第6章點(diǎn)線面輔助投影

1、 直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。直線與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交要討論的問題： 求直線與平面的交點(diǎn)。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可 見性。 我們只討論直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。二、相交問題二、相交問題例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性。空間及投影分析 平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn) 判別可見性 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。作圖用線上取點(diǎn)法 平面為特殊位置abcmncnbamkk1(2)211(2)km(n)bmncb

2、aac 直線為特殊位置空間及投影分析 直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn) 判別可見性 點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于MN上，在后。故k2為不可見。k2 1作圖用面上取點(diǎn)法 兩平面相交 兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題： 求兩平面的交線方法： 確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析 平面ABC與DEF都為正

3、垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。 求交線 判別可見性作圖 從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。nm能!如何判別？例：求兩平面的交線 MN并判別可見性。能否不用重影點(diǎn)判別？abcdefcfdbeam(n)例：求兩平面的交線 MN并判別可見性?？臻g及投影分析 求交線 判別可見性作圖 從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。mn 平面ABC與DEF都為正垂面，它們的交線為一條正垂線，兩平面正面投影的交點(diǎn)即為交線的正面投影，交線的水平投影垂直于OX軸。aa bd(e)ebdh(f)cf

4、ch1(2 )空間及投影分析 平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m 、n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。 求交線 判別可見性 點(diǎn)在MC上，點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在前，點(diǎn)在后，故mc 可見。作圖21 mmnnabd(e)ebdh(f)cfchmnnm空間及投影分析 平面DEFH是一鉛垂面，它的水平投影有積聚性，其與ac、bc的交點(diǎn)m 、n 即為兩個(gè)共有點(diǎn)的水平投影，故mn即為交線MN的水平投影。 求交線 判別可見性 點(diǎn)在MC上，點(diǎn)在FH上，點(diǎn)在前，點(diǎn)在后，故mc 可見。作圖cdefababcdef投影分析 N點(diǎn)的水平投影n位于def 的外面，說明

5、點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。 nnmkmk互交cdefababcdef投影分析 N點(diǎn)的水平投影n位于def 的外面，說明點(diǎn)N位于DEF所確定的平面內(nèi)，但不位于DEF這個(gè)圖形內(nèi)。 所以ABC和DEF的交線應(yīng)為MK。互交mkkm五、一般位置直線與一般位置平面相交 以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖判別可見性 示意圖ABCQ過MN作正垂面QMN以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖12以正垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)QV21kk步驟：1過EF作正垂平面Q。2求Q平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點(diǎn)K。

6、示意圖12以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn)。PH1步驟：1過EF作鉛垂平面P。2求P平面與ABC的交線。3求交線與EF的交點(diǎn)K。kk2 示意圖CAB過MN作鉛垂面PNMPEFK以鉛垂面為輔助平面求線面交點(diǎn) 示意圖fee直線EF與 ABC相交，判別可見性。利用重影點(diǎn)判別可見性1243（ ）kk34示意圖( )21直線EF與平面 ABC相交，判別可見性示意圖1 (2)(4)3利用重影點(diǎn)。判別可見性第第6 6章章 換面法換面法 6.1 6.1 換面法的基本概念換面法的基本概念6.2 6.2 點(diǎn)的換面點(diǎn)的換面 6.3 6.3 直線的換面直線的換面6.4 6.4 平面的換面平面的換面 6.5 6.5 應(yīng)用舉

7、例應(yīng)用舉例 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)用換面法求解空間幾何元素的度量和應(yīng)用換面法求解空間幾何元素的度量和位置問題位置問題 第第4 4章章 換面法換面法 本章學(xué)習(xí)內(nèi)容本章學(xué)習(xí)內(nèi)容換面法的基本概念換面法的基本概念 點(diǎn)的換面點(diǎn)的換面直線的換面直線的換面平面的換面平面的換面換面法的應(yīng)用換面法的應(yīng)用 當(dāng)直線或平面對(duì)投影面處于當(dāng)直線或平面對(duì)投影面處于一般位置一般位置時(shí)，在時(shí)，在投影圖上不能直接反映它們的投影圖上不能直接反映它們的實(shí)長、實(shí)形實(shí)長、實(shí)形。 當(dāng)它們處于當(dāng)它們處于特殊位置特殊位置時(shí)，在投影圖上就可以直時(shí)，在投影圖上就可以直接得到它們的接得到它們的實(shí)長、實(shí)形實(shí)長、實(shí)形。 實(shí)長實(shí)長實(shí)形實(shí)形6.1 6.

