓是環(huán)面最前、最后素線圓的投影。2.圓環(huán)表面取點 在圓環(huán)面上取點要利用緯圓法。如圖所示，已知環(huán)面上一點K 的水平投影k，求點K 的正面投影k和側(cè)面投影k。常見的曲面立體的三視圖：3.3 平面與立體相交平面與立體相交* 實際的機器零件往往不是

8、完整的基本立體，而是經(jīng)過截切后的基本形體，如圖中的觸頭和閥芯。平面與立體表面的交線稱為截交線。截交線均具有下列性質(zhì)：(1)封閉性 截交線一般是由直線或曲線或直線和曲線圍成的封閉的平面圖形。(2)共有性 截交線是截平面和立體表面的共有線，是截平面和立體表面共有點的集合。一、平面與平面立體相交一、平面與平面立體相交平面與平面立體相交，其截交線是一個封閉的平面多邊形，多邊形的每一條邊是截平面與平面立體一個表面的交線，多邊形的頂點是截平面與平面立體的棱線的交點。因此，求平面立體的截交線，可歸結(jié)為求截平面與立體各表面的交線，或截平面與立體上棱線的交點，并判別各投影的可見性，然后再依次連線，即可得截交線的

9、投影。 多邊形的每一條邊是截平面與平面立體一個表面的交線，多邊形的頂點是截平面與平面立體的棱線的交點。 如圖所示，已知正六棱柱被正垂面截切后的兩視圖，求其左視圖。 如圖所示，試求正四棱錐被兩平面截切后的三視圖。 二、平面和回轉(zhuǎn)體表面體相交二、平面和回轉(zhuǎn)體表面體相交平面與曲面立體相交，截交線是一條封閉的平面曲線，或由平面曲線和直線或完全由直線所組成的平面圖形。 常見的截交線有平面與圓柱、圓錐、圓球等回轉(zhuǎn)體表面相交而形成的截交線 。 （一）平面與圓柱相交由于截平面對圓柱軸線的相對位置不同，圓柱的截交線有三種形狀。 如圖所示，已知圓柱體被兩平面截切后的正面和側(cè)面投影，求圓柱截交線的水平投影。 如圖所

10、示，已知圓柱上通槽的正面投影，求其水平投影和側(cè)面投影。 試分析圖所示一圓管開通槽的三視圖的繪制過程。 （二）平面與圓錐相交由于截平面與圓錐軸線的相對位置不同，截交線有五種不同的形狀。 如圖所示，已知主視圖，補畫俯視圖并畫出左視圖。 （三）平面與圓球相交平面與圓球相交的截交線只有一種形狀-圓。但當圓平面平行與某一投影面時，在該投影面的投影為圓，當圓平面與投影面傾斜，在該投影面的投影為橢圓。 如圖所示，已知半球上通槽的正面投影，求其他兩投影。 （四）常見不完整回轉(zhuǎn)體3.4 兩基本曲面立體相交兩基本曲面立體相交* 兩立體相交在兩立體表面所產(chǎn)生的交線稱為相貫線。因為基本立體有平面立體和曲面立體，所以兩

11、立體相交有三種情況：兩平面立體相交；平面立體與曲面立體相交；兩曲面立體相交。 兩曲面立體的相貫線有下列基本特性：（1）相貫線一般是閉合的空間曲線，特殊情況下是平面曲線或直線或不閉合。（2）相貫線是相交兩立體表面的共有線，相貫線上的點是兩曲面立體表面的共有點。一、求相貫線的方法及步驟一、求相貫線的方法及步驟求相貫線常用的方法有表面取點法和輔助平面法。（一）表面取點法【例】 如圖所示，求相貫的正面投影。兩正交圓柱相貫線的三種形式。 兩圓柱正交的相貫線在機器零件中最常見，可以采用簡化畫法。如圖3-24a所示，如果兩軸線平行V 面的正交圓柱直徑不相等且相差不大時，相貫線的正面投影可用大圓柱的半徑畫圓弧

12、來代替。圖3-24b所示，當小圓柱的直徑與大圓柱相差很大時，相貫線的正面投影可用直線來代替。 (二)輔助平面法輔助平面法就是假想用一個平面截切相交兩立體，所得截交線的交點，就是相貫線上的點。在相交部分作出若干個輔助平面，求出相貫線上一系列點的投影，依次光滑連接，即得相貫線的投影。 為便于作圖，應(yīng)選擇截兩立體截交線的投影都是簡單易畫的直線或圓為輔助平面，一般選擇特殊位置平面作為輔助平面。 【例3-6】 求作下圖所示的圓柱與圓錐的相貫線。 二、相貫線的變化二、相貫線的變化 （1）尺寸變化時，相貫線的變化(2)軸線的相對位置變化時，相貫線的變化。三、相貫線的特殊情況三、相貫線的特殊情況兩曲面立體的相

13、貫線一般是空間曲線，特殊情況下是平面曲線或直線。(1)兩回轉(zhuǎn)體具有公共軸線時，相貫線為垂直于軸線的圓。 (2)兩圓柱軸線平行、兩圓錐共錐頂時，相貫線為直線。(3)兩回轉(zhuǎn)體公切于一個球時，相貫線是平面曲線橢圓。 練習(xí)練習(xí)1 1 求立體切割后的投影431265114565234（6）（2）（3）練習(xí)練習(xí)2 2 求立體截割后的投影71188711121056943961（3）2（4）105 1（2）83（4）10 （5）9 11（6）（7）練習(xí)練習(xí)3 求立體切割后的投影235411166543264（5）2（3）練習(xí)練習(xí)4 求立體切割后的投影1（2）3412642156346（5）3（4）人有了知識，就會具備各種分析能力，人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說古人說“書中自有黃金屋。書中自有黃金屋?！蓖ㄟ^閱讀科技書籍，我們能豐富