8、1 換面法的基本概念換面法的基本概念XOXOXOXOa abb 兩點(diǎn)之間距離兩點(diǎn)之間距離XOa abb c c三角形實(shí)形三角形實(shí)形XOa abb c cdd 直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)交點(diǎn)XOa b c d abcd兩平面夾角兩平面夾角XO問題的提出：問題的提出：空間幾何元素位于特殊位置時(shí)有利于解題空間幾何元素位于特殊位置時(shí)有利于解題換面法的基本概念換面法的基本概念 如能將與投影面處于如能將與投影面處于一般位置一般位置的幾何元素變?yōu)榕c投影的幾何元素變?yōu)榕c投影面處于面處于特殊位置特殊位置，則一些問題的求解就會(huì)變得容易。，則一些問題的求解就會(huì)變得容易。 可選取新投影面可選取新投影面V1代替代替V

9、面面 實(shí)長實(shí)長 讓空間幾何元素的位置保持不動(dòng)，用一個(gè)新的投影面讓空間幾何元素的位置保持不動(dòng)，用一個(gè)新的投影面體系替換原來的投影面體系體系替換原來的投影面體系使空間幾何元素對(duì)新使空間幾何元素對(duì)新投影面體系處于有利投影面體系處于有利于解題的特殊位置的于解題的特殊位置的方法稱為變換投影面方法稱為變換投影面法，簡稱法，簡稱換面法換面法。 換面法的基本概念換面法的基本概念 如能將與投影面處于如能將與投影面處于一般位置一般位置的幾何元素變?yōu)榕c投影的幾何元素變?yōu)榕c投影面處于面處于特殊位置特殊位置，則一些問題的求解就會(huì)變得容易。，則一些問題的求解就會(huì)變得容易。 實(shí)長實(shí)長新投影面必須滿足下列新投影面必須滿足下列

10、兩個(gè)條件兩個(gè)條件：(1) 新投影面必須新投影面必須垂直垂直原來的原來的投影面體系中一個(gè)不變的投投影面體系中一個(gè)不變的投影面；影面； (2) 新投影面對(duì)空間幾何元素新投影面對(duì)空間幾何元素應(yīng)處于應(yīng)處于有利于解題有利于解題的位置。的位置。 V/H稱為舊投影面體系，稱為舊投影面體系，V1/H稱為新投影面體系稱為新投影面體系 在新投影面體系中，在新投影面體系中，V1面垂直于面垂直于H面，面，a1a垂直于垂直于X1軸軸 新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離，新投影到新軸的距離等于舊投影到舊軸的距離，即即a1ax1=aax 一、點(diǎn)的一次變換一、點(diǎn)的一次變換1.變換變換V面面6.2 6.2 點(diǎn)的換面點(diǎn)的換

11、面一、點(diǎn)的一次變換一、點(diǎn)的一次變換2.變換變換H面面1. 作出新軸作出新軸X12. 過過b 作作bb1垂直于垂直于X1軸軸 3. 量取量取b1bx1=bbx，b1為所求為所求 二、點(diǎn)的兩次變換二、點(diǎn)的兩次變換(1) 通過一次變換求得通過一次變換求得a1 (2) 在適當(dāng)?shù)奈恢卯嫵龅诙谶m當(dāng)?shù)奈恢卯嫵龅诙螕Q面的新軸次換面的新軸X2 (3) 過過a1作作a1a2垂直于垂直于X2軸軸,量取量取a2ax2=aax1,得得a2 實(shí)長實(shí)長直線對(duì)直線對(duì)H面面的傾角的傾角一、直線的一次變換一、直線的一次變換1.一般位置直線可以變?yōu)橐话阄恢弥本€可以變?yōu)橥锻队懊娴钠叫芯€影面的平行線6.3 6.3 直線的換面直線的

12、換面一、直線的一次變換一、直線的一次變換2.投影面平行線可以變?yōu)樾峦队懊嫫叫芯€可以變?yōu)樾峦队懊娴拇怪本€投影面的垂直線正平線正平線 變換哪一個(gè)投影面？變換哪一個(gè)投影面？將將一般位置直線一般位置直線變?yōu)橥队懊娴淖優(yōu)橥队懊娴拇怪本€垂直線，需經(jīng)過，需經(jīng)過兩次換面兩次換面 二、一般位置直線的兩次變換二、一般位置直線的兩次變換1. 一般位置平面一般位置平面可以變?yōu)橥队懊娴目梢宰優(yōu)橥队懊娴拇怪泵娲怪泵?一、平面的一次換面一、平面的一次換面作圖要點(diǎn)：作圖要點(diǎn)：新投影新投影軸垂直于平面內(nèi)的軸垂直于平面內(nèi)的正平線正平線。6.4 6.4 平面的換面平面的換面2. 投影面投影面垂直面垂直面可變?yōu)橥队懊婵勺優(yōu)橥队懊嫫叫?/p>

13、面平行面 一、平面的一次換面一、平面的一次換面鉛垂面鉛垂面變換變換V面面(1) 在適當(dāng)?shù)奈恢卯嫵鲂螺S在適當(dāng)?shù)奈恢卯嫵鲂螺SX1平行于平行于abc (2) 求出求出ABC各點(diǎn)的新投影并連線各點(diǎn)的新投影并連線 實(shí)形實(shí)形二、一般位置平面的兩次換面二、一般位置平面的兩次換面要將要將一般平面一般平面變?yōu)橥队懊娴淖優(yōu)橥队懊娴钠叫忻嫫叫忻?，需?jīng)過，需經(jīng)過兩次換面兩次換面 (1) 第一次換面，作正平線第一次換面，作正平線AD，把把ABC 更換為投影面的垂直面更換為投影面的垂直面 (2) 第二次換面，新軸第二次換面，新軸X2平行于平行于a1b1c1，求各點(diǎn)的新投影求各點(diǎn)的新投影a2、b2、c2，連線，連線實(shí)形實(shí)形

14、解題步驟：解題步驟： 例題例題1 求點(diǎn)C到直線AB的距離6.5 6.5 應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例c2作圖c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距離例題例題2已知點(diǎn)已知點(diǎn)M到直線到直線AB的距離為的距離為15和點(diǎn)和點(diǎn)M的水平的水平投影投影m，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的正面投影。的正面投影。 (1) 直線直線AB經(jīng)經(jīng)一次換面一次換面變變成投影面平行線成投影面平行線a1b1 解題步驟：解題步驟：(2) 直線直線AB經(jīng)經(jīng)第二次換面第二次換面變成投影面垂直線變成投影面垂直線(a2)b2 (3) 根據(jù)已知條件求出根據(jù)已知條件求出m 211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例題例題3 求兩直線AB與CD的公垂線 。 k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例題例題4 求點(diǎn)S到平面ABC的距離距離eN ddX1VH1k1e1例題例題5 已知E到平面ABC的距離為N，求E點(diǎn)的正面投影e。b1a1c1d1例題例題6求平面求平面ABC與平面與平面ABD夾角的實(shí)際大小。夾角的實(shí)際大小。 兩三角形有一兩三角形有一公共邊公共邊AB，只要把直線，只要把直線AB變換為投影面的變換為投影面的垂直線即可得夾角的實(shí)際大小垂直線即可得夾角的實(shí)際大小 兩次換面兩次換面，第一次變換使直線，第一次變換使直線AB為為投影面平行線，第二次變換使直線投影面平行線，第二次變換使直線AB為投影面